ピアソンの積率相関係数のソースを表示

[[画像:Correlation examples2.svg|400px|thumb|[[散布図]]とそのピアソンの積率相関係数の一覧。相関は線形性および直線関係の向きを反映するが（上段）、その関係の傾きや（中段）、非直線関係の多くの面も反映しない（下段）。中央の図の傾きは0であるが、この場合は''Y''の分散が0であるため相関係数は定義されない。]]
'''ピアソンの積率相関係数'''（ピアソンのせきりつそうかんけいすう、{{lang-en-short|Pearson correlation coefficient, PCC}}）とは、2つの[[データ]]または[[確率変数]]の間にある線形な関係の強弱を測る指標である<ref>{{Cite book|和書 |author1=栗原伸一 |year=2011 |title=入門統計学―検定から多変量解析・実験計画法まで |url={{google books|r5JIE8QbPbAC|page=17|plainurl=yes}} |publisher=[[オーム社]] |isbn=978-4-274-06855-3 |ref=harv|page=18}}</ref><ref>{{Cite book |last1=Drouet Mari |first1=Dominique |last2=Kotz |first2=Samuel |year=2001 |title=Correlation and Dependence |url={{google books|xvG3CgAAQBAJ|plainurl=yes}} |publisher=Imperial College Press |isbn=1-86094-264-4 |mr=1835042 |ref=harv|page=11|chapter=2.2.1. Linear relationship}}</ref>。[[カール・ピアソン]]が研究した。一般的に、単に[[相関係数]]といえばピアソンの積率相関係数を指す。

ピアソンの積率相関係数は[[無次元量]]で、&minus;1以上1以下の[[実数]]に値をとる。相関係数が[[正の数と負の数|正]]のとき確率変数には'''正の相関'''が、負のとき確率変数には'''負の相関'''があるという。また相関係数が0のとき確率変数は'''無相関'''であるという<ref>{{Cite book|和書 |author=稲垣宣生 |year=1990 |title=数理統計学 |publisher=[[裳華房]] |isbn=4-7853-1406-0 |ref=harv|page=66}}</ref><ref>[[伏見康治]]「[[確率論及統計論]]」第III章　記述的統計学 21節 2偶然量の相関 p.146 ISBN 9784874720127 http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204</ref>。

たとえば、[[先進諸国]]の[[失業率]]と[[実質経済成長率]]は強い負の相関関係にあり、相関係数を求めれば&minus;1に近い数字になる。

相関係数が ±1 に値をとることは、2つのデータ（確率変数）が線形の関係にあるときに限る<ref>{{Cite book|和書 |author=稲垣宣生 |year=1990 |title=数理統計学 |publisher=[[裳華房]] |isbn=4-7853-1406-0 |ref=harv|quote=定理4.2.ii}}</ref>。また2つの確率変数が互いに[[独立 (確率論)|独立]]ならば相関係数は 0 となるが、逆は成り立たない。

== 定義 ==
=== 母集団相関係数 ===
正の[[分散 (確率論)|分散]]を持つ[[確率変数]] {{math2|''X'', ''Y''}} が与えられたとき、[[共分散]]を <math>\operatorname{cov} [X,Y]</math>、[[標準偏差]]を {{math2|''σ{{sub|X}}'', ''σ{{sub|Y}}''}} とおく。このとき
:<math>\rho = \frac{\operatorname{cov} [X,Y]}{\sigma_X \sigma_Y}</math>
を確率変数 {{mvar|X}} と {{mvar|Y}} の[[母集団]]のピアソンの積率相関係数という。これは[[期待値]]を {{math|''E''[…]}} で表せば
:<math>\rho = \frac{E \left[ \left( X-E \left[ X \right] \right) \left( Y-E \left[ Y \right] \right) \right]}{\sqrt{E \left[ \left( X- E \left[ X \right] \right)^2 \right] E \left[ \left( Y-E \left[ Y \right] \right)^2 \right]}}</math>
と書き直すこともできる。

=== 標本相関係数 ===
大きさの同じ2個のデータ {{math2|(''x''{{sub|1}}, ''x''{{sub|2}}, …, ''x{{sub|n}}''), (''y''{{sub|1}}, ''y''{{sub|2}}, …, ''y{{sub|n}}'')}} に対して、標本[[共分散]]を {{math|''s{{sub|xy}}''}}、[[標準偏差#標本の標準偏差|標本標準偏差]]をそれぞれ {{math2|''s{{sub|x}}'', ''s{{sub|y}}''}} とおく。このとき
:<math>r:= \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n \left( x_i-\overline{x} \right) \left( y_i-\overline{y} \right)}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 \sum\limits_{i=1}^n (y_i-\overline{y})^2}}</math>
を標本相関係数 (sample correlation coefficient) あるいは[[標本 (統計学)|標本]]のピアソンの積率相関係数という。ただし、{{math2|{{overline|''x''}}, {{overline|''y''}}}} はそれぞれデータ {{math2|(''x''{{sub|1}}, ''x''{{sub|2}}, …, ''x{{sub|n}}''), (''y''{{sub|1}}, ''y''{{sub|2}}, …, ''y{{sub|n}}'')}} の[[算術平均|平均値]]で、<math>\overline{x} = \frac{1}{n} \textstyle\sum\limits_{i=1}^n x_i</math>, <math>\overline{y} = \frac{1}{n} \textstyle\sum\limits_{i=1}^n y_i</math> である。

相関係数は、[[幾何学]]的には次のような意味になる。

データ {{math2|(''x''{{sub|1}}, ''x''{{sub|2}}, …, ''x{{sub|n}}''), (''y''{{sub|1}}, ''y''{{sub|2}}, …, ''y{{sub|n}}'')}} をそれぞれ {{mvar|n}} 次の[[列ベクトル]] {{math|'''''x''''' {{=}} [''x''{{sub|1}}&ensp;''x''{{sub|2}}&ensp;...&ensp;''x''{{sub|''n''}}]{{mtop|.}}, '''''y''''' {{=}} [''y''{{sub|1}}&ensp;''y''{{sub|2}}&ensp;...&ensp;''y''{{sub|''n''}}]{{mtop|.}}}} と考えると、{{math|'''''x''''', '''''y'''''}} の[[偏差]]ベクトルはそれぞれ以下のようになる。
:<math>\boldsymbol{x}-\overline{x}\,\boldsymbol{1}=\begin{bmatrix}
x_1-\overline{x} \\
x_2-\overline{x} \\
\vdots \\
x_n-\overline{x}
\end{bmatrix}, \; \boldsymbol{y}-\overline{y}\,\boldsymbol{1}=\begin{bmatrix}
y_1-\overline{y} \\
y_2-\overline{y} \\
\vdots \\
y_n-\overline{y}
\end{bmatrix}</math>
ただし、{{math|'''1'''}} は全ての成分が1である {{mvar|n}} 次の列ベクトルで、{{math|'''1''' {{=}} [1&ensp;1&ensp;...&ensp;1]{{mtop|.}}}} である。このとき、{{math|'''''x''''', '''''y'''''}} の[[偏差]]ベクトル {{math|'''''x''''' &minus; {{overline|''x''}} '''1''', '''''y''''' &minus; {{overline|''y''}} '''1'''}} の[[ベクトルのなす角|なす角]]を {{mvar|θ}} としたときの
:<math>\cos \theta =\frac{\langle \boldsymbol{x}-\overline{x}\,\boldsymbol{1},\;\boldsymbol{y}-\overline{y}\,\boldsymbol{1} \rangle}{\| \boldsymbol{x}-\overline{x}\,\boldsymbol{1} \| \| \boldsymbol{y}-\overline{y}\,\boldsymbol{1} \|}</math>
が標本相関係数 {{mvar|r}} である。ここで、{{math|{{angbr|&#x25CF;, &#x25CF;}}}} は[[内積]]を表す。

データ {{math|(''x''{{sub|1}}, ''x''{{sub|2}}, …, ''x{{sub|n}}''), (''y''{{sub|1}}, ''y''{{sub|2}}, ..., ''y{{sub|n}}'')}} が2次元[[正規分布]]からの標本のとき、標本相関係数 {{mvar|r}} は母集団相関係数 {{mvar|ρ}} の[[最尤推定]]量ではあるが、[[偏り#推定量の偏り|不偏推定量]]ではなく（絶対値で見ると）小さめに見積もりがちである<ref>{{Cite book |last1=Hedges |first1=Larry V. |last2=Olkin |first2=Ingram |year=1985 |title=Statistical Methods for Meta-Analysis |page=225}}</ref>。また[[外れ値]]に大きく影響してしまう。

==例==
下のような<math>X</math>と<math>Y</math>の[[同時確率分布]]を考える。
{| class="wikitable"
|-
|<math>\operatorname{P}(X=x,Y=y)</math>
|<math>y=-1</math>
|<math>y=0</math>
|<math>y=1</math>
|-
|<math>x=0</math>
|<math>0</math>
|<math>1/3</math>
|<math>0</math>
|-
|<math>x=1</math>
|<math>1/3</math>
|<math>0</math>
|<math>1/3</math>
|}

この同時分布の場合、[[周辺分布]]は以下のようになる。
:<math>\operatorname{P}(X=x)=
\begin{cases}
1/3 & \quad \text{for } x=0 \\
2/3 & \quad \text{for } x=1 
\end{cases}
</math>

:<math>\operatorname{P}(Y=y)=
\begin{cases}
1/3 & \quad \text{for } y=-1 \\
1/3 & \quad \text{for } y=0 \\
1/3 & \quad \text{for } y=1 
\end{cases}
</math>

ここから以下の期待値および分散値が得られる。
:<math>\mu_X = 2/3</math>
:<math>\mu_Y = 0</math>
:<math>\sigma_X^2 = 2/9</math>
:<math>\sigma_Y^2 = 2/3</math>

したがって、相関係数<math>\rho_{X,Y}</math>は次の通り。

: <math>
\begin{align}
\rho_{X,Y} & = \frac{1}{\sigma_X \sigma_Y} \operatorname{E}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] \\[5pt]
& = \frac{1}{\sigma_X \sigma_Y} \sum_{x,y}{(x-\mu_X)(y-\mu_Y) \operatorname{P}(X=x,Y=y)} \\[5pt]
& = (1-2/3)(-1-0)\frac{1}{3} + (0-2/3)(0-0)\frac{1}{3} + (1-2/3)(1-0)\frac{1}{3} = 0.
\end{align}
</math>
（すなわち「無相関」である）

== 誤解や誤用 ==
{{Excerpt|相関係数|誤解や誤用|subsections=yes|references=no}}

== 脚注 ==
{{Reflist|2}}

== 関連項目 ==
*[[統計学]]
**[[回帰分析]]
**[[コピュラ (統計学)]]
**[[相関関数]]
**[[交絡]]
**[[相関関係と因果関係]]、[[擬似相関]]、[[錯誤相関]]
*[[自己相関]]
*[[HARKing]]

{{統計学}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:そうかんけいすう}}

[[Category:確率論]]
[[Category:統計学]]
[[Category:数学に関する記事]]