ピコーンの等式のソースを表示

[[数学]]の[[常微分方程式]]の分野における'''ピコーンの等式'''（ピコーンのとうしき、{{Lang-en-short|Picone identity}}）は、{{仮リンク|同次微分方程式|label=二階同次線型微分方程式|en|homogeneous differential equation}}に関する古典的な結果の一つである。{{仮リンク|マウロ・ピコーン|en|Mauro Picone}}の名にちなむ<ref name="Picone">{{harvnb|Picone|1910}}</ref>。1910年にこの等式が発見されると、スツルムの1836年の元々の証明では多くのページを必要としていた[[スツルム＝ピコーンの比較定理|スツルムの比較定理]]に対し、ほとんど直ちに示される証明が与えられるなど、研究の発展に大いに寄与した。また、上記のような微分方程式の[[振動理論|振動]]を研究する上でもピコーンの等式は役に立ち、他のタイプの[[微分方程式]]や[[差分方程式]]に対しても一般化がなされている。

== ピコーンの等式 ==
''u'' と ''v'' を、二つの[[スツルムリウビル型微分方程式|自己随伴形式]]の二階同次線型微分方程式
:<math>(p_1(x) u')' + q_1(x) u = 0 \, </math>
および
:<math>(p_2(x) v')' + q_2(x) v = 0 \,</math>
の解とする。このとき、''v''(''x'') ≠ 0 であるような全ての ''x'' に対して、次の等式が成立する。
:<math>\left(\frac{u}{v}(p_1 u' v - p_2 u v')\right)' = \left(q_2 - q_1\right) u^2 + \left(p_1 - p_2\right)u'^2 + p_2\left(u'-v'\frac{u}{v}\right)^2.</math>
この等式のことを、ピコーンの等式と呼ぶ。

=== 証明 ===
<math>
 \begin{align}
  &\left(\frac{u}{v}(p_1 u' v - p_2 u v')\right)' \\
  &\quad =\left(u p_1 u' -p_2v'u^2 \frac 1 v \right)' \\
  &\quad =u'p_1u' +u(p_1 u')' -(p_2v')'u^2 \frac 1 v-p_2 v' 2u u' \frac 1 v +p_2 v' u^2 \frac{v'}{v^2} \\
  &\quad = p_1u'^2-2p_2\frac{ u u' v'} v+p_2\frac{u^2 v'^2}{v^2}+u (p_1u')'- (p_2 v')'\frac{u^2}{v} \\
  &\quad = p_1u'^2-p_2u'^2+p_2u'^2-2p_2u'\frac {u v'} v+p_2\left(\frac{u v'}{v}\right)^2-u (q_1u)+ (q_2 v)\frac {u^2} v \\
  &\quad = \left(p_1 - p_2\right)u'^2 + p_2\left(u'-v'\frac{u}{v}\right)^2 + \left(q_2 - q_1\right) u^2.
 \end{align}
</math>

==脚注==
{{reflist}}
== 参考文献 ==
* {{cite journal|last=Picone|first=Mauro|authorlink=:en:Mauro Picone|title=Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un’equazione differenziale lineare del secondo ordine|url=http://www.numdam.org/item/?id=ASNSP_1910_1_11__A1_0|journal=Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa|volume=11|pages=1–141|year=1910|ref=harv}}
* {{cite journal
  | last = Swanson
  | first = Charles A.
  | title = Picone's Identity
  | journal = Rendiconti di Matematica
  | volume = 8
  | issue = 2
  | pages = 373–397
  | year = 1975 
  | ref=harv}}

{{DEFAULTSORT:ひこおんのとうしき}}
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