ピカール群のソースを表示

{{要改訳}}
{{distinguish|{{仮リンク|ピカールモジュラー群|en|Picard modular group}} }}
数学では、[[環付き空間]] ''X'' の'''ピカール群'''(Picard group)は、 ''X'' 上の[[可逆層]]（もしくは、[[直線束]]）の[[同型]]類 Pic(''X'') がなす群であり、その演算は[[テンソル積]]から定まる。この構成は、因子類群や[[イデアル類群]]の構成の大域的なバージョンであり、[[代数幾何学]]や[[複素多様体]]の理論でよく使われる。

ピカール群は、[[層コホモロジー]]群
:<math>H^1 (X, \mathcal{O}_X^{*})</math>
としても定義することができる。

整[[概型|スキーム]](integral scheme)に対して、ピカール群は[[因子 (代数幾何学)#カルティエ因子|カルティエ因子]]の類群と同型であることを示すことができる。複素多様体に対し、[[指数層系列]]は、ピカール群の基本的な情報を与える。

[[エミール・ピカール]] (Émile Picard) の理論、特に[[代数曲線]]の因子の理論から、ピカールの名前がついている。

==例==
* [[デデキント整域]]の[[スペクトル]]のピカール群は、デデキント整域の'''[[イデアル類群]]'''である．

* [[可換体|体]] ''k'' の[[射影空間]] '''P'''<sup>''n''</sup>(''k'') の[[可逆層]]は、{{仮リンク|ねじり層|label=ねじり|en|Twisting sheaf}}(Twisting sheaf)[[層 (数学)|層]] <math>\mathcal{O}(m),\,</math> であるから、'''P'''<sup>''n''</sup>(''k'') のピカール群は '''Z''' に同型である。

* ''k'' 上の 2 つの原点をもつアフィン直線のピカール群は、'''Z''' に同型である。

==ピカールスキーム==
ピカール群（の{{仮リンク|表現可能函手|en|representable functor}}(representable functor)のバージョンでの）スキーム構造の構成である'''ピカールスキーム''' (Picard scheme) は、代数幾何学、特に{{仮リンク|双対アーベル多様体|label=アーベル多様体の双対理論|en|duality theory of abelian varieties}}(duality theory of abelian varieties)では重要なステップである。ピカールスキームは{{harvtxt|Grothendieck|1961/62}}で構成されていて、また、{{harvtxt|Mumford|1966}}や{{harvtxt|Kleiman|2005}}にも記載がある。'''ピカール多様体'''は、古典的な代数幾何学の[[アルバネーゼ多様体]]の双対である。

古典的な代数幾何学で最も重要な場合は、[[標数]]が 0 の[[可換体|体]]の上の[[非特異]]な{{仮リンク|完備多様体|en|complete variety}}(complete variety) ''V'' に対し、ピカールスキームの単位元の[[連結空間|連結成分]]は、Pic<sup>0</sup>(''V'') と書かれ、[[アーベル多様体]]である。''V'' が曲線である特別な場合は、この成分が ''V'' の[[ヤコビ多様体]]である。しかしながら、正標数では、[[井草準一]]は被約でない Pic<sup>0</sup>(''S'') を持つ、従ってアーベル多様体とはならない、滑らかな射影曲面 ''S'' の例を構成した。

商 <math>\operatorname{Pic}(V)/\operatorname{Pic}^0(V)</math> は[[有限生成アーベル群]]であり、''V'' の'''[[ネロン・セヴィリ群]]'''と呼ばれ、NS(''V'') と書く。言い換えると、ピカール群は次の[[完全系列]]に適合する。
:<math>1\to \mathrm{Pic}^0(V)\to\mathrm{Pic}(V)\to \mathrm{NS}(V)\to 0.\,</math>

ランクが有限であるという事実は、{{仮リンク|フランシス・セヴィリ|en|Francesco Severi}}(Francesco Severi)の'''基底定理'''(theorem of the base)である。ランクは ''V'' の'''ピカール数''' (Picard number) であり、しばしば &rho;(''V'') と書かれる。幾何学的には NS(''V'') は、''V'' 上の[[因子 (代数幾何学)|因子]]の{{仮リンク|代数的同値|en|algebraic equivalence}}(algebraic equivalence)類を記述する。すなわち、{{仮リンク|因子の一次系|en|linear equivalence of divisors}}(linear equivalence of divisors)の代わりにより強い非線型な同値関係を用いると、分類は離散的な不変量となり扱いやすい。代数的同値は[[交叉数]]による本質的にトポロジカルな分類である{{仮リンク|数値的同値|en|numerical equivalence}}(numerical equivalence)と密接に関係している。

== 相対的ピカールスキーム ==
''f'': ''X'' → ''S'' をスキームの射とする。'''相対的ピカール函手'''(relative Picard functor)（あるいは、スキームであれば'''相対的ピカールスキーム'''）は、任意の ''S''-スキーム ''T'' に対し、
:<math>\operatorname{Pic}_{X/S}(T) = \operatorname{Pic}(X_T)/f_T^*(\operatorname{Pic}(T))</math>
により与えられる<ref>{{harvnb|Kleiman|2005|loc=Definition 9.2.2.}}</ref>。ここに、<math>f_T: X_T \to T</math> は ''f'' のベースチェンジであり、''f<sub>T</sub>'' <sup>*</sup> はその引き戻しである。

（次数がピカール群 ''X<sub>s</sub>'' に対して定義されているとき、）すべての幾何学的生成点 ''s'' → ''T'' に対し、''s'' に沿う ''L'' の引き戻し <math>s^*L</math> が、ファイバー ''X<sub>s</sub>'' 上の可逆層として、次数 ''r'' であれば、<math>\operatorname{Pic}_{X/S}(T)</math> の ''L'' が次数 ''r'' であると言う。

==環のピカール群==
{{節スタブ}}
「[[:de:Picardgruppe#Die Picardgruppe von Ringen|Die Picardgruppe von Ringen]]」を参照。

==参照項目==
*[[層コホモロジー]]
*[[因子 (代数幾何学)#カルティエ因子|カルティエ因子]]
*[[正則ベクトルバンドル|正則ラインバンドル]]
*[[イデアル類群]]
*{{仮リンク|アラケロフ類群|en|Arakelov class group}}(Arakelov class group)

==参考文献==
*{{citation|first=A.|last=Grothendieck|authorlink=Alexander Grothendieck|url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1961-1962__7__143_0 |title=V. Les schémas de Picard. Théorèmes d'existence|series=Séminaire Bourbaki, t. 14, |year=1961/62|issue= 232}}
*{{citation|first=A.|last=Grothendieck|url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1961-1962__7__221_0 |title=VI. Les schémas de Picard. Propriétés générales|series=Séminaire Bourbaki, t. 14, |year=1961/62|issue= 236}}
* {{Citation | last1=Hartshorne | first1=Robin | author1-link= Robin Hartshorne | title=[[Algebraic Geometry (book)|Algebraic Geometry]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90244-9 | oclc=13348052 | mr=0463157 | year=1977}}
*{{citation|first=Jun-Ichi|last=Igusa|authorlink=Jun-Ichi_Igusa|title=On some problems in abstract algebraic geometry|journal=Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.| volume= 41|
pages= 964–967 |year=1955|doi=10.1073/pnas.41.11.964}}
*{{Citation | last1=Kleiman | first1=Steven L. | author1-link=Steven Kleiman | title=Fundamental algebraic geometry | arxiv=math/0504020 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Math. Surveys Monogr. | mr=2223410 | year=2005 | volume=123 | chapter=The Picard scheme | pages=235–321}}
*{{Citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | title=Lectures on Curves on an Algebraic Surface | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Annals of Mathematics Studies | isbn=978-0-691-07993-6 | mr=0209285  | year=1966 | volume=59| oclc=171541070}}
* {{Citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link= David Mumford | title=Abelian varieties | publisher=[[Oxford University Press]] | location=Oxford | isbn=978-0-19-560528-0 | oclc=138290 | year=1970}}

==脚注==
{{Reflist}}

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:ひかあるくん}}
[[Category:因子の幾何学]]
[[Category:スキーム論]]
[[Category:アーベル多様体]]
[[Category:数学に関する記事]]