ファン・ホーベ特異点のソースを表示

[[Image:NewvanHove.png|thumb|right|3次元固体での状態密度g(E) vs エネルギーのシミュレーション図。ファン・ホーベ特異点はdg(E)/dEが発散する点で起こる。]]
'''ファン・ホーベ特異点'''とは[[結晶]]の[[状態密度]]（DOS）でみられる[[特異点]]（滑らかでない点）のこと。

ファン・ホーベ特異点が生じる[[波数ベクトル]]は、[[ブリルアンゾーン]]の[[臨界点]]と呼ばれる。
3次元結晶の場合、ファン・ホーベ特異点はキンクとなり、そこでは状態密度が[[微分可能]]でなくなる。
ファン・ホーベ特異点の最も一般的な応用は、[[光吸収スペクトル]]の解析である。

ファン・ホーベ特異点は、1953年にベルギーの物理学者[[レオン・ファン・ホーベ]]が[[フォノン]]の状態密度について最初に取り扱った。
<ref>L. Van Hove, [https://doi.org/10.1103/PhysRev.89.1189 "The Occurrence of Singularities in the Elastic Frequency Distribution of a Crystal,"] Phys. Rev. 89, 1189–1193 (1953).</ref>

== 理論 ==
''N''粒子サイトからなる1次元格子を考える。
各粒子サイト間の距離は''a''で、全長はL = ''Na''とする。
ここで、この1次元の箱の中に定在波があると仮定するのではなく、周期的境界条件を用いるのが便利である。
<ref>See equation 2.9 in http://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/BandMT_02.pdf From <math>\phi(x+L)=\phi(x)</math> we have <math>kL=2n\pi</math></ref>

:<math>k=\frac{2\pi}{\lambda}=n\frac{2\pi}{L}</math>

ここで<math>\lambda</math>は波長、''n''は整数である。
正の整数は前進する波、負の整数は後進する波を表す。

この格子中の波動の波長は最短で''2a''であり、このとき最大の波数<math>k_{max}=\pi/a</math>となり、|n|は最大値<math>n_{max}=L/2a</math>となる。
状態密度''g(k)dk''を、波数ベクトルが''k''から''k+dk''である定在波の数として定義する。
<ref>*M. A. Parker(1997-2004)[http://www.ece.rutgers.edu/~maparker/classes/582-Chapters/Ch07-Sol-State-Carriers/Ch07S16DensityStates.pdf "Introduction to Density of States" ''Marcel-Dekker Publishing''] p.7.   {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20060908092239/http://www.ece.rutgers.edu/~maparker/classes/582-Chapters/Ch07-Sol-State-Carriers/Ch07S16DensityStates.pdf |date=September 8, 2006 }}</ref>

:<math>g(k)dk = dn  =\frac{L}{2\pi}\,dk</math>

3次元に拡張すると、[[箱の中の粒子|箱]]の中の状態密度は、

:<math>g(\vec{k})d^3k = d^3n  =\frac{L^3}{(2\pi)^3}\,d^3k</math>

ここで<math>d^3k</math>は''k''空間での体積要素である。
また電子では2つ[[スピン角運動量|スピン]]の方向を考慮して、因子２を掛ける必要がある。
[[連鎖律]]により、エネルギー空間でのDOSは次のように表せる。

:<math>dE = 
\frac{\partial E}{\partial k_x}dk_x +
\frac{\partial E}{\partial k_y}dk_y +
\frac{\partial E}{\partial k_z}dk_z =
\vec{\nabla}E \cdot d\vec{k}</math>

ここで<math>\vec{\nabla}</math>はk空間での勾配である。

''k''空間での位置の組（粒子エネルギー''E''に対応）は''k''空間で面を作り、''E''の勾配はこの面の全ての点と直交するベクトルである。
<ref>*{{cite book | first = John | last = Ziman | authorlink = John Ziman | year = 1972 | title = Principles of the Theory of Solids | publisher = Cambridge University Press  | id = ISBN B0000EG9UB }}</ref> 
このエネルギー''E''についての関数である状態密度は、

:<math>g(E)dE = \iint_{\partial E}g(\vec{k})\,d^3k = \frac{L^3}{(2\pi)^3}\iint_{\partial E}dk_x\,dk_y\,dk_z</math>

ここで積分は定数''E''の面<math>\partial E</math>にわたり行う。

<math>k'_z\,</math>が面に直交し、''E''の勾配に平行となるような新しい座標系<math>k'_x,k'_y,k'_z\,</math>を選ぶことができる。
この座標系が元の座標系の回転であれば、k'空間の体積要素は、

:<math>dk'_x\,dk'_y\,dk'_z = dk_x\,dk_y\,dk_z</math>

''dE''は次のように書ける。

:<math>dE=|\vec{\nabla}E|\,dk'_z</math>

''g(E)''の式に代入すると、

:<math>g(E)=\frac{L^3}{(2\pi)^3}\iint\frac{dk'_x\,dk'_y}{|\vec{\nabla}E|}</math>

ここで<math>dk'_x\,dk'_y</math>項は、定''E''面の面積要素である。
<math>g(E)</math>の式は、[[分散関係]]<math>E(\vec{k})</math>が極値となる<math>k</math>点でDOSの被積分関数が発散することを意味している。
ファン・ホーベ特異点はこれらの<math>k</math>点でのDOS関数で起こる性質である。

詳細な解析<ref>*{{cite book | last=Bassani | first=F. |author2=Pastori Parravicini, G. | title=Electronic States and Optical Transitions in Solids | publisher=Pergamon Press | year=1975 | isbn=0-08-016846-9}} This book contains an extensive discussion of the types of Van Hove singularities in different dimensions and illustrates the concepts with detailed theoretical-versus-experimental comparisons for [[germanium|Ge]] and [[graphite]].</ref>によると、3次元空間ではバンド構造が[[極大]]か、[[極小]]か、または[[鞍点]]かに依存して4種類のファン・ホーベ特異点がある。
3次元ではDOSの微分が発散してもDOS自身は発散しない。
関数g(E)は平方根特異性（図を参照）をもつ傾向にある。
[[自由電子]]の[[フェルミ面]]では、

:<math>E = \hbar^2 k^2/2m</math>
:<math>|\vec{\nabla}E| = \hbar^2 k/m = \hbar \sqrt{ \frac{2E}{m}}</math>.

2次元でのDOSは鞍点で対数的に発散し、1次元でのDOSは<math>\vec{\nabla}E</math>がゼロとなるところで無限となる。

== 測定 ==
固体の光吸収スペクトルは、[[バンド構造]]から[[フェルミの黄金律]]を用いて計算される。
そこで評価される[[行列要素]]は[[双極子演算子]]<math>\vec{A} \cdot \vec{p}</math>である。
ここで<math>\vec{A}</math>は[[ベクトルポテンシャル]]、<math>\vec{p}</math>は[[運動量演算子]]である。

フェルミの黄金律で現れる状態密度は'''結合状態密度'''（JDOS）で、与えられた光子エネルギーで分離される伝導帯と価電子帯での電子状態の数である。
光吸収は、双極子演算子の行列要素（[[振動子強度]]）とJDOSの積によるものである。

2次元と1次元でのDOSの発散は数学的に予想されており、容易に観測できる。
[[グラファイト]]（擬２次元）や[[Bechgaard塩]]（擬1次元）のような異方性固体では、ファン・ホーベ特異点によるスペクトルの異常がみられる。
ファン・ホーベ特異点は擬1次元系である単層カーボンナノチューブ（SWNT）の光強度で重要となる。
[[グラフェン]]のディラック点はファン・ホーベ特異点であり、グラフェンが電気的中性のときの電気抵抗のピークとして観測される。
ねじれたグラフェン層も、層間のカップリングによる状態密度のファン・ホーベ特異点を示す<ref>I. Brihuega et al., Physical Review Letters 109, 196802 (2012).</ref>。

== 参考文献==
<references/>

{{デフォルトソート:ふあんほへとくいてん}}
[[Category:物性物理学]]