ピゾ数のソースを表示

{{出典の明記|date=2025-01}}

'''ピゾ数'''（ピゾすう、{{lang-en|Pisot–Vijayaraghavan number}}）とは、[[代数的整数|代数的整]][[実数]] {{math|α}}&nbsp;>&nbsp;1 のうち、全ての{{仮リンク|共役根|en|Conjugate roots}}の[[絶対値]]が1未満である数のことである<ref name="S.Akiyama 1">{{Cite web|和書 |title=Pisot 数 |url=http://math.tsukuba.ac.jp/~akiyama/papers/proc/pisot_number.pdf |author=秋山茂樹 |accessdate=2025-01-18}}</ref>。'''ピゾ＝ヴィジャヤラガヴァン数'''、'''PV数'''とも呼ばれる。

== 定義 ==
代数的整数、つまり整数係数[[モニック多項式]]の根のうち、1より大きい実数であり、かつ全ての共役根が、絶対値が1より小さい[[複素数]]であるような数をピゾ数という。言い換えれば、全ての共役根が[[複素平面]]の[[単位円]]の内側にあるような、1より大きい代数的整実数のことである。

例えば、{{math|''x{{sup|2}}'' - ''x'' - 1 {{=}} 0}}の解の一つである[[黄金数]]は、{{math|''φ'' {{=}} 1.6180...}}で与えられる1より大きい数であり、その共役根は{{math|''1-φ'' {{=}} -0.6180...}}であり絶対値が1未満であるため、ピゾ数である。

同様に、{{math|''x{{sup|3}}'' - ''x'' - 1 {{=}} 0}}の解の一つである[[プラスチック数]]は、{{math|''p'' {{=}} 1.3247...}}で与えられる数1より大きい数であり、その共役根は、{{math|-0.66236... ± 0.56228...''i''}}であり絶対値が1未満であるため、ピゾ数である。

2以上の整数は共役根が存在しないが、ピゾ数である<ref name="V.Srivastava">{{Cite Web|url=http://simonrs.com/eulercircle/numbertheory/varun-sanjay-pisot.pdf|title=PISOT NUMBERS|author=Varun Srivastava,Sanjay Gollapudi|accessdate=2025-01-20}}</ref>。

== 性質 ==
=== ほとんど整数 ===
ピゾ数の累乗は、[[ほとんど整数]]となる。

あるピゾ数{{math|α > 1}}の共役根を{{math|''α{{sub|1}}, α{{sub|2}}, ..., α{{sub|n-1}}''}}とする。ピゾ数は代数的整数であり、整数係数モニック多項式の根であるため、解と係数の関係より、{{math|''n''}}個の根からなる基本対称式は全て整数である。したがって、対称式
:<math>\alpha^m + \alpha_{1}^m + \alpha_{2}^m + \cdots + \alpha_{n-1}^m</math>
も整数となる。

しかし、ピゾ数の共役根{{math|''α{{sub|1}}, α{{sub|2}}, ..., α{{sub|n-1}}''}}の絶対値は1未満であるため、{{math|''m''}}が限りなく大きいとき、それらは限りなく0に近づく。そのため、上記の対称式より{{math|α{{sup|''m''}}}}は限りなく整数に近づき、ほとんど整数となることがわかる。

例えば、黄金数の累乗は次のようになる。
:<math>\varphi^{17}=3571.000280\dots</math>
:<math>\varphi^{18}=5777.999826\dots</math>
:<math>\varphi^{19}=9349.000106\dots</math>

=== ピゾ数の判定法 ===
*ピゾ数の累乗は一様分布しない<ref name="S.Akiyama 1"></ref><ref name="S.Akiyama 2">{{Cite web|和書|title=Pisot数とフラクタルタイリング|author=秋山茂樹|url= http://math.tsukuba.ac.jp/~akiyama/papers/proc/Kanazawa.pdf|accessdate=2025-01-20}}</ref>。
:ある数{{math|''x''}}から最も近い整数までの距離を||{{math|''x''}}||とすると、ある数{{math|α}}がピゾ数であり、ある数{{math|λ}}が代数的数ならば、
:<math>\lim_{n \to \infty} \|\alpha^n\| = 0, \lim_{n \to \infty} \|\lambda\alpha^n\| = 0</math>
:が成り立つ<ref name="V.Srivastava"></ref><ref name="S.Akiyama 2"></ref>。
上記の[[逆]]が成り立つかどうかは未解決である<ref name="S.Akiyama 2"></ref>（ピゾ=ヴィジャヤラガヴァンの問題）が、もし成り立つならば単純な条件でピゾ数の判定ができる。以下は、ピゾ数を判定するいくつかの方法である。
*ある数{{math|α}}が1より大きい実数であり、それに対してある1以上の実数{{math|λ}}が存在して、全ての{{math|''n'' {{=}} 1,2,3...}}について、
:<math>\|\lambda\alpha^n\| \leq \frac{1}{2e\alpha (\alpha + 1)(1 + \log{\lambda})}</math>
:ならば、{{math|α}}はピゾ数または[[サレム数]]である<ref name="S.Akiyama 2"></ref>。
*ある数{{math|α}}が1より大きい実数であり、ある数{{math|λ}}が0でない実数のとき、
:<math>\sum_{n=1}^\infty \|\lambda\alpha^n\|^2 < \infty</math>
:ならば、{{math|α}}はピゾ数であり、{{math|λ}}は代数的数である。（ピゾの定理）
*ある数{{math|α}}が1より大きい''代数的数''であり、ある数{{math|λ}}が0でない実数のとき、
:<math>\lim_{n \to \infty} \|\lambda\alpha^n\| = 0</math>
:ならば、{{math|α}}はピゾ数であり、{{math|λ}}は代数的数である<ref name="V.Srivastava"></ref>。
*ある数{{math|α}}が1より大きい実数であるとき、[[ランダウの記号|''O''-記法]]を用いて||{{math|α{{sup|''n''}}}}||{{math| {{=}} ''O''({{sfrac|1|''n''}})}}もしくは||{{math|α{{sup|''n''}}}}||{{math| {{=}} ''O''({{sfrac|1|{{sqrt|''n''}}}})}}ならば、{{math|α}}はピゾ数である<ref name="V.Srivastava"></ref><ref name="S.Akiyama 2"></ref>。
:言い換えれば、累乗が0に収束する速度が十分速ければよい。

=== 位相空間 ===
*ピゾ数の[[集合]]は、[[閉集合]]である<ref name="S.Akiyama 1"></ref><ref name="S.Akiyama 2"></ref>。
:{{仮リンク|ティルカンナプラム・ヴィジャヤラガヴァン|en|Tirukkannapuram Vijayaraghavan}}によってピゾ数の集合が無限個の集積点を持つことが証明され、その後{{仮リンク|ラファエル・サレム|en|Raphaël Salem}}は、ピゾ数の集合が閉集合であることを証明した<ref name="wolfram mathworld">{{Cite web|和書 |title=Pisot Number |url=https://mathworld.wolfram.com/PisotNumber.html|accessdate=2025-01-20}}</ref>。
*プラスチック数は最小のピゾ数であり、黄金数は最小のピゾ数の[[集積点]]である<ref name="S.Akiyama 1"></ref><ref name="S.Akiyama 2"></ref>。
:ピゾ数は閉集合であり、極小元を持つ。[[カール・ジーゲル]]は、極小元が{{math|''x{{sup|3}}'' - ''x'' - 1 {{=}} 0}}の正の実数解であるプラスチック数であり、ピゾ数の集合の[[孤立点]]であるというサレムの予想を証明した<ref name="wolfram mathworld"></ref>。なお、2番目に小さいピゾ数もジーゲルが発見し、孤立点であることを証明した<ref name="wolfram mathworld"></ref>。
:デュフレノワと{{仮リンク|シャルル・ピゾ|en|Charles Pisot}}は、黄金数がピゾ数の集合の最小の集積点であるというジーゲルの予想を証明し、黄金数より小さなピゾ数を求めた<ref name="wolfram mathworld"></ref>。任意の閉区間{{math|[''a,b'']}}に含まれるピゾ数を求めるアルゴリズムは、デイビッド・ボイドによって発見された<ref name="S.Akiyama 2"></ref>。

=== サレム数との関係 ===
*サレム数は、代数的整実数 {{math|α}}&nbsp;>&nbsp;1 のうち、全ての共役根の絶対値が1以下であり、そのうち少なくとも一つの絶対値が1である数のことである。ピゾ数とサレム数は定義に共通する部分が多く、以下のようにいくつかの関連性を持つ。
*ピゾ数の集合は、サレム数の集積点の集合に含まれる<ref name="S.Akiyama 2"></ref>。
*ピゾ数とサレム数の集合の[[和集合]]は、閉集合であると予想されている。
*最小のサレム数を含むいくつかの小さなサレム数の族は、ピゾ数の[[最小多項式]]とその[[相反多項式]]から作った方程式を解くことで求められる。
*{{仮リンク|ペロン数|en|Perron number}}は、代数的整実数 {{math|α}}&nbsp;>&nbsp;1 のうち、全ての共役根の絶対値が{{math|α}}未満である数である。ピゾ数もサレム数も、ペロン数である。

== 歴史 ==
ピゾ数は、1912年に{{仮リンク|アクセル・トゥエ|en|Axel Thue}}によって研究が始まり、1919年には[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ]]によって[[ディオファントス近似]]の分野で研究された。その後、ピゾ数の名前の由来であるピゾの1938年の論文によって広く知られるようになり、1940年代にはサレムやヴィジャヤラガヴァンらによって研究された。

ピゾ数は、ディファントス近似、[[ロボット工学]]、[[流体力学]]、[[準結晶]]、[[調和解析]]（[[フーリエ級数]]の一意性問題）など、様々な分野に応用されている<ref name="S.Akiyama 1"></ref><ref name="K.Hare">{{Cite Web|url=https://uwaterloo.ca/scholar/sites/ca.scholar/files/kghare/files/phd.pdf|title=Pisot numbers and the Spectra of Real numbers|author=Kevin Hare|accessdate=2025-01-20}}</ref>。

== 応用 ==
=== 準結晶 ===
準結晶は、並進対称性とは両立しない5回、8回、10回または12回対称性を持ちながら、高い秩序性(準周期性)を持つ固体の状態である。正10角形準結晶の[[回折]]像は、輝点の間隔が等間隔ではなく公比が黄金数である等比数列となっており、また拡大率が黄金数である[[自己相似]]性も有する。

ピゾ数の多項式の集合は一様離散であり、二点の距離はある値よりも小さくなることができないが、同時に相対稠密でもあり、二点の距離はある値よりも大きくなることができない。この両方の性質を持つ{{仮リンク|デロン集合|en|Delone set}}は、反発して近づくことができない原子や分子の位置をモデル化するのに適しているが、準結晶が同一構造の繰り返しを持つことを考慮するためには、{{仮リンク|マイヤー集合|en|Meyer set}}が用いられる<ref name="S.Akiyama 1"></ref><ref name="S.Akiyama 3">{{Cite web|和書|url=http://math.tsukuba.ac.jp/~akiyama/papers/proc/shechtmanfin.pdf|title=準結晶の数学的モデル：準周期タイリング|author=秋山茂樹|accessdate=2025-01-21}}</ref>。

また、準結晶の自己相似性を持つ原子配列は、[[タイル張り]]と深い関連を持つ。二次元の自己相似性を持つタイル張りの拡大率は、ピゾ数を含む複素ペロン数でなければならず、ピゾ数を用いてタイル張りを構成することができる<ref name="S.Akiyama 1"></ref>。

<gallery>
File:Diff.jpg|準結晶のX線回折像(正10角形準結晶)
File:Penrose Tiling (Rhombi).svg|準結晶と共通した構造を持つ[[ペンローズ・タイル]]
</gallery>

== ピゾ数の一覧 ==
=== 二次の無理数 ===
整数{{math|''a, b''}}について、{{math|''a'' < 0}}かつ{{math|''a'' - 1 < b < -''a'' - 1}}のとき、二次方程式{{math|''x{{sup|2}} + ax + b'' {{=}} 0}}の正の実数根はピゾ数である。
{| class="wikitable"
|-
! ピゾ数 !! 最小多項式 !! 値
|- style="height:50px"
| <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>  ||<math>x^2-x-1</math>  || 1.618033...  {{OEIS2C|A001622}} ([[黄金比|黄金数]])
|- style="height:50px"
| <math>1+\sqrt{2}\,</math>          ||<math>x^2-2x-1</math> || 2.414213... {{OEIS2C|A014176}} ([[白銀比|白銀数]])
|- style="height:50px"
| <math>\frac{3+\sqrt{5}}{2}</math>  ||<math>x^2-3x+1</math> || 2.618033... {{OEIS2C|A104457}} (黄金数の平方)
|- style="height:50px"
| <math>1+\sqrt{3}\,</math>          ||<math>x^2-2x-2</math> || 2.732050... {{OEIS2C|A090388}}
|- style="height:50px"
| <math>\frac{3+\sqrt{13}}{2}</math> ||<math>x^2-3x-1</math> || 3.302775... {{OEIS2C|A098316}} ([[青銅比|青銅数]])
|- style="height:50px"
| <math>2+\sqrt{2}\,</math>          ||<math>x^2-4x+2</math> || 3.414213...
|- style="height:50px"
| <math>\frac{3+\sqrt{17}}{2}</math> ||<math>x^2-3x-2</math> || 3.561552.. {{OEIS2C|A178255}}.
|- style="height:50px"
| <math>2+\sqrt{3}\,</math>          ||<math>x^2-4x+1</math> || 3.732050... {{OEIS2C|A019973}}
|- style="height:50px"
| <math>\frac{3+\sqrt{21}}{2}</math> ||<math>x^2-3x-3</math> || 3.791287...{{OEIS2C|A090458}}
|- style="height:50px"
| <math>2+\sqrt{5}\,</math>          ||<math>x^2-4x-1</math> || 4.236067... {{OEIS2C|A098317}} (4番目の[[貴金属比|貴金属数]])
|}
=== 黄金数より小さなピゾ数 ===
黄金数より小さなピゾ数は、デュフレノアとピゾによって求められた<ref name="wolfram mathworld"></ref>。
{| class="wikitable"
|-
!   !! 値 !! 多項式 !! 最小多項式
|-
| 1 || 1.3247179572447460260 {{OEIS2C|A060006}} ([[プラスチック数]]) || <math>x(x^2-x-1)+(x^2-1)</math> || <math>x^3-x-1</math>
|-
| 2 || 1.3802775690976141157 {{OEIS2C|A086106}} || <math>x^2(x^2-x-1)+(x^2-1)</math> ||<math>x^4-x^3-1</math>
|-
| 3 || 1.4432687912703731076 {{OEIS2C|A228777}} || <math>x^3(x^2-x-1)+(x^2-1)</math> ||<math>x^5-x^4-x^3+x^2-1</math>
|-
| 4 || 1.4655712318767680267 {{OEIS2C|A092526}} ({{仮リンク|超黄金比|en|Supergolden ratio}}) || <math>x^3(x^2-x-1)+1</math> ||<math>x^3-x^2-1</math>
|-
| 5 || 1.5015948035390873664 {{OEIS2C|A293508}} || <math>x^4(x^2-x-1)+(x^2-1)</math> ||<math>x^6-x^5-x^4+x^2-1</math>
|-
| 6 || 1.5341577449142669154 {{OEIS2C|A293509}} || <math>x^4(x^2-x-1)+1</math> ||<math>x^5-x^3-x^2-x-1</math>
|-
| 7 || 1.5452156497327552432 {{OEIS2C|A293557}} || <math>x^5(x^2-x-1)+(x^2-1)</math> ||<math>x^7-x^6-x^5+x^2-1</math>
|-
| 8 || 1.5617520677202972947 || <math>x^3(x^3-2x^2+x-1)+(x-1)(x^2+1)</math> ||<math>x^6-2x^5+x^4-x^2+x-1</math>
|-
| 9 || 1.5701473121960543629 {{OEIS2C|A293506}} || <math>x^5(x^2-x-1)+1</math> ||<math>x^5-x^4-x^2-1</math>
|-
| 10 || 1.5736789683935169887 || <math>x^6(x^2-x-1)+(x^2-1)</math> ||<math>x^8-x^7-x^6+x^2-1</math>
|}
8番目を除き、多項式が<math>x^n(x^2-x-1)+1</math>もしくは<math>x^n(x^2-x-1)+(x^2-1)</math>であることがわかる。

多項式が<math>x^n(x^2-x-1)+1</math>であるとき、{{math|''n''}}が[[偶数]]ならば<math>x-1</math>で割り切れ、{{math|''m''}}を[[自然数]]とするとき、<math>x^{2m}(x^2-x-1)+1 = (x-1)(x^{2m+1}-x^{2m-1}-x^{2m-2}-\cdots-x-1)</math>となる。{{math|''n''}}が[[奇数]]ならば<math>x^2-1</math>で割り切れ、<math>x^{2m-1}(x^2-x-1)+1 = (x^2-1)(x^{2m-1}-x^{2m-2}-x^{2m-4}-\cdots-x^2-1)</math>となる。

多項式が<math>x^n(x^2-x-1)+1</math>もしくは<math>x^n(x^2-x-1)+(x^2-1)</math>のとき、<math>x^n</math>で割ることで、{{math|''x''}}がピゾ数ならば{{math|''x'' > 1}}であるため、{{math|''n''}}が大きくなるにつれて得られるピゾ数が黄金数に近づいていくことがわかる。

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 関連項目 ==
*[[サレム数]]
*{{仮リンク|ペロン数|en|Perron number}}
*[[貴金属比]]

{{代数的数}}
{{貴金属比}}
{{Algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:ひそすう}}
[[Category:代数的数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]