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'''ファジィ論理'''（ファジィろんり、{{lang-en-short|Fuzzy logic}}）は、1965年、[[カリフォルニア大学バークレー校]]の[[ロトフィ・ザデー]]が生み出した[[ファジィ集合]]から派生した<ref>{{cite web |url= http://plato.stanford.edu/entries/logic-fuzzy/ |title=Fuzzy Logic |accessdate=2008-09-29 |work=Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=Stanford University |date=2006-07-23 }}</ref><ref>Zadeh, L.A. (1965). "Fuzzy sets", ''Information and Control'' 8 (3): 338–353.</ref>[[多値論理]]の一種で、[[真理値]]が0から1までの範囲の値をとり、古典論理のように「真」と「偽」という2つの値に限定されない<ref>Novák, V., Perfilieva, I. and Močkoř, J. (1999) ''Mathematical principles of fuzzy logic'' Dodrecht: Kluwer Academic. ISBN 0-7923-8595-0</ref>ことが特徴である。ファジィ論理は[[制御理論]]（[[ファジィ制御]]）から[[人工知能]]まで様々な分野に応用されている。

== 「真」の度合い ==
ファジィ論理と[[確率論理]]は数学的に似ており、どちらも0から1までの値を[[真理値]]とするが、概念的には解釈の面で異なる。ファジィ論理の真理値が「真の度合い」に対応しているのに対し、確率論理では「確からしさ」や「尤もらしさ」に対応している。このような違いがあるため、ファジィ論理と確率論理では同じ実世界の状況に異なるモデルを提供する。

真理値と[[確率]]が0から1の範囲の値をとるため、表面的には似ているように思われる。例えば、100[[リットル|ml]]のコップに30mlの[[水]]が入っているとする。これに対して「空」と「満杯」の2つの概念を考える。それぞれの意味は所定のファジィ集合、およびそれを定義付けるメンバシップ関数で表される。例えば、そのコップについて「空だ」が真である度合いは0.7、「満杯だ」が真である度合いは0.3と定義することも考えられる。「空だ」という概念は主観的であり、観察者や設計者によって感じ方は異なる。設計者によっては、50mlでも満杯だとするようにメンバシップ関数を設定するかもしれない。ファジィ論理ではあいまいな現象の[[数理モデル]]として「真の度合い」を使うのに対し、確率論は未知のことに対しての数理モデルである。確率論的手法を使って同じことを達成するには、「満杯」か否かを表す二値変数をコップに入っている水の量という連続値によって決定するという形で定義することになる。

=== ファジィ論理の真理値の具体例 ===
ファジィ論理は[[洗濯機]]や[[冷蔵庫]]のような[[家電機器]]の[[制御システム|制御]]に使われる。例えば洗濯機では、洗濯物の量や[[洗剤]]の濃度を調べて、洗濯槽の回転などを調整する。

基本的な応用の特徴として、連続値をいくつかの区分に分ける点が挙げられる。例えば、[[アンチロック・ブレーキ・システム]]では温度を測定するが、温度をいくつかの区分に分け、それぞれにメンバシップ関数を定義し、ブレーキを適切に制御する。各関数は同じ温度に0から1までの真理値を割り当てる。これらの真理値を使って、ブレーキをどう制御すべきかを決定する。

[[ファイル:Fuzzy logic temperature en.svg|center]]

上図では、''cold''、''warm''、''hot'' という関数で温度の値をマッピングしている。ある温度には各関数に対応した3つの[[真理値]]がある。上図で縦線で示している温度を見てみると、3つの真理値（0.8、0.2、0）が対応し、それらを解釈すると「かなり冷たい」（青い矢印）、「やや暖かい」（黄色の矢印）、「熱くない」（赤い矢印）ということになる。

=== 言語学的変数 ===
数学における変数は一般に数値を値とするが、ファジィ論理は非数値的な「言語学的変数」を使うことで規則や事実の表現が容易になるような分野にもよく応用される<ref>Zadeh, L. A. et al. 1996 ''Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Fuzzy Systems'', World Scientific Press, ISBN 9810224214</ref>。

ここでいう「非数値的」「言語学的」という意味は、例えば速度といったような変数のような「確定的な値を持つような変数」ではない、という意味であって、実際のところ（ソシュールやチョムスキーらによるような）[[言語学]]的な何かがあるわけではない。具体例として「年齢」に対し「若い」、あるいはその反対の「高齢だ」という値は、結局のところ、「20歳」という実際の年齢に対して、「若い」は 0.8 という高い値になり、「高齢だ」は 0.05 という低い値になる、といったように、最終的には実数（数値）になるのである。言語学的変数の最大の利点は、主たる単語に修飾語を添えることでその意味を修正できる点であると主張される。修飾語は特定の関数と対応付けることができる。例えば、ザデーはメンバシップ関数の平方をとることを提案している。

=== ファジィ論理の応用例 ===
* ヴィークルの制御や群管理。[[オートマチックトランスミッション]]、[[アンチロック・ブレーキ・システム]]、[[クルーズコントロール]]。日本の鉄道車両では[[仙台市交通局1000系電車]]が初期の導入例として知られる。
* [[空調]]
* CG合成ソフト([[MASSIVE]]など)
* [[カメラ]]
* [[デジタル画像処理]]（[[エッジ検出]]など）
* [[炊飯器]]
* [[食器洗い機]]
* [[エレベーター]]
* [[洗濯機]]などの[[家電機器]]
* [[コンピュータゲーム]]の[[人工知能]]
* [[電子掲示板]]などで好ましくないテキストを排除するフィルタ
* [[リモートセンシング]]での[[パターン認識]]
* [[マイクロコントローラ]]や[[マイクロプロセッサ]]（Freescale 68HC12など）。

== ファジィ論理の実際 ==
ファジィ集合論では、ファジィ集合に関するファジィ演算を定義している。これを利用する際の問題は、適切なファジィ演算がどれなのかわからない場合があることである。そのため、ファジィ論理ではIF/THEN規則やそれに類するもの（例えば[[ファジィ関係行列]]）を使うのが一般的である。

規則は以下のような形式で表現される。
: IF 「変数」IS「集合」THEN 「アクション」を実行する。

例えば、ファンを使って温度を一定に保つ非常に単純な機器があるとしたら、次のような規則が考えられる。
* IF 温度 IS 「非常に寒い」 THEN ファンを止める。
* IF 温度 IS 「寒い」 THEN ファンを遅くする。
* IF 温度 IS 「普通」 THEN ファンを一定に保つ。
* IF 温度 IS 「暑い」 THEN ファンを速くする。

ELSE節がない点に注意されたい。全ての規則は同時に評価される。何故なら、温度は（程度の差はあっても）同時に「寒い」と「普通」の両方に属するといったことが考えられるからである。

[[ブール論理]]の[[論理演算]] AND, OR, NOT に相当する演算がファジィ論理にもあり、例えば下記のように定義される。下記の定義はザデーのオリジナルの論文で定義されていたもので、ザデー演算子とも呼ばれる。ここで x と y はファジィ変数である。

* NOT x = (1 - truth(x))
* x AND y = minimum(truth(x), truth(y))
* x OR y = maximum(truth(x), truth(y))

他の演算として、より言語的な「ヘッジ（hedges）」がある。これは、数式で表される集合の意味（例えば「寒い」）を修飾する「非常に」とか「いくぶん」といった副詞に相当するものである。

[[プログラミング言語]]での応用として、[[Prolog]]は規則群のデータベースに論理問い合わせを行う構造になっていて、ファジィ論理との相性が良い。このようなプログラミングを[[論理プログラミング]]という。

=== その他の例 ===
身長を「高い」と「低い」に分けることを考える。古典集合論（古典論理）では、例えば次のように規則を定義する。
* 男の身長が1.8メートルなら、その人は背が高い。
: IF man IS true AND height >= 1.8 THEN is_tall IS true; is_short IS false
ファジィ規則は背が「高い」と「低い」を明確に区別しない。そのような区別は現実的ではない。そこで、以下のような規則を定義する。
:IF height <nowiki><</nowiki>= medium male THEN is_short IS agree somewhat
:IF height >= medium male THEN is_tall IS agree somewhat

ファジィの場合、1.83メートルのような明確な身長の区分けはせず、次のようなファジィ値の割り当てをする。

* dwarf male = [0, 1.3] m
* short male = (1.3, 1.5]
* medium male = (1.5, 1.8]
* tall male = (1.8, 2.0]
* giant male > 2.0 m

従って、真理値も二値ではなく、以下のような5値にする。

* agree not = 0
* agree little = 1
* agree somewhat = 2
* agree a lot = 3
* agree fully = 4

クリスプ集合（二値）の場合、1.79メートルの身長の人は単に背が低いとされる。1.8メートルや2.25メートルの人は背が高いとされる。

なお上の記述では、性別を二値情報、すなわち既知で曖昧さのない情報とみなしている。対象の性別を外見などから判断する場合、もしくは[[間性]]の存在などを考慮する場合には、性別についてもファジィ値を導入し、規則の条件部を

IF male >= agree somewhat AND ...

のようにする必要がある。

== 形式ファジィ論理 ==
[[数理論理学]]には、これまで説明してきたファジィ論理をモデルとして[[形式体系]]がいくつか存在する。その多くは、いわゆる[[t-normファジィ論理]]に属する。なお、各論理体系で使われる演算は前述のザデー演算子とは異なる場合がある。

=== 命題ファジィ論理 ===
主な命題ファジィ論理としては、以下のものがある。
* 基本命題ファジィ論理 BL は、[[論理積]]を連続な三角型ノルム(t-norm)で定義し、[[論理包含|含意]]をt-normの残余として定義する公理化された論理である。そのモデルは BL-algebra と呼ばれる。三角型ノルムt(x,y)は以下の性質をもつ:
** 可換性: <math>t(x,y)=t(y,x)\,\!</math> 
** 結合性: <math>t(t(x,y),z)=t(x,t(y,z))\,\!</math> 
** 単調性: <math>x \le y \Rightarrow t(x,z) \le t(y,z)</math> 
** 単位元1: <math>t(1,x)=x\,\!</math>
* ウカシェヴィチ・ファジィ論理は、基本ファジィ論理の特殊ケースであり、論理積は[[ヤン・ウカシェヴィチ|ウカシェヴィチ]]t-norm(<math>t(a,b)=max\{0,a+b-1\}\,\!</math>)になっている。基本的な論理公理の他に[[二重否定の除去]]も公理とし（従って[[直観論理]]ではない）、そのモデルは MV-algebra と呼ばれる。
* ゲーデル・ファジィ論理は、基本ファジィ論理の特殊ケースであり、論理積は[[クルト・ゲーデル|ゲーデル]]t-norm(<math>t(a,b)=\min\{a,b\}\,\!</math>)になっている。基本的な論理公理の他に論理積の[[冪等]]性も公理とし、そのモデルは G-algebra と呼ばれる。
* プロダクト・ファジィ論理は、基本ファジィ論理の特殊ケースであり、論理積はプロダクトt-norm(<math>t(a,b)=a*b\,\!</math>)になっている。そのモデルは product algebra と呼ばれる。
* MTL（Monoidal t-norm logic）は、基本ファジィ論理を拡張したもの。
* Rational Ravelka logic は、[[多値論理]]を拡張したもの。ウカシェヴィチ・ファジィ論理の拡張でもある。

これらは、いずれも[[命題論理]]（モデルは[[ブール代数]]）を拡張したものである。

=== 述語ファジィ論理 ===
[[命題論理]]から[[一階述語論理]]が生成されるように、上述のファジィ論理に[[全称記号|全称量化子]]と[[存在記号|存在量化子]]を追加すると述語ファジィ論理となる。量化された論理式のファジィ真理値について、全称量化では下限、存在量化では上限を意味する。

=== ファジィ論理と決定可能性 ===
「決定可能部分集合」や「[[帰納的可算集合|帰納的可算]]部分集合」は古典数学と古典論理の基本である。すると当然ながら、ファジィ集合論にそれらを拡張するという問題が生じる。このような方向性の最初の提案は、E.S. Santos による「ファジィ・[[チューリングマシン]]」、「マルコフ正規ファジィアルゴリズム」、「ファジィ・プログラム」の提唱だった<ref>{{Harvnb|Santos|1970}}</ref>。それに続いて L. Biacino と G. Gerla <ref>{{Harvnb|Biacino|Gerla|2002}}</ref>がそれらの定義が適正でないことを示し、次のようなことを提案した。''Ü'' は [0,1] の有理数の集合を意味する。

ファジィ集合 ''S'' のファジィ部分集合 ''s'' : ''S'' <math>\rightarrow</math>[0,1] が「帰納的可算」であるのは、帰納的写像 ''h'' : ''S''×''N'' <math>\rightarrow</math>''Ü'' が存在する場合で、それはすなわち ''S'' の全ての ''x'' について関数 ''h''(''x'',''n'') が ''n'' に対応して増加し、''s''(''x'') = lim ''h''(''x'',''n'') となる場合である。''s'' が「決定可能」であるのは、''s'' とその補集合 –''s'' が共に「帰納的可算」の場合である。{{Harvnb|Gerla|2006}}でL-部分集合の一般ケースでのこうした理論の拡張が示されている。提案されている定義はファジィ論理ともうまく整合している。実際、次の定理が成り立つ（ファジィ論理の推論機構が明らかな有効的特性を満たしているならば）。

; 定理
: どのような公理化可能なファジィ理論も帰納的可算である。一般に妥当な論理式のクリスプ集合が帰納的可算でないとしても、論理的に真である論理式のファジィ集合は帰納的可算である。さらに、公理化可能で完全な任意の理論は決定可能である。

ファジィ部分集合の帰納的可算性についての提案された観念が適正なものだとしても、ファジィ論理について[[チャーチ＝チューリングのテーゼ]]が成り立つかどうかは未解決の問題である。そのためには、ファジィ文法やファジィ・チューリングマシンのさらなる研究が必要である<ref>{{Harvnb|Wiedermann|2004}}</ref>。さらにその先にある未解決の問題として、[[クルト・ゲーデル|ゲーデル]]の定理群のファジィ論理向けの拡張がある。

== ファジィ・データベース ==
ファジィ関係が定義されれば、ファジィ[[関係データベース]]を開発することもできる。世界初のファジィ関係データベース FRDB は、Maria Zemankova が論文で発表した。その後 Buckles-Petry モデル、Prade-Testemale モデル、Umano-Fukami モデル、GEFREDモデルといったモデルも生み出されている。ファジィ・データベースという意味では、[[クエリ]]のためのファジィ問い合わせ言語もいくつか定義されており、SQLf、FSQL などがある。これらは[[SQL]]文に、ファジィ的要素（ファジィ条件、ファジィ演算、ファジィ制約、ファジィ制限、ファジィしきい値、言語ラベルなど）を取り入れた構造を定義している。

== 確率論との比較 ==
ファジィ論理も確率も不確かさを別の方法で表現している。ファジィ論理も確率論も主観的信念を表現できるが、ファジィ集合論ではメンバシップの概念を使い、確率論では[[ベイズ確率]]の概念を使う。この区別は主に思想的なものだが、ファジィ論理に基づく確率測度は確率論の[[確率空間|確率測度]]とは本質的に異なり、直接的に等価ではない。統計学者の多くは[[ブルーノ・デ・フィネッティ]]の業績を信じており、数学的不確かさを論じる理論は1つで十分であって、ファジィ論理は不要だと考えている。一方[[バート・コスコ]]は、確率では一種類の不確かさしか表せないのだから、確率論がファジィ論理に包含されるとした。彼はまた、[[ファジィ集合論]]の概念から[[ベイズの定理]]を導出できることを証明したと主張している。ファジィ論理を生み出したロトフィ・ザデーは、ファジィ論理は確率とは異なる性格を持つとし、確率を代替するものではないとした。彼は確率論の代替となる Possibility Theory も生み出している<ref>Novák, V. Are fuzzy sets a reasonable tool for modeling vague phenomena?, Fuzzy Sets and Systems 156 (2005) 341—348.</ref>。

== 脚注・出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book|last=Von Altrock|first=Constantin|title=Fuzzy logic and NeuroFuzzy applications explained|publisher=Prentice Hall PTR|location=Upper Saddle River, NJ|date=1995年|isbn=0-13-368465-2}}
* {{Citation|last=Biacino|first=L.|last2=Gerla |first2= G.|date=2002|title=Fuzzy logic, continuity and effectiveness|journal=Archive for Mathematical Logic|issn=0933-5846|volume=41|issue=7|pages=643-667|doi=10.1007/s001530100128}}
* {{cite book|last=Cox|first=Earl|title=The fuzzy systems handbook: a practitioner's guide to building, using, maintaining fuzzy systems|publisher=AP Professional|location=Boston|date=1994年|isbn=0-12-194270-8}}
* {{cite journal|last=Elkan|first=C.|coauthors=|date=1994年|title=The Paradoxical Success of Fuzzy Logic|url=|journal=IEEE Expert|issn=0885-9000|volume=9|issue=4|pages=3-8|doi=10.1109/64.336150}}. [http://www-cse.ucsd.edu/users/elkan/papers/fuzzy.ps Elkan's home page]から入手可能
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* {{cite journal|last=Hájek|first=Petr|coauthors=|date=1995年|title=Fuzzy logic and arithmetical hierarchy|url=|journal=Fuzzy Sets and Systems|issn=0165-0114|volume=3|issue=8|pages=359-363|doi=10.1016/0165-0114(94)00299-M}}
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* {{cite book|last=Klir|first=George J.|coauthors=Yuan, Bo|title=Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications|publisher=Prentice Hall PTR|location=Upper Saddle River, NJ|date=1995年|isbn=0-13-101171-5}}
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*{{Cite journal | last1=Pu | first1=Pao Ming | last2=Liu | first2=Ying Ming | title=Fuzzy topology. I. Neighborhood structure of a fuzzy point and Moore-Smith convergence | date=1980 | journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications | issn=0022-247X | volume=76 | issue=2 | pages=571–599 | doi=10.1016/0022-247X(80)90048-7 | postscript=<!--None-->}}
* {{Citation|doi=10.1016/S0019-9958(70)80032-8|last=Santos|first=Eugene S.|date=1970|title=Fuzzy Algorithms|journal=Information and Control|volume=17|issue=4|pages=326–339}}
* {{cite journal|last=Scarpellini|first=Bruno|coauthors=|date=1962|title=Die Nichaxiomatisierbarkeit des unendlichwertigen Prädikatenkalküls von Łukasiewicz|url=|journal=Journal of Symbolic Logic|issn=0022-4812|volume=27|issue=2|pages=159-170|doi=10.2307/2964111}}
* {{Cite book|last=Steeb|first=Willi-Hans|title=The Nonlinear Workbook: Chaos, Fractals, Cellular Automata, Neural Networks, Genetic Algorithms, Gene Expression Programming, Support Vector Machine, Wavelets, Hidden Markov Models, Fuzzy Logic with C++, Java and SymbolicC++ Programs: 4edition|publisher=World Scientific|date=2008|isbn=981-281-852-9}}
* {{Cite book|last=Van Pelt|first=Miles|title=Fuzzy Logic Applied to Daily Life|publisher=No No No No Press|location=Seattle, WA|date=2008|isbn=0-252-16341-9}}
* {{Citation|last=Wiedermann|first=J.|date=2004|title=Characterizing the super-Turing computing power and efficiency of classical fuzzy Turing machines|url=|journal=Theor. Comput. Sci.|volume=317|pages=61-69|doi=}}
* {{Cite journal|last=Wilkinson|first=R.H.|coauthors=|date=1963|title=A method of generating functions of several variables using analog diode logic|url=|journal=IEEE Transactions on Electronic Computers |issn=|volume=12|issue=|pages=112–129|doi=10.1109/PGEC.1963.263419}}
* {{cite book|last=Yager|first=Ronald R.|coauthors=Filev, Dimitar P.|title=Essentials of fuzzy modeling and control|publisher=Wiley|location=New York|date=1994年|isbn=0-471-01761-2}}
* {{cite journal|last=Zadeh|first=L.A.|coauthors=|date=1968年|title=Fuzzy algorithms|url=|journal=Information and Control|issn=0019-9958|volume=12|issue=2|pages=94-102|doi=10.1016/S0019-9958(68)90211-8}}
* {{cite journal|last=Zadeh|first=L.A.|coauthors=|date=1965年|title=Fuzzy sets|url=|journal=Information and Control|issn=0019-9958|volume=8|issue=3|pages=338-353|doi=10.1016/S0019-9958(65)90241-X}}
* {{cite paper|author=Zemankova-Leech, M.|title=Fuzzy Relational Data Bases|version=Ph. D. Dissertation|publisher=Florida State University|date=1983年}}
* {{cite book|last=Zimmermann|first=H.|title=Fuzzy set theory and its applications|publisher=Kluwer Academic Publishers|location=Boston|date=2001年|isbn=0-7923-7435-5}}

==関連項目==
* [[ファジィ集合論]]
* [[ファジィ制御]] - [[制御システム]]
* [[人工知能]]
* [[ニューラルネットワーク]]
* [[エキスパートシステム]]
* [[パターン認識]]
* [[機械学習]]
* [[砂山のパラドックス]]
* [[誤った二分法]]
* [[多値論理]]
* [[ラフ集合]]

== 外部リンク ==
; 解説
*[http://en.citizendium.org/wiki/Formal_fuzzy_logic Formal fuzzy logic] - [[Citizendium]]での記事
*[http://www.scholarpedia.org/article/Fuzzy_Logic Fuzzy Logic] - [[スカラーペディア]]での記事
*[http://www.scholarpedia.org/article/Modeling_with_words Modeling With Words] - [[スカラーペディア]]での記事
*[http://plato.stanford.edu/entries/logic-fuzzy/ Fuzzy logic] - [[スタンフォード哲学百科事典]]での記事
*[http://www.fuzzy-logic.com/ch3.htm Fuzzy Logic for "Just Plain Folks"]
*[http://will.dwinnell.com/will/Putting%20Fuzzy%20Logic%20to%20Work.pdf Putting Fuzzy Logic To Work] ''PC AI'' Mar/Apr, 2002 ファジィ規則の紹介
*[http://blog.peltarion.com/2006/10/25/fuzzy-math-part-1-the-theory Fuzzy Math] - 入門的解説
; リンク集
*[http://www.lcc.uma.es/~ppgg/FSQL/ Web page about FSQL]: ファジィ問い合わせ言語 FSQL に関するリンク集など
; ソフトウェアとツール
*[http://www.fuzzytech.com fuzzyTECH] フリーの教育ソフトウェアなど
*[http://www.openfuzzymath.org InrecoLAN FuzzyMath] OpenOffice.org Calc 向けのファジィ論理アドイン
*[https://jfuzzylogic.sourceforge.net/ JFuzzyLogic] オープンソース（Java）ファジィ論理パッケージとFCL（Fuzzy Control Language）
*[http://www.metarule.com XmlMiner] ファジィ論理に基づく多目的マイニングエンジン
*[http://mbfuzzit.sourceforge.net Open Source Software "mbFuzzIT" (Java)]
*[http://www2.imse-cnm.csic.es/Xfuzzy/   Xfuzzy] ファジィ論理設計ツール
*[https://code.google.com/archive/p/peach Peach] Pythonによる[[計算知能]]
*[https://code.google.com/archive/p/funzy Funzy] Javaによるファジィ論理推論エンジン
*[http://www.havana7.com/dotfuzzy DotFuzzy] C#によるオープンソースのファジィ論理ライブラリ
*[http://sourceforge.net/projects/pyfuzzylib pyfuzzylib] Pythonによるオープンソースのファジィ論理ライブラリ
*[http://pyfuzzy.sourceforge.net pyfuzzy] Pythonによるオープンソースのファジィ論理パッケージ
*[http://www.timtomtam.de/rockonfuzzy RockOn Fuzzy] Javaによるオープンソースのファジィ制御・シミュレーションツール
*[https://ffll.sourceforge.net/index.html FFLL (Free Fuzzy Logic Library)] C++のファジィ論理ライブラリ
*[https://code.google.com/archive/p/fuzzy-lite FuzzyLite] C++によるオープンソースのファジィ論理ライブラリ
; 入門
*[http://www.jimbrule.com/fuzzytutorial.html Fuzzy Logic Tutorial]
*[http://www.answermath.com/fuzzymath.htm Simple test to check how well you understand it]
*[http://www.calvin.edu/~pribeiro/othrlnks/Fuzzy/home.htm Another Fuzzy Logic Tutorial] with MATLAB/Simulink Tutorial
*[http://www.byond.com/members/DreamMakers?command=view_post&post=37966 Fuzzy logic in your game] - ゲームデザインへの応用のための入門
; 応用例
*[http://econpapers.repec.org/paper/amrwpaper/398.htm 産業の将来予測にファジィ論理を応用する方法についての研究記事（英語）]
*[http://econpapers.repec.org/paper/pramprapa/4328.htm 大きな投資の収益性分析へのファジィ論理を応用に関する博士論文（英語）]
*[http://users.abo.fi/mcollan/fuzzypayoff.html 資産評価へのファジィ論理の応用（英語）]

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