ファイゲンバウム定数のソースを表示

{{Expand English|Feigenbaum constants|date=2024年5月}}
'''ファイゲンバウム定数'''（Feigenbaum constant）は、[[ミッチェル・ファイゲンバウム]]の名にちなんで名付けられた、2つの[[数学定数]]である。

両方とも[[分岐図 (力学系)|分岐図]]の比に表れる。

1975年にファイゲンバウムにより発見された<ref name=MathWorld>{{Cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstant.html |title=Feigenbaum Constant |work=MathWorld |accessdate=2014-09-20 |author=Weisstein, Eric W |publisher= Wolfram Research}}</ref>。これらの数は、証明はされていないが、[[超越数]]であろうと考えられている<ref>{{Cite thesis |first=Keith |last=Briggs|url=http://keithbriggs.info/documents/Keith_Briggs_PhD.pdf|publisher=University of Melbourne  |year=1997 |degree=PhD |title=Feigenbaum scaling in discrete dynamical systems}}</ref>。

==定義==
次のような差分方程式の<math>\mu</math>の変化による[[分岐 (力学系)|分岐]]において、
:<math>x_{n+1}=f(x_{n})= 1-\mu |x_{n}|^z,\qquad (z>0,\ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)</math>
1つめのファイゲンバウム定数<math>\delta</math>は、
:<math>\delta_z = \lim_{i\rightarrow \infty} \dfrac{\mu_{i} - \mu_{i-1}}{\mu_{i+1} - \mu_{i}} </math>
2つめのファイゲンバウム定数<math>\alpha</math>は、
:<math>\alpha_z = \lim_{i\rightarrow \infty} \dfrac{d_{i}}{d_{i+1}} </math>
で与えられる<ref name=Briggs1991>{{Cite journal |first=Keith |last=Briggs |url=http://www.ams.org/journals/mcom/1991-57-195/S0025-5718-1991-1079009-6/S0025-5718-1991-1079009-6.pdf |publisher=American Mathematical Society |journal=Mathematics of Computation
|date=July 1991 |pages=435–439 |volume=57 |title=A Precise Calculation of the Feigenbaum Constants
|bibcode = 1991MaCom..57..435B |doi = 10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6 |issue=195 }}</ref>。上記の差分方程式では[[周期倍分岐]]が発生し、<math>i</math>番目の周期倍分岐毎に<math>x_{n}</math>の振る舞いは<math>2^{i}</math>周期振動に変化する<ref name=Briggs1991/>。ここで、<math>\mu_{i}</math>は<math>i</math>番目の周期倍分岐点における<math>\mu</math>の値、<math>d_{i}</math>は<math>2^i</math>周期振動における0に近い側の分岐の枝の幅。
<math>z</math>の値によって、<math>\delta_z</math>、<math>\alpha_z</math>の値は変化する<ref name=Briggs1991/>。

==z = 2のとき==
[[File:Logistic Bifurcation map High Resolution.png|thumb|ロジスティック写像の分岐図<br>図中では<math>\mu=r</math>]]
<math>z=2</math>のときはファイゲンバウム定数は以下のような値に収束する<ref name=MathWorld/>。
:<math>\delta_2 = \lim_{i\rightarrow \infty} \dfrac{\mu_{i} - \mu_{i-1}}{\mu_{i+1} - \mu_{i}} = 4.669201609\cdots </math>
（{{OEIS|id=A006890}}）
:<math>\alpha_2 = \lim_{i\rightarrow \infty} \dfrac{d_{i}}{d_{i+1}} = 2.502907875\cdots</math>
（{{OEIS|id=A006891}}）

これは基となる差分方程式が[[ロジスティック写像]]の場合に相当する。特に、単にファイゲンバウム定数<math>\delta</math>と言えば、上記の<math>\delta_2 = 4.669201609\cdots </math>のことを指す場合が多い<ref name=MathWorld/>。

ファイゲンバウム定数は分岐図における分岐の間隔を意味する他、[[マンデルブロ集合]]における連続する2つの円の直径の正弦比を表す。

==脚注==
{{reflist}}

==外部リンク==
* [https://oeis.org/A006890 A006890 - Decimal expansion of Feigenbaum bifurcation velocity] [[オンライン整数列大辞典]]
* [https://oeis.org/A006891 A006891 - Decimal expansion of Feigenbaum reduction parameter] [[オンライン整数列大辞典]]

{{DEFAULTSORT:ふあいんけんはうむていすう}}

[[Category:数学定数]]
[[Category:カオス理論]]
[[Category:分岐理論]]