ファイバー (数学)のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年7月}}
[[数学]]において、用語'''ファイバー''' (fiber, fibre) は文脈によって次の2つの意味を持つ：

# [[素朴集合論]]において、写像 ''f'':&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' のもとでの[[集合]] ''Y'' の[[元 (数学)|元]]の'''ファイバー'''とは、[[単元集合]] {''y''} の ''f'' による[[逆像]]のことである。
# [[代数幾何学]]において、[[スキーム]]の[[射]]のファイバーの概念は、一般に全ての点が閉とは限らないから、より注意深く定義されなければならない。

== 定義 ==

===素朴集合論におけるファイバー===
{{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} を[[写像]]とする。元 {{math|''y'' &isin; ''Y''}} の'''ファイバー''' は、
:<math>f^{-1}(\{y\})=\{x \in X \, | \, f(x) = y\}</math>
と定義され、{{math|''f''{{sup-|1}}(''y'')}} とも書かれる。

様々な応用においてこれはまた次のようにも呼ばれる：
:* 写像 ''f'' による <math>\{y\}</math> の[[逆像]]、
:* 写像 ''f'' による <math>\{y\}</math> の原像、
:* 点 ''y'' における関数 ''f'' の[[等位集合]]。

等位集合という用語は ''f'' が実数値でしたがって ''y'' が単に数であるときにのみ用いられる。''f'' が '''R'''{{sup|''d''}} の領域上の[[連続関数]]で、''y'' が ''f'' の[[像 (数学)|像]]に入っていれば、''f'' に対する ''y'' の等位集合は、[[2次元空間]]内の曲線や、[[3次元空間]]内の曲面、一般には ''d'' &minus; 1 [[次元]]の[[超曲面]]である。

===代数幾何学におけるファイバー===
[[代数幾何学]]において、''f'':&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' がスキームの射であれば、''Y'' の点 ''p'' の'''ファイバー'''はファイバー積 <math>X\times_Y \operatorname{Spec} k(p)</math> である、ただし ''k''(''p'') は ''p'' における[[剰余体]]。

== Terminological variance ==

用語「ファイバー」、「逆像」、「原像」、「等位集合」の推奨された使い方は以下のとおりである：

:* 写像 ''f'' のもとでの元 ''y'' のファイバー
:* 写像 ''f'' のもとでの集合 <math>\{y\}</math> の逆像
:* 写像 ''f'' のもとでの集合 <math>\{y\}</math> の原像
:* 点 ''y'' における関数 ''f'' の等位集合。

[[用語の濫用]]によって、以下のように使われることがあるが、避けるべきである：
:* 元 ''y'' における写像 ''f'' のファイバー
:* 元 ''y'' における写像 ''f'' の逆像
:* 元 ''y'' における写像 ''f'' の原像
:* 写像 ''f'' のもとでの点 ''y'' の等位集合。

== 例 ==
''f'' を[[実関数]] <math>f \colon \R \to \R,\, x \mapsto x^2</math> とし、''y'' を[[実数]]とする。
* ''y'' > 0 であれば、''y'' のファイバーは二元集合 <math>\{\sqrt{y},-\sqrt{y}\}</math> である。
* ''y'' = 0 であれば、''y'' のファイバーは単元集合 <math>\{0\}</math> である。
* ''y'' < 0 であれば、''y'' のファイバーは空集合 <math>\varnothing</math> である。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|ファイブレーション|en|Fibration}}
* [[ファイバー束]]
* [[ファイバー積]]
* [[像 (圏論)]]
* [[像 (数学)]]
* [[逆関係]]
* [[核 (代数学)]]
* [[等位集合]]
* [[逆像|原像]]
* [[関係 (数学)]]
* {{仮リンク|零点集合|en|Zero set}}

{{settheory-stub}}
{{DEFAULTSORT:ふあいはあ (すうかく)}}
[[Category:集合の基本概念]]
[[Category:数学的関係]]
[[Category:数学に関する記事]]