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{{Redirect|ファジー|[[SCANDAL (日本のバンド)|SCANDAL]]のシングル曲|Fuzzy}}
{{出典の明記|date=2012年2月}}
'''ファジィ集合'''（ファジィしゅうごう、{{lang-en-short|fuzzy set}}）は、[[自然言語]]で表されるような[[曖昧]]な対象を定量化し、通常の[[集合]]（集合の要素であるかないかが、「ある」か「ない」のどちらかであるような集合）と同じように演算など（[[集合の代数学|集合代数]]）の対象とされる、集合である。[[公理的集合論|ZFC]]などをベースとしているためあくまで累積階層的集合観（cumulative hierarchy notion of set）の理論である。

1965年に[[ロトフィ・ザデー]]によって提唱された。集合に帰属する度合を表すメンバシップ関数により、曖昧な対象を定量化して扱う。

なお、日本語の「[[曖昧]]」という言葉は多義的で、「多義的」（2つ以上の意味にとれる）という意味があるが、ファジィは[[ファズ]]の形容詞形で、たとえば綿毛（冠毛）のような、境界がはっきりしないようす、周辺が不明瞭なことを意味し、多義的という意味はない。

一般に集合の体系には論理の体系が対応するが、ファジィ集合に対応するのは[[ファジィ論理]]である。ファジィ集合やファジィ論理を利用した制御を[[ファジィ制御]]といい、これらのファジィに関する理論をファジィ理論という。

== 導入 ==
あるファジィ集合の要素である度合いは、メンバシップ関数によって表される。例えばある年齢の人間を「若者」「中年」「老人」という3種類にわけることを考える。このときどこまでの年齢を若者とするか老人とするかは人によって意見の分かれる部分である。ファジィ理論ではこのような曖昧な事象を定量化し、[[集合]]のように扱うことを可能にする。例えば若者に属する集合を A、中年に属する集合を B、老人に属する集合を Cとすると「35歳の人間」 x は
: <math>\mu_A(x) = 0.2</math>
: <math>\mu_B(x) = 0.7</math>
: <math>\mu_C(x) = 0.1</math>
という風に表す、ここでは35歳の人間は0.7の割合で中年に属し0.2の割合で若者に属し0.1の割合で老人に属すると置いている（実際に正しいかどうかは別、あくまでこのように定義するという指標）。このとき <math>\mu_A(x) + \mu_B(x) + \mu_C(x) = 1</math> である。（ただし、各概念がこのようにきちんと分割できなければいけないというわけではない。）このように「どこまで属する」という事柄を割合として表すことのできる集合 <math>A,B,C</math> を'''ファジィ集合'''といい、具体的な割合の数値をだす各<math>\mu_A(x) , \mu_B(x), \mu_C(x)</math>を'''メンバシップ関数'''という。メンバシップ関数の値が0か1にしかならないのが、 通常の集合（非ファジィ集合、あるいは'''クリスプ集合'''と呼ぶ）であり、ファジィ集合は通常の集合の拡張といえる。

なお、ここで「年齢」という「変数」を考え、その「値」として「若者」「中年」「老人」という値をとる、といったようにして、（ファジィの研究者の用語で）「言語学的変数」（linguistic variables）といったものを導入することがあるが、以上で説明したように、最終的には実数値を扱うものであり、（ソシュールやチョムスキーらによるような）[[言語学]]的な何かがそこにあるわけではない。

== 厳密な定義 ==
{{seealso|多重集合#定義}}
; 定義
: ファジィ集合とは、集合 {{mvar|U}} と {{mvar|U}} から単位閉区間 {{math|{{!(}}0, 1{{)!}}}} への函数 {{math|''m'': ''U'' → {{!(}}0, 1{{)!}}}} の対 {{math|(''U'', ''m'')}} のことをいう。 

函数 {{mvar|m}} をファジィ集合 {{math|(''U'', ''m'')}} の'''帰属函数'''（''membership function''; メンバシップ函数）といい、各 {{math|''x'' ∈ ''U''}} に対して、値 {{math|''m''(''x'')}} は {{math|(''U'', ''m'')}} における {{mvar|x}} の'''帰属度''' ('''grade''' of membership) と呼ばれる。有限集合 {{math|''U'' {{=}} {{mset|''x''{{sub|1}}, …, ''x''{{sub|''n''}}}}}} に対してファジィ集合 {{math|(''U'', ''m'')}} をしばしば{{math|{{mset|''m''(''x''{{sub|1}})/''x''{{sub|1}}, …, ''m''(''x''{{sub|''n''}})/''x''{{sub|''n''}}}}}} のようにも書く。

ファジィ集合 {{math|(''U'', ''m'')}} において、{{math|''x'' ∈ ''U''}} が
* {{math|''m''(''x'') {{=}} 0}} のとき、このファジィ集合に'''含まれない''' (''not included'') または属さない
* {{math|''m''(''x'') {{=}} 1}} のとき'''まったく含まれる''' (''fully included'')
* {{math|0 < ''m''(''x'') < 1}} となる {{mvar|x}} は {{math|(''U'', ''m'')}} の'''ファジィ元'''（''fuzzy member''; あいまい要素）
という<ref>[http://www.aaai.org/aitopics/pmwiki/pmwiki.php/AITopics/FuzzyLogic AAAI]</ref>。また、
* 集合 {{math|{{mset|''x'' ∈ ''U'' | ''m''(''x'') > 0}}}} をファジィ集合 {{math|(''U'', ''m'')}} の'''[[関数の台|台]]''' (''support'')
* 集合 {{math|{{mset|''x'' ∈ ''U'' | ''m''(''x'') {{=}} 1}}}} をファジィ集合 {{math|(''U'', ''m'')}} の'''核''' (''kernel'', ''core'')
と呼ぶ。

ときには、より一般化されたファジィ集合の一種として、帰属函数がある種の[[代数系]]や[[数学的構造|構造]] {{mvar|L}}（{{mvar|L}} は一つ固定して考えることも動かして考えることもある）に値をとるようにすることもある（大抵は {{mvar|L}} が少なくとも[[順序集合]]や[[束 (束論)|束]]となるくらいのことは仮定する）。これらを通常のファジィ集合と明示的に区別するときは、通常は '''{{mvar|L}}-ファジィ集合''' (''{{mvar|L}}-fuzzy set'') や '''{{mvar|L}}-値帰属函数'''のようにいう。通常の単位閉区間値の帰属函数は {{math|{{!(}}0, 1{{)!}}}}-値帰属函数、通常のファジィ集合は {{math|{{!(}}0, 1{{)!}}}}-ファジィ集合である。このような一般化は、初め1967年にザデーの弟子 {{仮リンク|Joseph Goguen|en|Joseph Goguen}} によって与えられた<ref>[[Joseph Goguen|Goguen, Joseph A.]], 196, "''L''-fuzzy sets". ''Journal of Mathematical Analysis and Applications'' '''18''': 145–174</ref>。

== 諸定義 ==
ファジィ集合によってさまざまな概念をファジィ化したものが定式化できる。
; ファジィ数
{{main|{{仮リンク|ファジィ数|en|Fuzzy number}}}}
: [[凸函数|凸]]かつ[[正規化定数|正規化]]された帰属函数 {{math|μ{{sub|''A''}}}} を持つ実数からなるファジィ集合 {{math|{{tilde|''A''}} {{=}} ('''R''', μ{{sub|''A''}}) (''A'' ⊂ '''R''')}} が'''ファジィ数'''であるとは、その帰属函数が少なくとも[[区分的]]に[[連続函数|連続]]かつ、少なくとも一点において {{math|μ{{sub|''A''}}(''x'') {{=}} 1}} となるものをいう。
: この概念は、相手の体重を推測して正解により近い値を答えたほうが勝ちという「体重当て」遊びにも近いものがある。この場合、実体重を正確に言い当てることが帰属函数の値が {{math|1}} になることに相当する。
; ファジィ区間
: 実数全体の成す集合の部分集合 {{math|''A'' ⊂ '''R'''}} が {{math|μ{{sub|''A''}}(''x'') {{=}} 1}} なる元に挟まれた[[区間 (数学)|区間]]となっているようなファジィ集合 {{math|{{tilde|''A''}} {{=}} ('''R''', μ{{sub|''A''}})}} を'''ファジィ区間''' (''fuzzy interval'') という。ファジィ数と同様に、帰属函数 {{math|μ{{sub|''A''}}}} は凸かつ正規化され、少なくとも区分的に連続とする<ref>"Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility," ''Fuzzy Sets and Systems'' '''1''': 3&ndash;28</ref>
; ファジィ圏
: [[圏論]]において、集合の[[帰属関係]]を主要な構成要素として用いるような[[圏 (数学)|圏]]はファジィ集合を使って一般化することができる。このようなアプローチはファジィ集合の導入されてすぐ後の1968年には始まっており<ref>J. A. Goguen "Categories of fuzzy sets : applications of non-Cantorian set theory" PhD Thesis University of California, Berkeley, 1968</ref>、21世紀には「ゴーグエン圏」("Goguen category") の発展を導いた<ref>Michael Winter "Goguen Categories:A Categorical Approach to L-fuzzy Relations"  2007 [[Springer Verlag|Springer]] ISBN 9781402061639</ref><ref name=goguencateg>Michael Winter "Representation theory of Goguen categories" [[Fuzzy Sets and Systems]] Volume 138, Issue 1, 16 August 2003, Pages 85–126</ref>。これらの圏では、通常の集合の（二値）帰属函数ではなく、より一般の区間値のものが用いられ、あるいはまた {{mvar|L}}-ファジィ集合のように束に値をとるものとすることもできる<ref name=goguencateg/><ref>Goguen, J.A., "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18(1):145–174, 1967</ref>。

== ファジィ集合の基本演算 ==
{{特殊文字|説明=特殊な演算子記号}}
通常の集合の各基本演算に対応するファジィ集合の基本演算がそれぞれ定義されている。

ファジィ理論では特にメンバシップ関数の大小が大きく影響するので、
:<math>a\wedge b \stackrel{\text{def}}{{}={}} \min(a,b)</math>
:<math>a\vee b \stackrel{\text{def}}{{}={}} \max(a,b)</math>
とあらかじめ定義される。このときファジィ集合を <math>A, B</math>と各メンバシップ関数を <math>\mu_A(x), \mu_B(x)</math> とおくと各演算は
;[[合併 (集合論)|和集合]] :<math>A\cup B \stackrel{\text{def}}{{}\iff{}} \mu_{A\cup B}(x):= \mu_A(x)\vee\mu_B(x)</math>
;[[共通集合]] :<math>A\cap B \stackrel{\text{def}}{{}\iff{}} \mu_{A\cap B}(x) := \mu_A(x)\wedge\mu_B(x)</math>
;[[補集合]] : <math>\overline{A} \stackrel{\text{def}}{{}\iff{}} \mu_{\overline{A}}(x) := 1 - \mu_A(x)</math>
となるメンバシップ関数をもつ集合と定義される。また対等関係、包含関係は以下のように表す。
;相等関係 : <math>A=B \stackrel{\text{def}}{{}\iff{}} \mu_A(x) = \mu_B(x), \forall x\in X</math>
;包含関係 : <math>A \subseteq B \stackrel{\text{def}}{{}\iff{}} \mu_A(x) \leq \mu_B(x), \forall x\in X</math>
ここで <math>X</math> は全体集合のことである。これらの定義からファジィ集合には以下の定理が成り立つことが証明されている。
;二重否定 : <math>\overline{\overline{A}} = A </math>
;[[ド・モルガンの法則]]
: <math>\overline{A\cup B} = \overline{A}\cap\overline{B}</math>
: <math>\overline{A\cap B} = \overline{A}\cup\overline{B}</math>
また、ファジィ集合独自の演算として以下のようなものが定義されている。
;代数和 : <math>A\boxplus B,\quad A\dotplus B,\quad A + B \stackrel{\text{def}}{{}\iff{}} \mu_{A+B}(x) := \mu_A(x) + \mu_B(x) - \mu_A(x)\cdot\mu_B(x)</math>
;代数積 : <math>A \cdot B \stackrel{\text{def}}{{}\iff{}} \mu_{A\cdot B}(x) := \mu_A(x)\cdot\mu_B(x)</math>
;限界和 : <math>A \oplus B \stackrel{\text{def}}{{}\iff{}} \mu_{A\oplus B}(x) := (\mu_A(x) + \mu_B(x))\wedge 1</math>
;限界差 : <math>A \ominus B \stackrel{\text{def}}{{}\iff{}} \mu_{A \ominus B}(x) := (\mu_A(x) - \mu_B(x))\vee 0</math>
;限界積 : <math>A \odot B,\quad A \otimes B \stackrel{\text{def}}{{}\iff{}} \mu_{A\otimes B} := (\mu_A(x) + \mu_B(x) - 1)\vee 0</math>
;激烈和 : <math> A\dot\vee B \stackrel{\text{def}}{{}\iff{}} \mu_{A\dot\vee B}(x):=\begin{cases}
\mu_A(x), & \text{if }\mu_B(x) = 0 \\ \mu_B(x), & \text{if }\mu_A(x) = 0 \\ 1, & \text{otherwise}\end{cases}</math>
;激烈積 : <math> A\dot\wedge B \stackrel{\text{def}}{{}\iff{}} \mu_{A\dot\wedge B}(x):=\begin{cases}
\mu_A(x), & \mbox{if }\mu_B(x) = 1 \\ \mu_B(x), & \mbox{if }\mu_A(x) = 1 \\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}</math>

== 注 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[多重集合]]
* [[砂山のパラドックス]]

== 外部リンク ==
* [http://www.j-soft.org 日本知能情報ファジィ学会]
* {{Wayback|url=http://www.scholarpedia.org/article/Fuzzy_Sets |title=Fuzzy Sets |date=20070107111651}} - [[スカラーペディア]]百科事典「ファジィ集合」の項目。

{{Settheory-stub}}

{{DEFAULTSORT:ふあしいしゆうこう}}
[[Category:ファジー論理]]
[[Category:アルゴリズム]]
[[Category:制御工学]]
[[Category:集合論のシステム]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[de:Fuzzylogik#Unscharfe Mengen]]