フィックの法則のソースを表示

{{混同|フックの法則}}
{{出典の明記|date=2011年5月}}
'''フィックの法則'''（フィックのほうそく、{{Lang-en-short|Fick's laws of diffusion}}）とは、物質の[[拡散]]に関する基本[[法則]]である。[[気体]]、[[液体]]、[[固体]]（[[金属]]）どの拡散にも適用できる。フィックの法則には、第1法則と第2法則がある。

この法則は、[[1855年]]に[[アドルフ・オイゲン・フィック]]によって発表された。フィックは拡散現象を、[[熱伝導]]に関するフーリエ (1822) の理論と同じように考えることができるとしてこの法則を与えた<ref name="koiwanakajima">{{cite|和書 |author=[[小岩昌宏]] |author2=[[中嶋英雄]] |title=材料における拡散 |publisher=内田老鶴圃 |year=2009 |isbn=978-4-7536-5637-0 |page=1}}</ref>。

== フィックの第1法則 ==
第1法則は、[[定常状態]]拡散、すなわち、拡散による[[濃度]]が[[時間]]に関して変わらない時に使われる、「拡散流束は濃度勾配に比例する」という法則である。工業的に定常状態拡散は[[水素]]ガスの純化に見られる。数式で表すと、
:<math>\boldsymbol{J} = -D\operatorname{grad}c</math>
あるいは1次元なら、
:<math>J = -D\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}</math>
となる。ここで、記号の意味は以下である：
* ''J'' は'''拡散束'''または'''[[流束]]''' ({{lang|en|flux}})といい、単位時間当たりに単位面積を通過する、ある性質の量と定義される。質量が通過する場合には次元は[ML<sup>-2</sup>T<sup>-1</sup>]で与えられる。
* ''D'' は'''拡散係数''' ({{lang|en|diffusion coefficient}})といい、次元は[L<sup>2</sup>T<sup>-1</sup>]
* ''c'' は[[濃度]]で、次元は[ML<sup>-3</sup>]
* ''x'' は位置で、次元は[L]
=== 導出 ===
[[ファイル:Fick's first law.png|thumb|250px|<br />任意の位置''x'' における拡散流束''J'' は濃度勾配に比例する]]
1次元で説明する。区間<math> [x,x+a]</math> の間にある粒子数を<math> N(x)</math> とおく。粒子はそれぞれ独立に運動していて、時間<math> \tau </math> 後に左か右に確率<math> 1/2</math> で距離<math> a</math> 移動すると仮定する。区間<math> [x,x+a]</math> を右に通過する粒子数は
:<math>  -\frac{1}{2} ( N(x+a) - N(x) ) </math>
となるから、流束<math> J</math> は微小な<math> a, \tau </math> に対して
:<math>  J= -\frac{1}{2\tau} ( N(x+a) - N(x) )
 = -\frac{1}{2\tau} \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}x} a </math>
となる。濃度<math> c = N/a </math> で書き換えると
:<math>J = -D \frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}</math>
ここで、
:<math> D = \frac{a^2}{2\tau}</math>
である。<math> D </math> を定数としていることは、平均自由時間<math> \tau </math> よりも長時間の時間スケールで運動を見ているということ（粗視化）を意味する。

== フィックの第2法則 ==
第2法則は、[[非定常状態]]拡散、すなわち、拡散における濃度が時間に関して変わる時に使われる。実際の拡散の状態は、非定常状態がほとんどである。拡散係数''D'' が定数のとき、濃度''c'' の時間変化は次の[[拡散方程式]]で表される：
:<math>\frac{\partial c}{\partial t} = -\operatorname{div}\boldsymbol{J} = D\nabla^2 c</math>
これは広義の[[連続の式]]と等価である。あるいは1次元なら、
:<math>\frac{\partial c}{\partial t} = D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}</math>
記号は第1法則と同様である。
=== 導出 ===
[[ファイル:Fick's second law.png|thumb|250px|'''フィックの第2法則導出模式図'''<br />位置と濃度の時間変化が、それぞれd''x'' とd''c'' である]]
第2法則は、第1法則から導く。第1法則で導いたのと同じように、単位面積の断面を持つパイプ状の物体を想定する。''x'' と''x'' + d''x'' にはさまれた体積d''x'' の部分の濃度を''c''とすると、その中の溶質の量は''c''d''x''と書ける。この時間的変化 &part;''c''/&part;''t'' d''x''を考える。<!--任意の位置''x'' での濃度を''c'' 、''x'' + d''x'' での濃度を''c'' + d''c'' とする。また、d''x'' 部分の濃度の時間変化は、第1法則と同様に次のようにする。
:<math>\frac{\partial c}{\partial t} > 0
</math>-->
この時、''x'' + d''x'' の境界を通して注目している領域に流れ込む溶質の量は''J''(''x'' + d''x'')、この領域から''x'' の境界を通して流れ出る溶質の量は''J''(''x'') である。これより、<!--d''x'' 部分の濃度の時間変化は負の方向に拡散するので、これを考慮して以下の式になる。-->
:<math>\frac{\partial c}{\partial t} \mathrm{d}x = J(x) - J(x + \mathrm{d}x)</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;・・・(1)
ここで第1法則より
:<math>J(x) = -D\left( \frac{\partial c(x,t)}{\partial x} \right),</math>
:<math>J(x+\mathrm{d}x) = J(x)+\frac{\partial J(x)}{\partial x} \mathrm{d}x = -D\left( \frac{\partial c(x,t)}{\partial x} \right)_x - \frac{\partial}{\partial x}\left( D\frac{\partial c(x,t)}{\partial x} \right)_x \mathrm{d}x</math>
であるから、これらを式(1)に代入してフィックの第2法則が導き出される。
* ''D'' が定数の場合は、
::<math>\frac{\partial c}{\partial t} = D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}</math>
: となり、比較的容易に解くことができる。初期条件および境界条件によって、いくつかの解がある。
* ''D'' が定数でない場合は、
::<math>\frac{\partial c}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left( D\frac{\partial c}{\partial x} \right) = \frac{\partial D}{\partial x}\frac{\partial c}{\partial x} + D\frac{\partial^2 c}{\partial x^2}</math>
: となる。''D'' の関数形にもよるが、解くのは困難になる。

== 一般の場合 ==
上記では拡散係数''D'' は[[等方的]]な定数であるとしたが、より一般には、方向に依存し、濃度勾配と流束が平行であるとは限らない。この場合、''D'' は2階の[[テンソル量]]となる<ref name="koiwanakajima"/>。

== 拡散係数 ==
{| class="sortable wikitable"
|+ 具体的な物質における拡散係数の例<ref>{{cite|和書 |author=谷口尚司 |author2=八木順一郎 |title=材料工学のための移動現象論 |publisher=東北大学出版会 |year=2001 |isbn=4-925085-44-1 |page=9}}</ref><ref name=hayashi>{{cite|和書 |author=林茂雄 |title=移動現象論入門 |publisher=東洋書店 |year=2007 |pages=262, 280 |isbn=978-4-88595-691-1}}</ref>
! 物質1 !! 物質2 !! 拡散係数（m<sup>2</sup>/s）!!備考
|-
| O<sub>2</sub> || N<sub>2</sub> ||1.74{{e-|5}}||0{{℃}}
|-
|  CO<sub>2</sub>||水 ||1.70{{e-|9}}||20{{℃}}
|-
| [[水銀]] || [[カドミウム|Cd]] ||1.53{{e-|9}}||20{{℃}}
|-
| [[エタノール]] || 水 ||1.13{{e-|9}}||27{{℃}}、1気圧、''x'' <sub>C<sub>2</sub>H<sub>6</sub>O</sub> = 0.05
|-
| エタノール || 水 ||0.90{{e-|9}}|| 27{{℃}}、1気圧、''x'' <sub>C<sub>2</sub>H<sub>6</sub>O</sub> = 0.5
|-
| エタノール || 水 ||2.20{{e-|9}}|| 27{{℃}}、1気圧、''x'' <sub>C<sub>2</sub>H<sub>6</sub>O</sub> = 0.95
|-
| [[ショ糖]] ||水||5.22{{e-|10}}||27{{℃}}、1気圧
|-
| 金属 || || 10<sup>-12</sup> || 融点直下、<ref name=komai>{{cite|editor=駒井謙治郎|title=機械材料学|publisher=日本材料学会|edition=9|year=1999|和書|page=51}}</ref>
|}

=== アインシュタイン・ストークスの式 ===
ガス分子などの[[分子拡散]]の場合、拡散現象は[[ブラウン運動]]による説明ができ、拡散係数''D'' は次式で与えられる<ref>{{cite|和書 |editor=日本エアロゾル学会 |author=高橋幹二 |title=エアロゾル学の基礎 |publisher=森北出版 |year=2003 |isbn=4-627-67251-9 |page=46}}</ref>。この式をアインシュタイン・ストークスの式（[[:en:Stokes-Einstein equation|Stokes-Einstein equation]]）という<ref name=hayashi/>。
: <math>D = kTB = \frac{kT}{6\pi\eta a}</math>
* ''k'' ：[[ボルツマン定数]]
* ''T'' ：温度
* ''B'' ：[[移動度]]
* η：粘性率
* ''a'' ：分子半径

=== 金属 ===
金属などでは、拡散係数''D'' の温度依存性は次のように表される<ref name=komai/>。
:<math>D=D_0\exp\left(-\frac{Q}{RT}\right)</math>
ここで''D''<sub>0</sub> は振動数因子、''Q'' は拡散の[[活性化エネルギー]]と呼ばれる。''R'' は[[気体定数]]である。

== 無次元数 ==
[[流体力学]]でよく用いられる[[無次元量]]のなかで、物質の拡散に関係するものには以下がある：
* [[シュミット数]] - [[動粘性係数]]と拡散係数''D'' の比
* [[ルイス数]] - [[熱拡散率]]と拡散係数''D'' の比
* [[ペクレ数]] - 本来は[[慣性]]と[[熱拡散率]]の比だが、アナロジーとして[[慣性]]と拡散係数''D'' の比をとることがある。

== 参考文献 ==
{{Reflist}} 
== 関連項目 ==
* [[物理法則一覧]]
* [[俣野界面]]
* [[カーケンドール効果]]
* [[ダーケンの理論]]
* [[移動現象論]]
** [[熱伝導]] - 熱の拡散現象であり、濃度を温度と読み替えればフィックの法則と同様の[[フーリエの法則]]が成り立つ。
** [[電気伝導]]

{{Chem-stub}}
{{Physics-stub}}
{{麻酔}}
{{デフォルトソート:ふいつくのほうそく}}
[[Category:自然科学の法則]]
[[Category:物理化学]]
[[Category:拡散]]

[[de:Diffusion#Erstes Fick’sches Gesetz]]
[[uk:Коефіцієнт дифузії]]