ピタゴラス音律のソースを表示

'''ピタゴラス音律'''（ピタゴラスおんりつ）は、[[音階]]の全ての[[音]]と[[音程]]を[[周波数]]比3:2の純正な[[完全五度]]に基づいて導出する[[音律]]である<ref name="Schulter">{{Cite web |author=Margo Schulter |url=http://www.medieval.org/emfaq/harmony/pyth.html |title=Pythagorean Tuning and Medieval Polyphony|accessdate=2018-04-07}}</ref>。

ピタゴラス音律は初期[[ルネサンス音楽|ルネサンス]]までの西洋音楽の標準的な音律であり、また中国や日本の伝統音楽の音律も同様の原理に基づくものである（[[三分損益法]]）。

ピタゴラス音律では純正な五度と四度の音程が得られるが、三度と六度は純正にならない。ルネサンス音楽において三度と六度の使用が増えると、五度を狭めることによって三度をより純正に近づける[[中全音律]]が普及した。

==方法==
例として'''D'''（[[ニ (音名)|ニ]]）を起点に、上下に3回ずつ、周波数比3:2の純正な[[完全五度]]の音程にある音を得ることを繰り返すと以下のようになる。

F - C - G - '''D''' - A - E - B

この7つの音は[[全音階]]を構成する音である。得られた音は実際には広い音域に渡っているが、[[オクターヴ]]関係にある音には同じ[[音名]]が与えられるため、オクターヴ単位で[[音高]]を移して、これらを1オクターヴの範囲内に配列することでピタゴラス音律による全音階が得られる。

この作業をさらに拡張しようとすると問題が浮上する。同様の作業をさらに上下に3回ずつ行うと以下のようになる。

A♭ - E♭ - B♭ - F - C - G - '''D''' - A - E - B - F♯ - C♯ - G♯

[[平均律#十二平均律|12平均律]]においてはA♭とG♯のような[[異名同音]]は実際に全く同じ音であるが、このA♭とG♯には約23.460[[セント (音楽)|セント]]≒1/4[[半音]]の差が生じる。この差を[[ピタゴラスコンマ]]と呼ぶ。

したがって、[[半音階]]を構成するために、A♭を省いてE♭からG♯までの12音を用いた場合、G♯からE♭への音程は、3:2の比率による純正な完全五度（約701.955セント）よりもピタゴラスコンマ1つ分狭い音程（約678.495セント）になる。この音程による和音は顕著な[[うなり]]を生じるため、狼の吠声に例えて[[ウルフ|ウルフの五度]]([[:en:Wolf interval]])と呼ばれる。
[[File:Circulo-quintas.png|thumb|right|350px|ピタゴラス音律の五度圏]]

{| class="wikitable" style="text-align: center"
! 音名
! Dからの音程
! 計算式
! 比率
! 大きさ<br>(セント)
! <!--12-->平均律との差<br>(セント)
|-
| A{{music|b}}
| [[減五度]]
| <math>\left( \frac{2}{3} \right) ^6 \times 2^4</math>
| <math>\frac{1024}{729}</math>
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(1024/729)/ln2 round 3}}
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(1024/729)/ln2-600 round 3}}
|-
| E{{music|b}}
| [[短二度]]
| <math>\left( \frac{2}{3} \right) ^5 \times 2^3</math>
| <math>\frac{256}{243}</math>
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(256/243)/ln2 round 3}}
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(256/243)/ln2-100 round 3}}
|-
| B{{music|b}}
| [[短六度]]
| <math>\left( \frac{2}{3} \right) ^4 \times 2^3</math>
| <math>\frac{128}{81}</math>
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(128/81)/ln2 round 3}}
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(128/81)/ln2-800 round 3}}
|-
| F
| [[短三度]]
| <math>\left( \frac{2}{3} \right) ^3 \times 2^2</math>
| <math>\frac{32}{27}</math>
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(32/27)/ln2 round 3}}
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(32/27)/ln2-300 round 3}}
|-
| C
| [[短七度]]
| <math>\left( \frac{2}{3} \right) ^2 \times 2^2</math>
| <math>\frac{16}{9}</math>
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(16/9)/ln2 round 3}}
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(16/9)/ln2-1000 round 3}}
|-
| G
| [[完全四度]]
| <math>\frac{2}{3} \times 2</math>
| <math>\frac{4}{3}</math>
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(4/3)/ln2 round 3}}
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(4/3)/ln2-500 round 3}}
|-
| D
| [[一度]]
| <math>\frac{1}{1}</math>
| <math>\frac{1}{1}</math>
|style="text-align: right"| 0.000
|style="text-align: right"| 0.000
|-
| A
| [[完全五度]]
| <math>\frac{3}{2}</math>
| <math>\frac{3}{2}</math>
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(3/2)/ln2 round 3}}
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(3/2)/ln2-700 round 3}}
|-
| E
| [[長二度]]
| <math>\left( \frac{3}{2} \right) ^2 \times \frac{1}{2}</math>
| <math>\frac{9}{8}</math>
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(9/8)/ln2 round 3}}
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(9/8)/ln2-200 round 3}}
|-
| B
| [[長六度]]
| <math>\left( \frac{3}{2} \right) ^3 \times \frac{1}{2}</math>
| <math>\frac{27}{16}</math>
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(27/16)/ln2 round 3}}
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(27/16)/ln2-900 round 3}}
|-
| F{{music|#}}
| [[長三度]]
| <math>\left( \frac{3}{2} \right) ^4 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^2</math>
| <math>\frac{81}{64}</math>
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(81/64)/ln2 round 3}}
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(81/64)/ln2-400 round 3}}
|-
| C{{music|#}}
| [[長七度]]
| <math>\left( \frac{3}{2} \right) ^5 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^2</math>
| <math>\frac{243}{128}</math>
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(243/128)/ln2 round 3}}
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(243/128)/ln2-1100 round 3}}
|-
| G{{music|#}}
| [[増四度]]
| <math>\left( \frac{3}{2} \right) ^6 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^3</math>
| <math>\frac{729}{512}</math>
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(729/512)/ln2 round 3}}
|style="text-align: right"| {{#expr:1200*ln(729/512)/ln2-600 round 3}}
|}

上記の音律で[[ハ長調]]の[[音階]]を構成すれば以下のようになる。
{| class="wikitable" style="text-align:center"
!音名
|colspan="2" | '''C'''
|colspan="2" | '''D'''
|colspan="2" | '''E'''
|colspan="2" | '''F'''
|colspan="2" | '''G'''
|colspan="2" | '''A'''
|colspan="2" | '''B'''
|colspan="2" | '''C'''
|-
!比率
|colspan="2" | 1/1
|colspan="2" | 9/8
|colspan="2" | 81/64
|colspan="2" | 4/3
|colspan="2" | 3/2
|colspan="2" | 27/16
|colspan="2" | 243/128
|colspan="2" | 2/1
|-
!間隔
|colspan="1" | －
|colspan="2" | 9/8
|colspan="2" | 9/8
|colspan="2" | 256/243
|colspan="2" | 9/8
|colspan="2" | 9/8
|colspan="2" | 9/8
|colspan="2" | 256/243
|colspan="1" | －
|}

==音程の大きさ==
[[Image:Interval ratios in D-based symmetric Pythagorean tuning (powers for large numbers).PNG|frame|right|Dを起点としたピタゴラス音律の各音程の周波数比率。音程名は英語の略称（例：完全五度→P5）。純正音程は太字で記し、ウルフの音程は赤でハイライトしている。]]

[[Image:Size of intervals in D-based symmetric Pythagorean tuning.PNG|frame|right|Dを起点としたピタゴラス音律の各音程のセント値の概数。音程名は英語の略称（例：完全五度→P5）。純正音程は太字で記し、ウルフの音程は赤でハイライトしている。]]

ピタゴラス音律では[[音程#異名同音的音程|異名同音的音程]]は異なる大きさを持つ。表に上記の12の音からの各音程の周波数比率とおおよその[[セント (音楽)|セント]]値を示す。

その定義上、ピタゴラス音律の11の[[完全五度]]は比率3:2、すなわち約701.955セントである。[[五度圏]]を閉じるためには、[[平均律]]がそうであるように、12個の完全五度の平均値は700セントであることが要求されるため、 残る1つは約678.495セントになる（ウルフの五度）。このウルフの五度は[[異名同音]]による五度であるため、より正確には[[減六度]]である<ref>Kenneth P. Scholtz, Algorithms for Mapping Diatonic Keyboard Tunings and Temperaments. https://mtosmt.org/issues/mto.98.4.4/mto.98.4.4.scholtz.php</ref>。

*9つの[[短三度]]は約294.135セント、3つの[[増二度]]は約317.595セント、その平均値は300セント。
*8つの[[長三度]]は約407.820セント、4つの[[減四度]]は約384.360セント、その平均値は400セント。
*7つの全音階的[[半音]]([[短二度]])は約90.225セント、5つの半音階的半音([[増一度]])は約113.685セント、その平均値は100セント。

つまりピタゴラス音律では、異名同音的音程には[[ピタゴラスコンマ]]1つ分(約23.460セント)の差が存在する。

ピタゴラス音律は純正な長三度を持たないが、減四度として生成された音程は長三度の純正音程(比率5:4、約386.314セント)と僅差(約1.954セント)になる。これはピタゴラス音律の長三度と純正な長三度の差である[[シントニックコンマ]](約21.506セント)が、ピタゴラスコンマとごく近いことによる結果である。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* Barbour, J. Murray. "The Persistence of the Pythagorean Tuning System." ''Scripta Mathematica.'' 1933, 1:286-304. 
* Lindley, Mark. "Pythagorean intonation." ''The New Grove Dictionary of Music and Musicians.'' 2nd ed. London: Macmillan, 2001.
== 関連項目 ==
*[[ピタゴラス]]
*[[音律]]
**[[平均律]]
**[[純正律]]
**[[中全音律]]
**[[ピタゴラスコンマ]] 
**[[シントニックコンマ]] 
*[[Xenharmonic音楽]]
*[[五度圏]]
*[[三分損益法]]

{{DEFAULTSORT:ひたこらすおんりつ}}
[[Category:ピタゴラス]]
[[Category:調律]]
[[Category:古典調律]]