ファトゥ成分の分類のソースを表示

[[数学]]、特に[[複素力学系]]に於ける'''ファトゥ成分'''（ファトゥせいぶん、{{Lang-en-short|''Fatou components''}} ）は、[[ファトゥ集合]]の[[連結空間|成分]]のことを言う。

== 有理関数の場合 ==

f が[[リーマン球面|拡張複素平面]]で定義された[[有理関数]]

:<math>f = \frac{P(z)}{Q(z)}</math>

で、（次数が 1 より大きい）非線型関数であり、

: <math>\max(\deg(P),\, \deg(Q))\geq 2 </math>

が成立するなら、ファトゥ集合の周期成分 <math>U</math> に対して、次のいずれか唯一つが成立する：

# <math>U</math> は'''[[周期点|吸引周期点]]'''を含む；
# <math>U</math> は'''放物型'''である<ref>[[:wikibooks:Fractals/Iterations in the complex plane/parabolic|wikibooks : parabolic Julia sets]]</ref>；
# <math>U</math> は'''[[ジーゲル円板]]'''である；
# <math>U</math> '''[[エルマン環]]'''である。

この三つ目が成立するのは、''f''(''z'') が単位円板からそれ自身への上へのユークリッド回転と解析的に共役である場合のみであることが示される。また四つ目が成立するのは、''f''(''z'') がある[[アニュラス]]からそれ自身へのユークリッド回転と解析的に共役である場合のみであることが示される。

=== 例 ===
<gallery>
File:Fatou componenets 3.png|吸引的なサイクルを持つ[[ジュリア集合]]
File:Parabolic Julia set for internal angle 1 over 15.png|放物型ジュリア集合
File:Quadratic Golden Mean Siegel Disc Average Velocity - Gray.png|ジーゲル円板を含むジュリア集合
File:Herman Standard.png|エルマン環を含むジュリア集合
</gallery>

==== 吸引周期点 ====

写像 <math>f(z) = z - (z^3-1)/3z^2</math> の成分は、<math>z^3=1</math> の解であるような吸引点を含む。これはなぜなら、そのような写像は方程式<math>z^3=1</math> の解を[[ニュートン法|ニュートン・ラフソン法]]によって見つけるために用いられるものであるからである。そのような解は自然、吸引的な不動点になる。

==== エルマン環 ====

写像

:<math>f(z) = e^{2 \pi i t} z^2(z - 4)/(1 - 4z)\ </math>

と t = 0.6151732... によって、エルマン環が構成される<ref>{{citation|first=John W.|last=Milnor|authorlink=John Milnor|title=Dynamics in one complex variable|year=1990|arxiv=math/9201272}}</ref>。そのような写像の次数は、この例においては少なくとも 3 であることが[[宍倉光広]]によって示されている。

== 超越的な場合 ==

[[超越関数]]の場合、次の'''ベーカー領域'''（Baker domain）が存在する：その上での反復が[[真性特異点]]に近付くような領域（多項式および有理関数では起こり得ない）<ref>[http://pcwww.liv.ac.uk/~lrempe/Talks/liverpool_seminar_2006.pdf An Introduction to Holomorphic Dynamics  (with particular focus on transcendental functions)by  L. Rempe]</ref><ref>[http://www.ncnsd.org/proceedings/proceeding05/paper/185.pdf Siegel Discs in Complex Dynamics by Tarakanta Nayak]</ref>。次の関数がその例である<ref>[http://www.math.uiuc.edu/~aimo/anim.html A transcendental family with Baker domains by Aimo Hinkkanen , Hartje Kriete and Bernd Krauskopf ]</ref>。

<math>f(z) = z - 1 + (1 - 2z)e^z</math>

== 参考文献 ==
* [[レンナルト・カルレソン|Lennart Carleson]] and Theodore W. Gamelin, ''Complex Dynamics'', Springer 1993.
* Alan F. Beardon ''Iteration of Rational Functions'', Springer 1991.

== 脚注 ==
<references/>

== 関連項目 ==
* [[複素力学系]]
* [[ファトゥ集合]]

== 外部リンク ==
* [[wikibooks:Fractals/Iterations_in_the_complex_plane/cremer|クリーマージュリア集合]]

{{DEFAULTSORT:ふあとううせいふんのふんるい}}
[[Category:フラクタル]]
[[Category:極限集合]]
[[Category:複素解析の定理]]
[[Category:複素力学系]]
[[Category:力学系の定理]]
[[Category:定理]]
[[Category:ピエール・ファトゥ]]
[[Category:数学に関する記事]]