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'''ファン・デル・ヴェルデン表示'''（ファン・デル・ヴェルデンひょうじ、{{lang-en-short|Van der Waerden notation}}）とは[[理論物理学]]において4次元における2成分[[スピノル]]（[[ワイル・スピノル]]）の表記法<ref>{{cite journal
|title=Spinoranalyse
|last=Van der Waerden
|first=B.L.
|journal=Nachr. Ges. Wiss. Göttingen Math. Phys.
|volume=1929
|year=1929
|pages=100–109
}}</ref><ref>{{cite journal
|title=Geometry of two-component Spinors
|author=Veblen O.
|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. USA
|volume=19
|year=1933
|pages=462–474
|doi=10.1073/pnas.19.4.462
|bibcode = 1933PNAS...19..462V
}}</ref>。[[ツイスター理論]]や[[超対称性理論]]においては標準的な記法となっている。オランダの数学者[[ファン・デル・ヴェルデン]]に由来する。

==添字の点==
以下では[[ガンマ行列#カイラル表現|カイラル表現（ワイル表現）]]により、[[ディラック・スピノル]] {{mvar|&psi;}} は左右の[[カイラリティ]]が上下の2成分で分かれているとする。すなわち
:<math>\psi = \psi_{\rm L} + \psi_{\rm R} = \begin{pmatrix}
\xi \\ 0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 \\ \bar{\eta} \\
\end{pmatrix}</math>,
ここで {{math|''&xi;'', ''{{overbar|&eta;}}''}} はそれぞれ2成分スピノル（ワイル・スピノル）。

===点なし添字===
下付の点なし（ドットなし, {{En|undotted}}）添字をもつスピノルは[[カイラリティ]]左巻きであり、カイラル・スピノルとも呼ばれる。
:<math>\psi_{\rm L} = \begin{pmatrix}
\xi_\alpha \\ 0
\end{pmatrix}</math>.{{efn|name=fn1
|ここで {{math|''&xi;{{sub|&alpha;}}'', {{overline|''&eta;''}}{{sup|{{dot|''&alpha;''}}}}}} はそれぞれの成分'''ではなく'''、成分の集合 {{math|(''&xi;''{{sub|1}} ''&xi;''{{sub|2}}){{sup|T}}, ({{overline|''&eta;''}}{{sup|{{dot|1}}}} {{overline|''&eta;''}}{{sup|{{dot|2}}}}){{sup|T}}}} であることに注意。{{Sfn|佐古|2007|page=25}}}}

===点付き添字===
上付きの点付き（ドット付き, {{En|dotted}}）添字と記号の上{{efn|添字の上にではない}}に[[オーバーライン|上線（バー）]]をもつスピノルは右巻きであり、反カイラル・スピノルとも呼ばれる。
:<math>\psi_{\rm R} = \begin{pmatrix}
0 \\ \bar{\eta}^{\dot\alpha}
\end{pmatrix}</math>.{{efn|name=fn1}}
添え字を欠く記法においても、曖昧さを無くすため右巻きワイル・スピノルには上線が残される。

==ハット付き添字==
[[サーカムフレックス|ハット]]が付く添字はディラック添字と呼ばれ、点付きと点なし添字をまとめたものである。例えば、もしそれぞれの添字が
:<math> \alpha = 1,2,\,\, \dot{\alpha} = \dot{1},\dot{2}</math>
を動くのなら、カイラル表現の下でディラック・スピノル {{mvar|&psi;}} は次のように表示される:
:<math>\psi_\hat{\alpha} = \begin{pmatrix}
\xi_\alpha \\ \bar{\eta}^{\dot\alpha} \\
\end{pmatrix}</math>,
ここで
:<math> \hat{\alpha} = (\alpha, \dot{\alpha}) = 1,2, \dot{1},\dot{2}</math>.

また {{mvar|&psi;}} の[[ディラック共役]] {{math|{{overline|''&psi;''}} {{=}} ''&psi;''{{sup|&dagger;}}''&gamma;''{{sup|0}}}} はこのとき
:<math>\psi^\hat{\alpha} = 
\begin{pmatrix}
\eta^{\alpha} & \bar{\xi}_{\dot{\alpha}}
\end{pmatrix}</math>
と表記される。すなわち {{math|''&eta;{{sup|&alpha;}}'' {{=}} ({{overline|''&eta;''}}{{sup|{{dot|''&alpha;''}}}}){{sup|&lowast;}}, {{overline|''&xi;''}}{{sub|{{dot|''&alpha;''}}}} {{=}} (''&xi;{{sub|&alpha;}}''){{sup|&lowast;}}}}{{Efn|ここでは成分同士の等式となっている。}}、上線と添字の点が[[複素共役]]を意味することが分かる。

==荷電共役==
スピノルの[[荷電共役変換]]（{{math|C}} 変換）は次のように表される:
:<math>\psi\; \overset{\rm C}{\longrightarrow}\;
\psi^{\rm C} = C \overline{\psi}^{\rm T}</math>,
ここで {{mvar|C}} は荷電共役行列であり、カイラル表現においては
:<math>C = i \gamma^2 \gamma^0 = \begin{pmatrix}
\varepsilon & 0 \\
0 & -\varepsilon
\end{pmatrix}</math>
である。ただし
:<math>\varepsilon = i\sigma_2 = \begin{pmatrix}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} \\
\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}</math>,
ここで {{math|''&epsilon;{{sub|ij}}''}} は2階の[[エディントンのイプシロン|完全反対称テンソル]]である。

よって
:<math>\psi = \begin{pmatrix}
\xi_\alpha \\
\bar{\eta}^{\dot\alpha}
\end{pmatrix} \; \overset{\rm C}{\longrightarrow}\;
\psi^{\rm C}
 = C \begin{pmatrix}
\eta^{\alpha} \\
\bar{\xi}_{\dot{\alpha}}
\end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix}
\varepsilon_{\alpha\beta} \eta^{\beta} \\
\varepsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}} \bar{\xi}_{\dot{\beta}}
\end{pmatrix}</math>,
ここで {{math|''&epsilon;''{{sup|{{dot|''&alpha;''}}{{dot|''&beta;''}}}}}} は[[クロネッカーのデルタ]] {{mvar|&delta;}} を用いた {{math|''&epsilon;{{sub|&alpha;&beta;}} &epsilon;{{sup|&beta;&gamma;}}'' {{=}} ''&delta;{{sub|&alpha;}}{{sup|&gamma;}}''}} によって定義され、{{math|''&epsilon;{{sub|ij}}'' {{=}} &minus;''&epsilon;{{sup|ij}}}}'' を満たす。{{Efn|これらの表記を用いると、荷電共役行列 {{mvar|C}} は次のように表される:{{Sfn|佐古|2007|page=26}}
:<math>C = \begin{pmatrix}
\varepsilon_{\alpha\beta} & 0 \\
0 & \varepsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}}
\end{pmatrix}</math>.
}}

これまでの整合性から
:<math>(\psi_{\rm L})^{\rm C} = \begin{pmatrix}
0 \\ \bar{\xi}^{\dot\alpha}
\end{pmatrix}, \quad
(\psi_{\rm R})^{\rm C} = \begin{pmatrix}
\eta_\alpha \\ 0
\end{pmatrix}
</math>
とすると、
:<math>\begin{pmatrix}
\eta_\alpha \\
\bar{\xi}^{\dot\alpha}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\varepsilon_{\alpha\beta} \eta^{\beta} \\
\varepsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}} \bar{\xi}_{\dot{\beta}}
\end{pmatrix}</math>.
すなわち {{math|''&eta;{{sub|&alpha;}}'', {{overline|''&xi;''}}{{sup|{{dot|''&alpha;''}}}}}} の添字の上げ下げには、2階の完全反対称テンソル {{math|''&epsilon;{{sub|&alpha;&beta;}}''}} が用いられることが分かる。<ref>
{{Cite journal|和書
| author    = 林 青司
| year      = 2012
| month     = 6
| title     = CP対称性の破れ ～ 小林・益川模型から深める素粒子物理 ～
| journal   = 臨時別冊・数理科学
| volume    = 91
| issue     = 
| pages     = 40-41
| publisher = サイエンス社
| jan       = 4910054700626
}}</ref>{{Sfn|林|2015|pages=70-71}}

==注釈==
<references group="注釈" />

==出典==
<references /> 

==参考文献==
* {{Wayback
| url   = https://terpconnect.umd.edu/~wdlinch3/MyNotes/07.04.30.14.30.RTGSpin.pdf
| date  = 20160920000629
| title = Spinors in physics
}}
* {{citation
|author= P. Labelle
|title=Supersymmetry
|year = 2010
|publisher = Demystified series, McGraw-Hill (USA)
|isbn=978-0-07-163641-4
}}
* {{citation
|last1 = Hurley
|first1=D.J.
|last2 = Vandyck
|first2=M.A.
|title=Geometry, Spinors and Applications
|year = 2000
|publisher = Springer
|isbn=1-85233-223-9
}}
* {{citation
|last1 = Penrose
|first1=R.
|last2 = Rindler
|first2=W.
|title=Spinors and Space–Time
|year = 1984
|publisher = Cambridge University Press
|volume=Vol. 1
|isbn=0-521-24527-3
|pages=107-
}} - {{fontsize|90%|ただし印刷上の理由により、[[ドット符号|点]] &middot; の代わりに[[プライム]] &prime; を用いている。}}
* {{citation
|last1 = Budinich
|first1=P.
|last2 = Trautman
|first2=A.
|title=The Spinorial Chessboard
|year = 1988
|publisher = Springer-Verlag
|isbn=0-387-19078-3
}}
* {{Cite book|和書
| author    = 九後 汰一郎
| authorlink= 九後汰一郎
| title     = ゲージ場の量子論〈1〉
| series    = 新物理学シリーズ 
| year      = 1989
| publisher = 培風館
| isbn      = 978-4563024239
| pages     = 8-29
| ref       = {{SfnRef|九後|1989}}
}}
* {{Cite book|和書
| last1     = ヴェス
| first1    = J.
| authorlink1= ユリウス・ヴェス
| last2     = バガー
| first2    = J.
| translator= 志摩 一成
| title     = 超対称性と超重力
| origyear  = 1992
| year      = 2011
| publisher = 丸善出版
| isbn      = 978-4621084465
| page      = 219
| chapter   = 付録A. 表記法とスピノル代数
}}
* {{Cite book|和書
| author    = 佐古 彰史
| title     = 超対称ゲージ理論と幾何学
| year      = 2007
| publisher = 日本評論社
| isbn      = 978-4535784680
| ref       = {{SfnRef|佐古|2007}}
}}
* {{Cite book|和書
| author    = 林 青司
| title     = 素粒子の標準模型を超えて
| series    = 現代理論物理学シリーズ
| year      = 2015
| publisher = 丸善出版
| isbn      = 978-4621065099
| pages     = 68-74
| chapter   = 3.1 スピノールの2成分表示とスピノールのタイプ
| ref       = {{SfnRef|林|2015}}
}}

==関連項目==
* [[ディラック方程式]]
* {{仮リンク|インフェルト-ファン・デル・ヴェルデン記号|en|Van der Waerden notation }}
* [[ローレンツ変換]]
* [[パウリ方程式]]
* {{仮リンク|リッチ計算法|en|Ricci calculus}}

{{tensors}}

{{DEFAULTSORT:ふあんてるうえるてんひようし}}
[[Category:場の量子論]]
[[Category:スピノル]]
[[Category:数学の表記法]]
[[Category:物理学のエポニム]]
[[Category:数学のエポニム]]