ファノ多様体のソースを表示

{{要改訳}}
[[代数幾何学]]では、'''ファノ多様体'''(Fano variety)は、{{harvs|authorlink=Gino Fano|last=Fano|year1=1934|year2=1942}} により導入され、多様体上の[[標準バンドル|反標準バンドル]]が[[豊富なラインバンドル|豊富]]な{{仮リンク|完備代数多様体|en|Complete algebraic variety}}(complete variety) X のことを言う。この定義は、X がある定義体上で{{仮リンク|滑らかなスキーム|label=滑らか|en|Smooth scheme}}(smooth)なことを前提としているが、[[極小モデル|極小モデルプログラム]]では、[[標準特異点|端末特異点]](canonical singularity)や[[標準特異点|klt特異点]](klt singularity)（川又対数端末特異点）といった、様々なタイプの特異点を持ったファノ多様体の研究も進められていた。
<!--In [[algebraic geometry]], a '''Fano variety''', introduced in {{harvs|authorlink=Gino Fano|last=Fano|year1=1934|year2=1942}}, is a [[Complete algebraic variety|complete variety]] ''X'' whose [[anticanonical bundle]] ''K''<sub>X</sub><sup>*</sup> is [[ample line bundle|ample]]. In this definition, one could assume that ''X'' is [[Smooth scheme|smooth]] over a field, but the [[minimal model program]] has also led to the study of Fano varieties with various types of singularities, such as [[canonical singularity|terminal]] or [[canonical singularity|klt]] singularities.-->

==ファノ多様体の例==

*ファノ多様体の基本的な例は、{{仮リンク|射影空間の代数幾何学|label=射影空間|en|algebraic geometry of projective spaces}}である。<math>\mathbb P_{\mathbf k}^n</math> の[[標準ラインバンドル|反標準ラインバンドル]]は <math>\mathcal O(n+1)</math> であり、反標準バンドルは[[豊富なラインバンドル|非常に豊富]]である（その[[曲率]]は[[フビニ・スタディ計量]]の n+1 倍の[[シンプレクティック形式]]である）。
<!---==Examples==

*The fundamental example of Fano varieties are the [[algebraic geometry of projective spaces|projective spaces]]: the [[canonical bundle|anticanonical line bundle]] of '''P'''<sup>''n''</sup> over a field ''k'' is ''O''(''n''+1), which is [[very ample]] (over the complex numbers, its [[curvature]] is ''n+1'' times the [[Fubini–Study]] symplectic form).-->

*D を <math>\mathbb P_{\mathbf k}^n</math> の中の滑らかな余次元 1 の部分多様体とすると、[[随伴公式 (代数幾何学)|随伴公式]]より、<math>\mathcal K_D = (\mathcal K_X + D)|_D = (-(n+1) H +  \mathrm{deg}(D) H)|_D</math> を得る。ここに H は超平面のクラスである。従って、[[超曲面]] D がファノ多様体であることと <math>\mathrm{deg}(D) < n+1</math> であることとは同値である。

*より一般的な n-次元の射影空間の超曲面の滑らかな{{仮リンク|完全交叉|en|complete intersection}}(complete intersection)がファノ多様体であることと、それらの次数が多くとも n であることとは同値である。
<!---*Let ''D'' be a smooth codimension-1 subvariety in '''P'''<sup>n</sup>. From the [[adjunction formula]], we infer that ''K''<sub>''D''</sub> = (''K''<sub>''X''</sub> + ''D'')|<sub>''D''</sub> = (−(''n''+1)''H'' + deg(''D'')H)|<sub>''D''</sub>, where ''H'' is the class of a hyperplane. The [[hypersurface]] ''D'' is therefore Fano if and only if deg(''D'') < ''n''+1.

*More generally, a smooth [[complete intersection]] of hypersurfaces in ''n''-dimensional projective space is Fano if and only if the sum of their degrees is at most ''n''.-->

*{{仮リンク|重み付き射影空間|en|Weighted projective space}}(Weighed projective space) '''P'''(a<sub>0</sub>,...,a<sub>n</sub>) はファノ多様体である。この空間は、生成元が次数 a<sub>0</sub>,...,a<sub>n</sub> である次数付き多項式環に付随する射影スキームである。これがうまく構成されると、数 a の中の n が 1 よりも大きな公約数が存在しないので、a<sub>0</sub>+...+a<sub>n</sub> よりも次数の小さな超曲面の任意の完全交叉がファノ多様体である。

*標数 0 の射影多様体で線型代数群の下に等質な多様体は、全てファノ多様体である。
<!---*[[Weighted projective space]] '''P'''(''a''<sub>0</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>) is a singular ([[canonical singularity|klt]]) Fano variety. This is the projective scheme associated to a graded polynomial ring whose generators have degrees ''a''<sub>0</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>. If this is well formed, in the sense that no ''n'' of the numbers ''a'' have a common factor greater than 1, then any complete intersection of hypersurfaces such that the sum of their degrees is less than ''a''<sub>0</sub>+...+''a''<sub>''n''</sub> is a Fano variety. 

*Every projective variety in characteristic zero that is homogeneous under a linear algebraic group is Fano.-->

==いくつかの性質==

X 上に豊富なラインバンドルが存在することと、X が[[射影多様体]]であることとは同値であるから、ファノ多様体はいつでも射影的である。複素数体上のファノ多様体は、[[小平消滅定理]]により、<math>i > 0</math> に対して、[[局所環付き空間|構造層]]の[[層コホモロジー|高次コホモロジー群]] <math>H^i(X, \mathcal O_X)</math> が 0 である。このことから、[[チャーン類|第一チャーン類]]から、同型 <math>c_1 : \mathrm{Pic}(X) \to H^2(X,\mathbb Z)</math> が導かれる。
<!--==Some properties==

The existence of some ample line bundle on ''X'' is equivalent to ''X'' being a [[projective variety]], so a Fano variety is always projective. For a Fano variety ''X'' over the complex numbers, the [[Kodaira vanishing theorem]] implies that the [[sheaf cohomology|higher cohomology groups]] H<sup>''i''</sup>(''X'', ''O''<sub>''X''</sub>) of the [[structure sheaf]] vanish for ''i'' > 0. It follows that the [[first Chern class]] induces an isomorphism ''c''<sub>1</sub>: Pic(''X'') → H<sup>2</sup>(''X'', '''Z''').-->

滑らかな複素ファノ多様体は、[[単連結空間|単連結]]である。カンパナ(Campana)とケラー・宮岡・森(Kollár-Miyaoka-Mori)は、代数的閉体上の滑らかなファノ多様体は[[有理多様体#有理連結多様体|有理チェーン連結]]であることを示した。すなわち、任意の 2つの閉点は[[代数曲線#有理曲線|有理曲線]]のチェーンにより連結することができる。<ref> J. Kollár. Rational Curves on Algebraic Varieties. Theorem V.2.13.</ref> 最も簡単な事実は、ファノ多様体の[[小平次元]]は、&minus;∞ という事実である。
<!---A smooth complex Fano variety is [[Simply connected space|simply connected]]. Campana and Kollár-Miyaoka-Mori showed that a smooth Fano variety over an algebraically closed field is [[Rational_variety#Rationally_connected_variety|rationally chain connected]]; that is, any two closed points can be connected by a chain of [[Algebraic_curve#Rational_curves|rational curves]].<ref> J. Kollár. Rational Curves on Algebraic Varieties. Theorem V.2.13.</ref> A much easier fact is that every Fano variety has [[Kodaira dimension]] &minus;∞.-->

ケラー・宮岡・森は、標数 0 の代数的閉体上の任意の次元の滑らかなファノ多様体が有界な族を作ることを示した。このことはそのようなファノ多様体が有限個の代数多様体の点により分類されることを意味している。<ref>J. Kollár. Rational Curves on Algebraic Varieties. Corollary V.2.15.</ref> 特に、各々の次元のファノ多様体の変形クラスは、有限個しかないことを意味する。この意味で、ファノ多様体は[[小平次元#一般型|一般型]]の多様体のような他のクラスよりも非常に特殊である。
<!--Kollár-Miyaoka-Mori showed that the smooth Fano varieties of a given dimension over an algebraically closed field of characteristic zero form a bounded family, meaning that they are classified by the points of finitely many algebraic varieties.<ref>J. Kollár. Rational Curves on Algebraic Varieties. Corollary V.2.15.</ref> In particular, there are only finitely many deformation classes of Fano varieties of each dimension. In this sense, Fano varieties are much more special than other classes of varieties such as varieties of [[Variety_of_general_type#General_type|general type]].-->

==小さな次元での分類==

次の議論は複素数上の滑らかなファノ多様体を考える。

次元が 1 のファノ曲線は、[[射影直線]]に[[同型]]である。 

次元が 2 のファノ曲面は、{{仮リンク|デルペッゾ曲面|en|del Pezzo surface}}と呼ばれる。どのデルペッゾ曲面も <math>\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1</math> か、または、最大 8 個の点でブローアップした射影平面であり、とくにファノ多様体全てが再び[[有理多様体|有理的]]である。

3 次元では、滑らかな複素ファノ多様体であって、有理的でないものが存在する。例えば、'''P'''<sup>4</sup> の中の3次 3次元多様体(3-fold)や、（クレメンス(Clemens)とグリフィス(Griffiths)による）、'''P'''<sup>4</sup> の中の 4次 3次元多様体（イスコフスキー(Iskovskih)とマーニン(Manin)による）である。{{harvs|txt|last=Iskovskih|year1=1977|year2=1978|year3=1979}}では、第二[[ベッチ数]]が 1 である滑らかな 3次元ファノ多様体は、17 個のクラスへ分類され、また、{{harvtxt|Mori|Mukai|1981}} では、第二ベッチ数がすくなくとも 2 の 3次元ファノ多様体は 88 個の変形するクラスを発見して、滑らかなファノ多様体を分類した。滑らかな 3次元ファノ多様体の分類の詳細なまとめは、{{harvtxt|Iskovskikh|Prokhorov|1999}} で与えられている。
<!---==Classification in small dimensions==

In the following discussion, we consider smooth Fano varieties over the complex numbers.

A Fano curve is [[isomorphism|isomorphic]] to the [[projective line]]. 

A Fano surface is also called a [[del Pezzo surface]]. Every del Pezzo surface is isomorphic to either '''P'''<sup>1</sup> × '''P'''<sup>1</sup> or to the projective plane blown up in at most 8 points, and in particular are again all [[Rational variety|rational]]. 

In dimension 3, there are smooth complex Fano varieties which are not rational, for example cubic 3-folds in '''P'''<sup>4</sup> (by Clemens-Griffiths) and quartic 3-folds in '''P'''<sup>4</sup> (by Iskovskikh-Manin). {{harvs|txt|last=Iskovskih|year1=1977|year2=1978|year3=1979}} classified the smooth Fano 3-folds with second [[Betti number]] 1 into 17 classes, and  {{harvtxt|Mori|Mukai|1981}} classified the smooth ones with second Betti number at least 2, finding 88 deformation classes. A detailed summary of the classification of smooth Fano 3-folds is given in {{harvtxt|Iskovskikh|Prokhorov|1999}}.-->

==脚注==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
*{{仮リンク|形の周期表|en|Periodic table of shapes}}(Periodic table of shapes) 3 と 4次元のすべてのファノ多様体を分類するプロジェクト

==参考文献==
*{{citation|first=Gino |last=Fano| author-link=Gino Fano | chapter=Sulle varietà algebriche a tre dimensioni aventi tutti i generi nulli|title= Proc. Internat. Congress Mathematicians (Bologna) , 4 , Zanichelli  |year=1934|pages= 115–119}}
*{{Citation | doi=10.1007/BF02565618 | last1=Fano | first1=Gino | author-link=Gino Fano | title=Su alcune varietà algebriche a tre dimensioni razionali, e aventi curve-sezioni canoniche | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=209966 | mr=0006445 | year=1942 | journal=Commentarii Mathematici Helvetici | issn=0010-2571 | volume=14 | pages=202–211}}
*{{Citation | last1=Iskovskih | first1=V. A. | title=Fano threefolds. I  | doi=10.1070/IM1977v011n03ABEH001733 | mr=463151 | year=1977 | journal=Math. USSR Izv.  | issn=0373-2436 | volume=11 | issue=3 | pages=485–527}}
*{{Citation | last1=Iskovskih | first1=V. A. | title=Fano 3-folds II | doi=10.1070/IM1978v012n03ABEH001994Fano+3-folds+II | mr=0463151  | year=1978 | journal=Math USSR Izv. | volume=12 | issue=3 | pages=469–506}}
*{{Citation | last1=Iskovskih | first1=V. A. | title=Current problems in mathematics, Vol. 12 (Russian) | publisher=VINITI, Moscow | mr=537685 | year=1979 | chapter=Anticanonical models of three-dimensional algebraic varieties | pages=59–157}}
*{{Citation | last1=Iskovskikh | first1=V. A. | last2=Prokhorov | first2=Yu. G. | chapter=Fano varieties | pages=1-247 | title=Algebraic Geometry, V. Encyclopedia Math. Sci., 47 | editor1=A. N. Parshin | editor2=I. R. Shafarevich | year=1999 | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=3-540-61468-0 | mr=1668579}}
*{{Citation | last1=Kollár | first1=János | author1-link=Janos Kollar | title=Rational Curves on Algebraic Varieties | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, Heidelberg | isbn=978-3-642-08219-1 | doi=10.1007/978-3-662-03276-3 | mr=1440180 | year=1996 }}
*{{SpringerEOM|title=Fano variety|last= Kulikov|first=Vik.S.|urlname=Fano_variety}}
*{{Citation | last1=Mori | first1=Shigefumi | last2=Mukai | first2=Shigeru | authorlink=Shigefumi Mori | author2-link=Shigeru Mukai | title=Classification of Fano 3-folds with B<sub>2</sub>≥2 | doi=10.1007/BF01170131 | mr=641971 | year=1981 | journal=Manuscripta Mathematica | issn=0025-2611 | volume=36 | issue=2 | pages=147–162}}
*{{Citation | last1=Mori | first1=Shigefumi | last2=Mukai | first2=Shigeru | authorlink=Shigefumi Mori | author2-link=Shigeru Mukai | title=Erratum: "Classification of Fano 3-folds with B<sub>2</sub>≥2" | doi=10.1007/s00229-002-0336-2 | mr=1969009 | year=2003 | journal=Manuscripta Mathematica | issn=0025-2611 | volume=110 | issue=3 | pages=407}}

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