ピタゴラス平均のソースを表示

[[ファイル:MathematicalMeans.svg|右|サムネイル|（2つの数字''a''と''b''の）[[二乗平均平方根]]とピタゴラス平均を幾何的に構築したもの。調和平均は{{colorbox|purple}}{{nbsp}}''H''、幾何平均は{{colorbox|blue}}{{nbsp}}''G''、算術平均は{{colorbox|red}}{{nbsp}}''A''、二乗平均平方根は{{colorbox|green}}{{nbsp}}''Q''で表される。]]
[[ファイル:Comparison_Pythagorean_means.svg|右|サムネイル|一組の数字の算術平均、幾何平均、調和平均の比較。縦の破線は調和平均の[[漸近線]]である。]]
数学において、古典的な'''ピタゴラス平均'''（ピタゴラスへいきん、[[英語|英]]: Pythagorean means）とは、[[算術平均]](AM)、[[幾何平均]](GM)、[[調和平均]](HM)の3つである。これらの[[平均]]は、幾何学や音楽における重要性から、[[ピタゴラス教団]]やそれ以降の世代のギリシャの数学者たち<ref>{{cite book|first=Thomas|last=Heath|title=History of Ancient Greek Mathematics}}</ref>によって研究されていた。

== 定義 ==
これらは次のように定義される。

: <math>\begin{align}
\operatorname{AM} \left( x_1,\; \ldots,\; x_n \right) &= \frac{1}{n} \left(x_1 + \;\cdots\; + x_n\right) \\[9pt]
\operatorname{GM} \left( x_1,\; \ldots,\; x_n \right) &= \sqrt[n]{\left\vert x_1 \times \,\cdots\, \times x_n \right\vert} \\[9pt]
\operatorname{HM} \left( x_1,\; \ldots,\; x_n \right) &= \frac{n}{\displaystyle \frac{1}{x_1} + \;\cdots\; + \frac{1}{x_n}}
\end{align}</math>

== 性質 ==
それぞれの平均<math display="inline">\operatorname{M}</math>は以下の性質を持っている。

; 一次[[斉次函数|斉次性]]
: <math>\operatorname{M}(bx_1,\, \ldots,\, bx_n) = b \operatorname{M}(x_1,\, \ldots,\, x_n)</math>
; 交換時の不変性
:
: 任意の<math>i</math>と<math>j</math>に対して
: <math>\operatorname{M}(\ldots,\, x_i,\, \ldots,\, x_j,\, \ldots) = \operatorname{M}(\ldots,\, x_j,\, \ldots,\, x_i,\, \ldots)</math>
; 単調性
: <math> a < b \Rightarrow \operatorname{M}(a,x_1,x_2,\ldots x_n) < \operatorname{M}(b,x_1,x_2,\ldots x_n)</math>
; [[冪等|冪等性]]
: <math> \forall x, \; M(x,x,\ldots x) = x </math>

単調性と冪等性の組み合わせは、ある集合の平均値が常にその集合の両極端の間にあることを意味する。

: <math>\min(x_1,\, \ldots,\, x_n) \leq \operatorname{M}(x_1,\, \ldots,\, x_n) \leq \max(x_1,\, \ldots,\, x_n)</math>

調和平均と算術平均は、正の引数については互いに逆数と双対である。

: <math>\operatorname{HM}\left(\frac{1}{x_1},\, \ldots,\, \frac{1}{x_n}\right) = \frac{1}{\operatorname{AM}\left(x_1,\, \ldots,\, x_n\right)}</math>

一方、幾何平均はその逆数と双対である。

: <math>\operatorname{GM}\left(\frac{1}{x_1},\, \ldots,\, \frac{1}{x_n}\right) = \frac{1}{\operatorname{GM}\left(x_1,\, \ldots,\, x_n\right)}</math>

== 平均間の不等式 ==
[[ファイル:QM_AM_GM_HM_inequality_visual_proof.svg|サムネイル|230px|正の数''a'',''b''について {{nowrap|''max''&thinsp;(''a'',''b'')}} &#x3E; {{nowrap|[[二乗平均平方根]]('''RMS''')}} &#x3E; {{nowrap|[[算術平均]]('''AM''')}} &#x3E; {{nowrap|[[幾何平均]]('''GM''')}} &#x3E; {{nowrap|[[調和平均]]('''HM''')}} &#x3E; {{nowrap|''min''&thinsp;(''a'',''b'')}} の幾何的な{{仮リンク|言葉のない証明|en|Proof without words}} <ref>NM = ''a'' と PM = ''b'' の場合。 AM = ''a''と''b''の'''AM''' であり、半径 ''r'' = AQ = AG である。<br />[[ピタゴラスの定理]]より、QM&#xB2; = AQ&#xB2; + AM&#xB2; &#x2234; QM =&#x221A;<span style="text-decoration:overline;">AQ&#xB2; + AM&#xB2;</span> = '''QM'''。<br />ピタゴラスの定理より、AM&#xB2; = AG&#xB2; + GM&#xB2; &#x2234; GM = &#x221A;<span style="text-decoration:overline;">AM&#xB2; &#x2212; AG&#xB2;</span> = '''GM'''。<br />三角形の[[図形の相似|相似]]より、{{sfrac|HM|GM}} = {{sfrac|GM|AM}} &#x2234; HM = {{sfrac|GM&sup2;|AM}} = '''HM'''。</ref>]]
これらの平均には順序があり（すべての<math> x_i </math>が正の場合）

: <math>\min \leq \operatorname{HM} \leq \operatorname{GM} \leq \operatorname{AM} \leq \max</math>

となり、<math>x_i</math>がすべて等しい場合にのみ等しくなる。

これは{{仮リンク|算術・幾何平均の不等式|en|inequality of arithmetic and geometric means}}の一般化であり、{{仮リンク|一般化平均|en|Generalized mean|preserve=1}}の不等式の特殊な場合である。証明は、{{仮リンク|算術・幾何平均の不等式|en|inequality of arithmetic and geometric means}}、<math>\operatorname{AM} \leq \max</math>、また逆数との双対性（<math>\min</math>と<math>\min</math>にも逆数との双対性がある）に従う。

ピタゴラス平均の研究は、{{仮リンク|Majorization|en|majorization}}や{{仮リンク|Schur-convex function|en|Schur-convex function}}の研究と密接な関係がある。調和平均と幾何平均は引数の凹対称函数であるため、Schur-concaveであり、算術平均は引数の一次関数であるため、凹と凸の両方である。

== 関連項目 ==

* [[算術幾何平均]]
* [[平均]]
* [[黄金比]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 外部リンク ==

* {{MathWorld|urlname=PythagoreanMeans|title=Pythagorean Means|author=Cantrell, David W.}}


{{DEFAULTSORT:ひたこらすへいきん}}
[[Category:平均]]
[[Category:ピタゴラス]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]