ファルティングスの定理のソースを表示

[[数論]]において、'''モーデル予想'''({{lang-en-short|Mordell conjecture}})とは、{{harvtxt|Mordell|1922}} で提示された予想であり、有理数体 '''Q''' 上に定義された 1 よりも大きな種数を持つ曲線は、有限個の[[有理点]]しか持たないであろうという予想である。後にこの予想は '''Q''' を任意の[[代数体|数体]]へ置き換えた予想へ一般化された。この予想は {{harvs|txt|authorlink=Gerd Faltings|first=Gerd|last=Faltings||year=1983}} により証明されたため、'''ファルティングスの定理'''({{lang-en-short|Faltings' theorem}})として知られている。

==背景==
''C'' を '''Q''' 上の[[種数]] ''g'' の[[非特異]]代数曲線とすると、''C'' の有理点の集合は次のように決定することができる。

* ''g'' = 0 の場合：有理点が存在しないか、もしくは無限個存在する： ''C'' は[[円錐曲線]]である。
* ''g'' = 1 の場合：有理点が存在しないか、もしくは ''C'' が[[楕円曲線]]で、有理点が[[有限生成アーベル群]]をなす。（'''モーデル定理'''(Mordell's Theorem)は、後に'''モーデル・ヴェイユの定理'''(Mordell–Weil theorem)へ一般化された。さらにメイザーの捩れ定理<ref>'''{{Anchors|メイザーの捩れ定理}}メイザーの捩れ定理'''は、バリー・メイザーによる定理で、有理数体上の楕円曲線上の有理点の群の可能である捩れ部分群を分類した定理である。

C<sub>n</sub> で位数 n の巡回群を表すと、可能な捩れ部分群は、1 ≤ n ≤ 10 に対しての C<sub>n</sub> と C<sub>12</sub> とさらに、C<sub>2</sub> と C<sub>2</sub>, C<sub>4</sub>, C<sub>6</sub> あるいは C<sub>8</sub> との直和である{{疑問点|date=2022年4月|title=捩れ部分群の列挙の仕方が曖昧}}。

この逆の結果は、対応するモジュラ曲線が有理点ではみな種数 0 となるので、全てのこれらの捩れ構造は、'''Q''' 上に無限個の捩れ構造が現れる。</ref>は捩れ部分群の構造を制限している。）
* ''g'' > 1 の場合：ファルティングスの定理（モーデル予想）に該当する。''C'' は有限個の有理点しか持たない。


==証明==
[[ゲルト・ファルティングス|ファルティングス]]の元々の証明は、[[テイト予想 (代数幾何学)|テイト予想]]の既知の場合へ帰着させるとともに、[[ネロンモデル]]の理論を含む[[代数幾何学]]の多くのツールを用いるものであった。ディオファントス近似を基礎とする全く異なる証明は、{{仮リンク|ポール・ヴォイタ|en|Paul Vojta}}(Paul Vojta)により得られている。さらにヴォイタの証明の初等的な証明は[[エンリコ・ボンビエリ]]が与えた。
==結論==
1983年のファルティングスの論文は、それ以前に予想されていた多くの主張の結果として得られた。

* '''モーデル予想'''(Mordell conjecture)：数体上の種数が 1 よりも大きな曲線は有限個の有理点しか持たない。
* '''シャファレビッチ予想'''(Shafarevich conjecture)：決められた次元の、決められた数体上の偏極次数を持ち、決められた有限個の{{仮リンク|座 (数学)|label=座|en|place (mathematics)}}(place)の有限集合の外側では{{仮リンク|良い還元|en|good reduction}}(good reduction)を持つアーベル多様体の同型類は、有限個しか存在しない。
* '''同種定理'''(Isogeny theorem)：同型な{{仮リンク|テイト加群|en|Tate module}}(Tate module)を（ガロア作用、'''Q'''<sub>l</sub>-加群として）もつ[[アーベル多様体]]は[[同種]]である。

モーデルの予想は、{{harvtxt|Parshin|1971}} によってシャファレビッチ予想へ帰着された。ファルティングスの定理の応用の例として、[[フェルマーの最終定理]]の弱い形がある。決められた ''n'' > 4 に対し、''a''<sup>''n''</sup>&nbsp;+&nbsp;''b''<sup>''n''</sup>&nbsp;=&nbsp;''c''<sup>''n''</sup> には有限個の整数解しか存在しない。なぜなら、''n'' に対し、曲線 ''x''<sup>''n''</sup>&nbsp;+&nbsp;''y''<sup>''n''</sup>&nbsp;=&nbsp;1 は種数が 1 よりも大きいからである。

==一般化==
[[モーデルの定理|モーデル・ヴェイユの定理]]により、ファルテングスの定理はアーベル多様体 ''A'' の有限生成部分群 ''Γ'' を持つ曲線 ''C'' の交点理論についての主張として再定式化することができる。''C'' を ''A'' の任意の部分多様体に置き換え、''Γ'' を任意の ''A'' の有限ランクの部分群へ置き換えることで、{{仮リンク|モーデル・ラング予想|en|Mordell–Lang conjecture}}(Mordell–Lang conjecture)<ref>{{Anchors|モーデル・ラング予想}}'''モーデル・ラング予想'''は、アーベル多様体と準アーベル多様体上のモーデル予想と[[アーベル多様体の数論#マーニン・マンフォード予想|マーニン・マンフォード予想]]を統合する[[サージ・ラング]]の一連の予想である。{{harvtxt|Michael|1995}} によって証明された。</ref>が導出される。

ファルテングスの定理の別の高次元への一般化は、{{仮リンク|ボンビエリ・ラング予想|en|Bombieri–Lang conjecture}}(Bombieri–Lang conjecture)であり、''X'' が数体 ''k'' 上の{{仮リンク|準標準多様体|en|pseudo-canonical variety}}(pseudo-canonical variety)（すなわち、[[小平次元#一般型|一般型]]の多様体）であれば、''X''(''k'') は ''X'' でザリスキー稠密ではない。さらに一般的な予想が{{仮リンク|ポール・ヴォイタ|en|Paul Vojta}}(Paul Vojta)により提示されている。

函数体のモーデル予想は、{{harvtxt|Manin|1963}} と {{harvtxt|Grauert|1965}} により証明された。{{harvtxt|Coleman|1990}} はマーニンの証明のギャップを見つけ修正した。

==実効性==
ファルティングスの定理は計算可能性を備えていない（[[数論の有効な結果|有効でない]]）。ファルティングスの定理の証明に用いられる議論からは、[[ヤコビ多様体]]の構造を用いて、有理点の個数に対して、具体的な上からの評価を求めることはできるが、有理点の大きさの上界が得られるわけではない。そのため、この定理を使って有理点をすべて求めることはできない。
モーデル予想の解決に先立って、{{harvs|txt|last=Chabauty|year1=1941a|year2=1941b}}はヤコビ多様体の階数が小さいときに、有理点の個数の上界を求める方法を開発し、{{harvtxt|Coleman|1985}}は実際にいくつかの場合に具体的な上界を得ている。
たとえば ''p'' が 2''g'' より大きい素数で C が ''p'' を法として良い還元をもつとすると、有理点の個数は高々
:<math>\# C(\mathbb{F}_p) +2g-2</math>
となる（上記論文Corollary 4aおよび{{harvtxt|McCallum|Poonen|2012|loc=Theorem 5.3(b)}}）。ここで <math>\# C(\mathbb{F}_p)</math> は C を、''p'' を法として還元したときの点の個数である。さらに場合によってはこれらの方法を使って有理点をすべて決定することができる。たとえば
:<math>y^2=x(x-1)(x-2)(x-5)(x-6)</math>
の有理点は (''x'', ''y'') = (0, 0), (1, 0), (2, 0), (5, 0), (6, 0), (3, ±6), (10, ±120) のみであることが{{harvtxt|Grant|1994}}により示されている。また、平川義之輔と松村英樹（{{harvtxt|Hirakawa|Matsumura|2018}}）はこの方法を使って辺の長さが整数となる[[直角三角形]]と[[二等辺三角形]]の組で、[[周長]]と[[面積]]が共に一致するものは（[[相似]]を除いては）、3辺の長さがそれぞれ (377, 135, 352) と (366, 366, 132) であるものしか存在しないことを示している。

==脚注==
<references/>

==参考文献==
* {{cite journal | last=Bombieri | first=Enrico|authorlink= |coauthors= | year=1990|title=The Mordell conjecture revisited| journal=Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.|volume=17| issue=4| pages=615&ndash;640 | ref=harv}}
* {{cite journal | first=C. | last=Chabauty | title=Sur les points rationels des courbes algébriques de genre supérieur à unité | journal=C. R. Acad. Sei. Paris | volume=212 | year=1941a | pages=882&ndash;884 | ref=harv}}
* {{cite journal | first=C. | last=Chabauty | title=Sur les points rationels des variétés algebriques dont l’irregularité est supérieur à la dimension | journal=C. R. Acad. Sci. Paris | volume=212 | year=1941b | pages=1022&ndash;1024 | ref=harv}}
*{{Cite journal | last1=Coleman | first1=Robert F. | title=Manin's proof of the Mordell conjecture over function fields | url=http://retro.seals.ch/digbib/view?rid=ensmat-001:1990:36::560&id=&id2=&id3= | year=1990 | journal=L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série | issn=0013-8584 | volume=36 | issue=3 | pages=393–427 | ref=harv | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}} | mr=1096426}}
* {{cite journal | first=Robert F. | last=Coleman | title=Effective Chabauty | journal=Duke Math. J. | volume=52 | year=1985 | pages=765&ndash;770 | mr=808103 | doi=10.1215/S0012-7094-85-05240-8 | ref=harv}}
*{{cite book |title=Arithmetic geometry |last=Cornell |first=Gary |authorlink= |author2=Silverman, Joseph H.  |year=1986 |publisher=Springer |location= New York |isbn=0-387-96311-1 |pages= }} → Contains an English translation of Faltings (1983)
*{{cite journal |last=Faltings |first=Gerd |authorlink= |coauthors= |year=1983 |title=Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern |journal=Inventiones Mathematicae |volume=73 |issue=3 |pages=349&ndash;366 |doi=10.1007/BF01388432 |url= |accessdate= |quote= |ref=harv }}
* {{cite journal | first=David | last=Grant | title=A curve for which Coleman's effective Chabauty bound is sharp | journal=Proc. Amer. Math. Soc. | volume=122 | year=1994 | pages=317&ndash;319 | doi=10.1090/S0002-9939-1994-1242084-4 | ref=harv}}
*{{Cite journal | last1=Grauert | first1=Hans | title=Mordells Vermutung über rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1965__25__131_0 | year=1965 | journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | issn=1618-1913 | issue=25 | pages=131–149 | ref=harv | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}} | mr=0222087}}
* {{cite book | title=Diophantine geometry | first=Marc | last=Hindry |author2=Silverman, Joseph H.  | series= [[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=201 | publisher=Springer-Verlag | year=2000 | isbn=0-387-98981-1 }}  → Gives Vojta's proof of Falting's Theorem.
*{{Cite journal | last1=Hirakawa | first1=Yoshinosuke | last2=Matsumura | first2=Hideki | title=A unique pair of triangles | year=2018 | doi=10.1016/j.jnt.2018.07.007 | journal=Journal of Number Theory | issn=0022-314X | volume=194 | pages=297-302 | ref=harv | mr=3860476 }}
* {{cite book | author=S. Lang | authorlink=Serge Lang | title=Survey of Diophantine geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1997 | isbn=3-540-61223-8 | pages=101–122 }}
*{{Cite journal | last1=Manin | first1=Ju. I. | title=Rational points on algebraic curves over function fields | url=http://mi.mathnet.ru/eng/izv3174 | year=1963 | journal=Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya | issn=0373-2436 | volume=27 | pages=1395–1440 | ref=harv | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}} | mr=0157971}}
*{{Cite book | last1=McCallum | first1=William | last2=Poonen | first2=Bjorn | chapter=The method of Chabauty and Coleman | url=http://www-math.mit.edu/~poonen/papers/chabauty.pdf | year=2012 | title=Explicit methods in Number Theory; rational points and diophantine equations, Panoramas et Synthèses 36 | isbn=978-2-85629-359-1 | pages=99-117 | Société Mathématique de France | place=Paris | ref=harv | mr=3098132 }}
*{{cite journal |last1=McQuillan |first1=Michael |title=Division points on semi-abelian varieties |journal=Invent. Math. |date=1995 |volume=120 |issue=1 |pages=143–159 |doi=10.1007/BF01241125|bibcode=1995InMat.120..143M |s2cid=120053132 }}
*{{Cite journal | last1=Mordell | first1=Louis J. | author1-link=Louis Mordell | title= On the rational solutions of the indeterminate equation of the third and fourth degrees | year=1922 | journal=Proc. Cambridge Philos. Soc. | volume=21 | pages=179–192 | ref=harv | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->}}
*{{Cite book | last1=Paršin | first1=A. N. | title=Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 1 | publisher=Gauthier-Villars | year=1971 | chapter=Quelques conjectures de finitude en géométrie diophantienne | pages=467–471 | ref=harv | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->}}
*{{SpringerEOM|title=Mordell conjecture|last=Parshin|first=A. N. |urlname=Mordell_conjecture}}

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