ビリアル定理のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年8月}}
'''ビリアル定理'''（ビリアルていり、{{lang-en-short|virial theorem}}）とは、多粒子系において、[[粒子]]が動き得る範囲が[[有限]]である場合に、[[古典力学]]、[[量子力学]]系のいずれにおいても成立する以下の関係式のことである。

:<math> \left\langle K \right\rangle = \left\langle \sum_{i=1}^N { \mathbf{p}_i^2 \over {2 m_i} } \right\rangle = \sum_{i=1}^N \left\langle { \mathbf{p}_i^2 \over {2 m_i} } \right\rangle  = -{1 \over 2} \sum_{i=1}^N \left\langle \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i \right\rangle </math>

{{mvar|N}} は系の粒子数、{{mvar|K}} は[[系 (自然科学)|系]]全体の[[運動エネルギー]]
:<math> K = \sum_{i=1}^N { \mathbf{p}_i^2 \over {2 m_i} } </math>
で、{{math|'''p'''<sub>''i''</sub>}} は粒子 {{mvar|i}} の[[運動量]]、{{math|'''r'''<sub>''i''</sub>}} は粒子 {{mvar|i}} の[[位置]]座標、{{math|'''F'''<sub>''i''</sub>}} は粒子 {{mvar|i}} に働く[[力 (物理学)|力]]、{{mvar|m<sub>i</sub>}} は粒子 {{mvar|i}} の[[質量]]である。{{math|&#x3008;&middot;&#x3009;}} は[[物理量]]の平均操作（ここでは長時間平均）を意味する。

粒子 {{mvar|i}} に働く力 {{math|'''F'''<sub>''i''</sub>}} が、系全体の[[ポテンシャルエネルギー]] {{math|''V'' {{=}} ''V''('''r'''<sub>1</sub>, ..., '''r'''<sub>''N''</sub>)}} を用いて {{math|'''F'''<sub>''i''</sub> {{=}} &minus;&nabla;<sub>'''r'''<sub>''i''</sub></sub> ''V''('''r'''<sub>1</sub>, ..., '''r'''<sub>''i''</sub>, ..., '''r'''<sub>''N''</sub>)}} と表せるならば、ビリアル定理は、

:<math> \left\langle K \right\rangle = {1 \over 2} \sum_{i=1}^N \left\langle \nabla_{\mathbf{r}_i} V \cdot \mathbf{r}_i \right\rangle </math>

という形で表せる。

ポテンシャルエネルギー {{mvar|V}} が[[中心力|中心力ポテンシャル]]で、粒子間の距離の{{math|''n'' + 1}}乗に比例する形

:<math> V(\mathbf{r}) = a r^{n+1}\quad (r=|\mathbf{r}|)</math>

で表せる(ここでべき指数は力の法則が<math>r^n</math>になるように選んだ)ならば、

:<math> \left\langle K \right\rangle = {n+1 \over 2} \left\langle V \right\rangle </math>

となる。中心力が[[電磁気力]]や[[重力]]の場合を考えると、{{math|''n'' {{=}} &minus;2}} であるから、

:<math> \left\langle K \right\rangle = -{1 \over 2}\left\langle V \right\rangle </math>

となる。ビリアル定理から次のことが言える。

*系全体の運動エネルギー {{mvar|K}} の時間平均は、系全体のポテンシャルエネルギー {{mvar|V}} の時間平均の {{math|&minus;{{sfrac|1|2}}}} に等しい。

また、同等のこととして、

*系全体のポテンシャルエネルギー {{mvar|V}} の時間平均は、系全体の全エネルギーの時間平均に等しい。

*系全体の運動エネルギー {{mvar|K}} の時間平均と系全体の全エネルギーの時間平均を加えた物は {{math|0}}。

ということが示される。

'''ビリアル'''とはラテン語で「力」という意味であり、ビリアル定理の名はそれに因む。ビリアル定理におけるビリアルとは、[[1870年]]に[[ルドルフ・クラウジウス]]が導入した量で、各粒子の位置と運動量の[[ドット積]]の総和 {{math|''G'' {{=}} &sum;<sub>''i''</sub> '''r'''<sub>''i''</sub> &middot; '''p'''<sub>''i''</sub>}} によって定義される {{mvar|G}} を指す。

==証明==
[[古典力学]]系の場合のビリアル定理の証明。ビリアル

{{numBlk|:|<math>G = \sum_i \mathbf{r}_i  \cdot \mathbf{p}_i </math>|{{equationRef|ClassicalProof1|1}}}}

を[[時間]]で[[微分]]すると、

:<math>{{d G} \over {dt}} = \sum_i {{d \mathbf{r}_i} \over {dt}}  \cdot \mathbf{p}_i 
+ \sum_i \mathbf{r}_i \cdot {{d \mathbf{p}_i} \over {dt}}
= \sum_i {\mathbf{p}_i \over m_i} \cdot \mathbf{p}_i + \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i
= 2K + \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i
</math>

より以下の関係が得られる。
{{numBlk|:|<math>{{d G} \over {dt}} = 2K + \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i. </math>|{{equationRef|ClassicalProof2|2}}}}

この式の両辺を {{math|0}} から時間 {{mvar|t}} の範囲で[[積分]]して {{mvar|t}} で割り、{{math|''t'' &rarr; &infin;}} の[[極限]]をとって長時間平均する。すると、粒子が動き得る範囲は有限なのでビリアル {{mvar|G}} も有限だから、左辺は 0 に収束する。

{{numBlk|:|<math> \lim_{t \to \infty} {{1 \over t} \int_{0}^{t} {{d G} \over {dt}}} dt
= \lim_{t \to \infty} {G(t)-G(0) \over t}
=0.</math>|{{equationRef|ClassicalProof3|3}}}}

したがって、

:<math> 0=2 \left\langle K \right\rangle + \left\langle \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i \right\rangle</math>

つまり、ビリアル定理

{{numBlk|:|<math> \left\langle K \right\rangle = -{1 \over 2} \left\langle \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i \right\rangle</math>|{{equationRef|ClassicalProof4|'''(''4'') ''ビリアル定理'''''}}|RawN=.}}

を得る。
次に、ポテンシャルエネルギー {{mvar|V}} が[[中心力]]ポテンシャルで、粒子間の距離の {{math|''n'' + 1}} 乗 ({{math|''r''<sup>''n'' + 1</sup>}}) に比例する形、すなわち、系のポテンシャル {{mvar|V}} が各粒子対の相互作用の和

{{numBlk|:|<math> V(\mathbf{r}_1, \cdots, \mathbf{r}_N) 
= \sum_{i<j} a_{ij} |\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}|^{n+1} 
= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a_{ij} |\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}|^{n+1}</math>|{{equationRef|ClassicalProof5|5}}}}

によって書き表される場合、粒子 {{mvar|i}} に働く力 {{math|'''F'''<sub>''i''</sub>}} は、以下のように書ける。

{{numBlk|:|<math> \mathbf{F}_i 
= -\nabla_{\mathbf{r}_i} V
= -a_{ij} (n+1) \sum_{j \ne i}  (\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}) 
|\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}|^{n-1} 
= \sum_{j \ne i} \mathbf{F}_{ij}
</math>|{{equationRef|ClassicalProof6|6}}}}

ここで、

{{numBlk|:|<math> \mathbf{F}_{ij}= - a_{ij} (n+1) (\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j})
|\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}|^{n-1}
</math> |{{equationRef|ClassicalProof7|7}}}}

は、粒子 {{mvar|j}} から粒子 {{mvar|i}} に働く力である。これを、{{equationNote|ClassicalProof4|ビリアル定理の右辺}}に代入すると、以下のようになる。

{{numBlk|:|<math> -{1 \over 2} \left\langle \sum_i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i \right\rangle
= -{1 \over 2} \left\langle \sum_{i \ne j} 
\mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ij} \right\rangle
.</math>|{{equationRef|ClassicalProof8|8}}}}

和は {{math|''i'' {{=}} 1, ..., ''N''; ''j'' {{=}} 1, ..., ''N''}}、{{math|''i'' &ne; ''j''}} の2重の和である。
この和を {{math|''i'' &gt; ''j''}} と {{math|''i'' &lt; ''j''}} に分け、

:<math>
\sum_{i \ne j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji}
= \sum_{i > j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji}
+ \sum_{i < j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji}
</math>

第 2 項で添え字の入れ替えに対する反対称性 {{math|'''F'''<sub>''ji''</sub> {{=}} &minus;'''F'''<sub>''ij''</sub>}} に注意すると、以下の様な形になる。

<math>
= \sum_{i > j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji}
+ \sum_{j < i} \mathbf{r}_j \cdot \mathbf{F}_{ij}
= \sum_{i > j} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_{ji}
- \sum_{j < i} \mathbf{r}_j \cdot \mathbf{F}_{ji}
= \sum_{i > j} (\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j) \cdot \mathbf{F}_{ji}
= -(n+1) V(\mathbf{r}_1, \cdots, \mathbf{r}_N)
.</math>

したがって、中心力ポテンシャルに関するビリアル定理は以下のようになる。

{{numBlk|:|<math> 
\left\langle K \right\rangle =
{n+1 \over 2} \left\langle V \right\rangle
.</math>|{{equationRef|ClassicalProof9|9}}}}

==応用==
ビリアル定理を[[太陽系]]や[[銀河]]を始めとする、非常に複雑な物理体系（重力[[多体問題|多体系]]）に適用することにより、計算結果を簡素化することができるので非常に便利である。

また、ビリアル定理が成り立つ場合、次式から系の[[圧力]]を求めることができる。

:<math> P = {1 \over {3 V}} (2 \left\langle K \right\rangle + \sum_{i=1}^N \left\langle \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i \right\rangle ) </math>

ここで、{{mvar|P}} は[[圧力]]、{{mvar|V}} は系の[[体積]]である。[[気体分子運動論]]では上式から圧力を求める。

==一般化==
一般化されたビリアル定理を、'''超ビリアル定理''' {{en|(hypervirial theorem)}} と言う。座標 {{math|'''r'''}} と共役運動量 {{math|'''P'''}} を考え、この 2 つの量を変数とした[[関数 (数学)|関数]] {{math|''W''('''r''', '''P''')}} を考える。この関数は、冒頭での粒子系と同様な[[境界条件]]の基で任意に選べるとする。[[ハミルトニアン]]を {{mvar|H}} として、[[ポアソン括弧]]（詳細は[[ハミルトン力学]]を参照）の時間平均、

:<math> \left\langle [W,H] \right\rangle = 0 </math>

となるのが古典的な超ビリアル定理である。量子力学では、上記[[交換子]]の[[基底状態]]における[[期待値]]がゼロとなる。

:<math> \left\langle 0|[W,H]|0 \right\rangle = 0 </math>

これが量子力学的な超ビリアル定理である。ここで、{{mvar|W}} として上記のビリアルをとる。すなわち、

:<math> W = \mathbf{r} \cdot \mathbf{P} </math>

とすれば、通常のビリアル定理が導かれる。

==関連項目==
*[[多体問題]]
*[[統計力学]]
*[[物性物理学]]
*[[ビリアル応力]]

{{DEFAULTSORT:ひりあるていり}}
[[Category:力学]]
[[Category:量子力学]]
[[Category:統計力学]]
[[Category:天体物理学]]
[[Category:天文学に関する記事]]
[[Category:物理学の定理]]