ファニャノの問題のソースを表示


[[ファイル:Fagnano_problem.svg|サムネイル|垂心三角形: <math>\triangle DEF </math> <br /><br />内接三角形: <math>\triangle DEF\,,\triangle GHI </math> <br /><br /> <math>|DE|+|EF|+|FD|\leq |GH|+|HI|+|IG| </math>|233x233ピクセル]]
'''ファニャノの問題'''（ファニャノのもんだい、{{Lang-en-short|Fagnano's problem}}）は、1775年{{仮リンク|ジョバンニ・ファニャノ|en|Giovanni Fagnano}}が提起した、[[数理最適化|最適化]]問題の一つである。
{{Math theorem|ファニャノの問題|[[鋭角三角形]]に内接する三角形で、[[周長]]が[[最小]]であるものはどのような三角形か？}}
ファニャノの問題の解は[[頂垂線 (三角形)|垂心三角形]]（垂足三角形）、[[頂垂線 (三角形)|頂垂線]]の垂足が成す三角形である。

== 解 ==
[[頂垂線 (三角形)|垂足三角形]]は頂垂線と対辺の交点（垂足）が成す三角形である。一般の[[垂足三角形]]との区別のため、垂心三角形とも呼ばれる<ref>{{Cite book |title=数学オリンピック幾何への挑戦 : ユークリッド幾何学をめぐる船旅 |url=https://ci.nii.ac.jp/ncid/BD00792221 |publisher=日本評論社 |date=2023 |language=ja |first=Evan (Mathematician) |last=Chen |first2=康夫 |last2=森田 |first3=太陽 |last3=兒玉 |first4=勇輝 |last4=熊谷 |first5=彩斗 |last5=宿田 |first6=楓馬 |last6=平山}}</ref>。 垂足三角形は鋭角三角形に内接する（頂点がもとの三角形の各辺上にある）三角形の中で最短の周長を持つ。ファニャノによる解法は[[微分積分学|微積分]]を用いたもので途中の結果はファニャノの父である{{仮リンク|ジュリオ・カルロ・ド・トスキ・ディ・ファニャノ|en|Giulio Carlo de' Toschi di Fagnano}} が示したものである。後に[[ヘルマン・アマンドゥス・シュヴァルツ|ヘルマン・シュワルツ]]や[[フェイェール・リポート]]によって幾何学的な証明も与えられた。幾何学的な証明では[[鏡映]]によって周長を[[折線]]の長さに置き換えることを用いる。

== 物理学的な原理 ==
[[物理学]]的には三角形<math>ABC</math>の周に引っ掛けられた、滑らかに動き[[フックの法則]]に従う[[輪ゴム]]を想像することで証明できる。輪ゴムはその[[弾性エネルギー]]が最小になるように移り、このとき周長も最小化される。 輪ゴムの内側の張力はどの場所でも同じであるから、制止する場所は[[ラミの定理]]より<math>\angle bcA = \angle acB, \angle caB = \angle baC, \angle abC = \angle cbA</math>を満たす場所になる
[[ファイル:Altitudes_and_orthic_triangle_SVG.svg|サムネイル|279x279ピクセル|三角形ABCの垂心三角形abc]]
これは垂心三角形と一致する。

== 関連項目 ==

* {{仮リンク|一般化TSP問題|en|Set TSP problem}}

== 出典 ==
{{Reflist}}

* Heinrich Dörrie: ''100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution''. Dover Publications 1965, p. 359-360. {{ISBN2|0-486-61348-8}}, problem 90 ([https://books.google.com/books?id=i4SJwNrYuAUC&pg=PA359&vq=fagnano&source=gbs_search_r&cad=1_1 restricted online version (Google Books)])
* Paul J. Nahin: ''When Least is Best: How Mathematicians Discovered Many Clever Ways to Make Things as Small (or as Large) as Possible''.  Princeton University Press 2004, {{ISBN2|0-691-07078-4}}, p.67
* [[ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセター|Coxeter, H. S. M.]]; Greitzer, S. L.:''Geometry Revisited''. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1967, pp.88–89.
* [[ヘルマン・アマンドゥス・シュヴァルツ|H.A. Schwarz]]: ''Gesammelte Mathematische Abhandlungen, vol. 2''. Berlin 1890, pp. 344-345. ([https://archive.org/stream/gesammeltemathem02schwuoft#page/344/mode/2up online] at the [[インターネットアーカイブ|Internet Archive]], German)

== 外部リンク ==

* [https://www.cut-the-knot.org/triangle/Fagnano.shtml Fagnano's problem at cut-the-knot]
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fagnano_problem Fagnano's problem] in the Encyclopaedia of Mathematics
* [https://web.archive.org/web/20120705102919/http://www.pballew.net/orthocen.html Fagnano's problem at a website for triangle geometry]
* {{MathWorld|urlname=FagnanosProblem|title=Fagnano's problem}}
* {{高校数学の美しい物語|2093|垂足三角形の意味と5つの性質}}
{{デフォルトソート:ふあにやののもんたい}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学の問題]]
[[Category:数学に関する記事]]