ファウルハーバーの公式のソースを表示

[[File:JakobBernoulliSummaePotestatum.png|thumb|300px|[[ヤコブ・ベルヌーイ]]の『推測術』（''Ars Conjectandi''、1713年）より。10乗和までの公式と、ベルヌーイ数を用いた一般的な冪乗和の公式が与えられている。ただし、9乗和の最後の項 -(1/12) ''n''<sup>2</sup> は誤りであり、正しくは -(3/20) ''n''<sup>2</sup> である。]]
'''ファウルハーバーの公式'''（ファウルハーバーのこうしき、Faulhaber's formula）は、最初の ''n'' 個の [[冪乗|''k'' 乗数]]の和
:<math>S_k(n):=1^k+2^k+\dotsb+n^k</math>
を、[[ベルヌーイ数]]を用いて ''n'' の[[多項式]]で表す公式である。冪乗和についての研究をした、17世紀のドイツの数学者{{仮リンク|ヨハン・ファウルハーバー|en|Johann Faulhaber}}の名が冠されているが、ベルヌーイ数を発見して初めて公式を与えたのは[[関孝和]]および[[ヤコブ・ベルヌーイ]]である。「ファウルハーバーの公式」という呼称は必ずしも一般的ではなく、'''ベルヌーイの公式'''、または内容を直接的に表現して'''冪乗和の公式'''などと呼ばれることもある<ref group="注釈">参考文献コンウェイ・ガイ『数の本』や [[MathWorld]] では「ファウルハーバーの公式」である。一方、日本では固有名詞のように呼ばれることは少なく、荒川・金子・伊吹山『ベルヌーイ数とゼータ関数』では「べき乗和の公式」である。</ref>。

== 公式 ==
ベルヌーイ数を定義するには複数の方法があるが、ここでは
:<math>B_0=1,\quad \sum_{i=0}^{k} (-1)^i{k+1 \choose i}B_i=0\quad (k=1,2,\cdots)</math>
によって帰納的にベルヌーイ数 ''B''<sub>''j''</sub> (''j'' = 0, 1, 2, …) を定める<ref group="注釈">''B''<sub>1</sub> = 1/2 となるようにベルヌーイ数を定義する流儀と、''B''<sub>1</sub> = &minus;1/2 となるように定義する流儀がある。ここでの定義は、関孝和と同様に前者である。MathWorld など、後者の流儀を採用している場合、冪乗和の公式も一見異なるもののように見えるかもしれないが、本質的に同じものである。</ref>。ここに、
:<math>{n \choose m}=\frac{n!}{(n-m)!\,m!}</math>
は[[二項係数]]である。

このとき、
:<math>S_k(n)=\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^k {k+1 \choose j}B_jn^{k+1-j} \quad (k=0,1,\cdots)</math>
が成り立つ。特に、''S''<sub>''k''</sub>(''n'') を ''n'' の多項式で表したときの、最高次の項は ''n''<sup>''k''+1</sup>/(''k'' + 1)、一次の項は ''B''<sub>''k''</sub>''n''、定数項は 0 である。

=== 略式の表示 ===
ファウルハーバーの公式は一見複雑に見えるが、[[二項定理]]と似ていることに着目すれば、[[陰計算|略式の表示]]を与えることができる<ref>コンウェイ・ガイ p. 122</ref>。例えば、(''n'' + ''B'')<sup>2</sup> を二項展開すると ''n''<sup>2</sup>''B''<sup>0</sup> + 2''n''<sup>1</sup>''B''<sup>1</sup> + ''n''<sup>0</sup>''B''<sup>2</sup> であるが、''n'' の冪はそのままの意味にとり、''B'' の冪は添え字を下付きにしたベルヌーイ数を意味するものと考える。言い換えると、''n''<sup>2</sup>''B''<sub>0</sub> + 2''n''<sup>1</sup>''B''<sub>1</sub> + ''B''<sub>2</sub> を略式で (''n'' + ''B'')<sup>2</sup> と表すことを許すものと約束する。このとき、ファウルハーバーの公式は
:<math>1^k+2^k+\dotsb+n^k=\frac{(n+B)^{k+1}-B^{k+1}}{k+1}</math>
と表現できる。

より正確に記述するために、[[多項式環]] '''Q'''[''b''] から ''Q'' への[[線型写像]] ''T'' を ''T''(''b''<sup>''j''</sup>) = ''B''<sub>''j''</sub> で定義しておけば、公式は
:<math>S_k(n)=\frac{T((n+b)^{k+1}-b^{k+1})}{k+1}</math>
と表せる。

なお、略式の表示を許せば、ベルヌーイ数の定義も
:<math>B_0=1,\quad (B-1)^{k+1}=B^{k+1}\quad (k=1,2,\cdots)</math>
と簡潔に表現できる。

== 例 ==
はじめのいくつかのベルヌーイ数は ''B''<sub>0</sub> = 1, ''B''<sub>1</sub> = 1/2, ''B''<sub>2</sub> = 1/6, ''B''<sub>3</sub> = 0, ''B''<sub>4</sub> = &minus;1/30 であるから、例えば
:<math>\begin{align}S_4(n)&=\frac{(n+B)^5-B^5}{5}=\frac{n^5B_0+5n^4B_1+10n^3B_2+10n^2B_3+5nB_4}{5} \\ &=\frac{1}{5}\left( n^5+\frac{5}{2}n^4+\frac{5}{3}n^3-\frac{1}{6}n \right)\end{align}</math>
などと計算される。同様にして、6乗和までは以下のようになる。
:<math>\begin{align}S_0(n)&=n \\
S_1(n)&=\frac{n^2+n}{2}=\frac{1}{2}n(n+1) \\
S_2(n)&=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\
S_3(n)&=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2 \\
S_4(n)&=\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30}=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \\
S_5(n)&=\frac{2n^6+6n^5+5n^4-n^2}{12}=\frac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1) \\
S_6(n)&=\frac{6n^7+21n^6+21n^5-7n^3+n}{42}=\frac{1}{42}n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1) \end{align}</math>

なお、日本の[[中等教育]]において[[数列]]を扱う際には、(''x'' + 1)<sup>''k''</sup> &minus; ''x''<sup>''k''</sup> の[[多項式の展開|展開]]式を利用して、帰納的に冪乗和の公式が得られることを教え、''S''<sub>0</sub>(''n''), ''S''<sub>1</sub>(''n''), ''S''<sub>2</sub>(''n''), ''S''<sub>3</sub>(''n'') は公式として記憶するよう指導することが一般的である。

== 歴史 ==
[[File:Seki Kowa Katsuyo Sampo Bernoulli numbers.png|thumb|[[関孝和]]『[[括要算法]]』（1712年）の「式図」。冪乗和の公式を導くための表である。下部にはベルヌーイ数が見られ、表中には[[算木]]で表現された二項係数が並べられている。]]
1乗和と2乗和については、[[アルキメデス]]の時代から知られていた<ref>Dickson p. 4</ref>。3乗和に関して
:<math>1^3+2^3+\dotsb+n^3=(1+2+\dotsb+n)^2</math>
が成り立つことは、歴史上たびたび再発見されている。1世紀の数学者[[ニコマコス]]は「''n'' 番目の[[立方数]]は ''n'' 個の連続した奇数の和である」ことを証明なしに述べており<ref>カッツ p. 195</ref>、既知の結果「最初の ''m'' 個の奇数の和は ''m'' の平方に等しい」と合わせると、3乗和の公式を知っていたとも見なせる<ref group="注釈">ニコマコスの主張は、1<sup>3</sup> = 1, 2<sup>3</sup> = 3 + 5, 3<sup>3</sup> = 7 + 9 + 11, 4<sup>3</sup> = 13 + 15 + 17 + 19, … ということ。これより例えば 1<sup>3</sup> + 2<sup>3</sup> + 3<sup>3</sup> + 4<sup>3</sup> は最初の (1 + 2 + 3 + 4) 個の奇数の和であるから (1 + 2 + 3 + 4)<sup>2</sup> に等しい。</ref>。西暦500年頃、[[アリヤバータ]]は3乗和の公式を明示的に与えた。西暦1000年頃、{{仮リンク|アル＝カラジ|en|Al-Karaji}}は図形および[[数学的帰納法]]を用いて3乗和の公式を証明した。同じくイスラムの数学者[[イブン・アル・ハイサム]]は、4乗和の公式を与えたが、その方法を用いれば何乗和でも求めることができる<ref>カッツ pp. 290&ndash;293</ref>。

[[ピエール・ド・フェルマー|フェルマー]]は、求積法のために冪乗和が重要なことを認識し、一般的な公式およびその証明を得たと述べたが、詳細は明らかにしなかった。一方、ファウルハーバーは ''Academia Algebrae''（1631年）において17乗和までの公式を与えた<ref>カッツ pp. 544&ndash;545</ref>。彼は一般的な公式を与えるまでには至らなかったが、''S''<sub>''k''</sub>(''n'') は、''k'' が奇数のときは ''S''<sub>1</sub>(''n'') の多項式で書け、''k'' が偶数のときは ''S''<sub>2</sub>(''n'') で割れてその商がやはり ''S''<sub>1</sub>(''n'') の多項式で書けることを指摘した。実際、例えば
:<math>\begin{align} S_3(n)&=(S_1(n))^2 \\
S_4(n)&=\frac{S_2(n)(6S_1(n)-1)}{5} \\
S_5(n)&=\frac{4S_1(n)^3-S_1(n)^2}{3} \\
S_6(n)&=\frac{S_2(n)(12S_1(n)^2-6S_1(n)+1)}{7} \end{align}</math>
などとなる。この事実は後に[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ|ヤコビ]]が再発見し、厳密な証明を与えた<ref>荒川・金子・伊吹山 p. 3</ref>。

ベルヌーイ数を用いて一般的な冪乗和の公式を与えた初めての文献は、1712年の関孝和『[[括要算法]]』および1713年のヤコブ・ベルヌーイ『推測術』(''Ars Conjectandi'') である。共に遺稿であり（関は1708年没、ベルヌーイは1705年没）、どちらが先に公式を発見したのかは不明である。ベルヌーイは、公式を用いて 1 から 1000 までの10乗の和を計算し、8分の1時間もかからずに 91, 409, 924, 241, 424, 243, 424, 241, 924, 242, 500 を得た、と述べている<ref>荒川・金子・伊吹山 p. 1</ref>。

== 注釈 ==
<references group="注釈" />

== 出典 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* [[荒川恒男]]、金子昌信、伊吹山知義『ベルヌーイ数とゼータ関数』牧野書店、2001年 ISBN 978-4795201392 -- 特に第1章。公式の厳密な証明が与えられている。
* [[ジョン・ホートン・コンウェイ]]、{{仮リンク|リチャード・ガイ|en|Richard K. Guy}}著、[[根上生也]]訳『数の本』[[シュプリンガー・ジャパン|シュプリンガー・フェアラーク東京]]、2001年 ISBN 978-4431707707 -- 特に第4章「ベルヌーイ数」の節。公式の略式の証明が与えられている。
** John H. Conway and Richard Guy, ''The Book of Numbers'', Springer, 1996 ISBN 978-0387979939
* [[レオナード・E・ディクソン|L. E. Dickson]], ''History of the Theory of Numbers, Volume ll: Diophantine Analysis'', Dover Publications, 2005 ISBN 978-0486442334
* ヴィクター・カッツ著、[[上野健爾]]他訳『数学の歴史』[[共立出版]]、2005年 ISBN 978-4320017658
** Victor J. Katz, ''History of Mathematics'', 3rd edition, Addison Wesley, 2008 ISBN 978-0321387004
* 日本数学協会「関孝和没後300年記念懸賞問題」数学文化第9号 pp. 13-16、2008年 ISBN 978-4535602397

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=FaulhabersFormula|title=Faulhaber's formula}}
* [https://web.archive.org/web/20151212191040/http://dbr.library.tohoku.ac.jp/infolib/meta_pub/G0000002wasan 東北大学和算資料データベース]

{{DEFAULTSORT:ふあうるはあはあのこうしき}}
[[Category:数論]]

[[Category:ヤコブ・ベルヌーイ]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]