ピトーの定理のソースを表示

[[ファイル:Tangentenabschnitte.svg|right|thumb|upright=0.4|<math>|PA| = |PB|</math>]]
[[ファイル:Pitot_theorem.svg|右|サムネイル|upright=1.1|<math>\begin{align}&|AB| + |CD|\\ =&(a+b)+(c+d)\\=&(b+c)+(a+d)\\=&|BC| + |DA| \end{align}</math>]]

幾何学における'''ピトーの定理'''（ピトーのていり、{{lang-en-short|''Pitot theorem''}}）は、[[円に外接する四角形]]（[[内接円]]を持つ[[四角形]]）に関する定理である。ピトーの定理は、円に外接する四角形の向かい合う2組の対辺の長さの和が等しくなることを述べている。言い換えれば、四角形の2組の対辺の長さの和がそれぞれ[[半周長]]に等しくなる。定理の名称は、[[フランス]]の工学者である[[アンリ・ピトー]]から名付けられた。

== 証明 ==
この定理は、ある円の外部の点から2本の[[接線]]を引いたときに、その外部の点から接点までの長さが等しくなるという事実に基づいている<ref name="R1">{{Citation|和書|title=More characterizations of tangential quadrilaterals|last=Josefson|first=Martin|year=2011|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201108.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=11|pages=65–82|mr=2877281|MR=2877281}}. See in particular pp.&nbsp;65–66.</ref>。
円に外接する四角形とその内接円を考えると、四角形の周には4組の長さが等しい線分が含まれることになる。そのため、対辺の長さの和は、この4つの線分の長さの和と等しくなる。

ピトーの定理は[[逆]]も真である。つまり、「2組の対辺の長さの和が等しい凸な四角形は内接円をもつ」 という命題も真である。

== 歴史 ==
アンリ・ピトーは1725年にこの定理を証明した。その後、1846年にスイスの数学者の[[ヤコブ・シュタイナー]]が逆を証明した<ref name="R1" />。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* {{ill2|Tangent lines to circles#Tangent quadrilateral theorem and inscribed circles|en|Tangent lines to circles#Tangent quadrilateral theorem and inscribed circles}}

== 外部リンク ==
* [http://www.cut-the-knot.org/proofs/InscriptibleQuadrilateral.shtml#anotherProof Alexander Bogomolny, "When A Quadrilateral Is Inscriptible?" at Cut-the-knot]

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