フィッシャーの方程式のソースを表示

{{混同|フィッシャーの交換方程式|フィッシャー方程式}}
[[File:FKPPwiki.jpg|thumb|フィッシャー＝KPP方程式の数値シミュレーション。解''u''(''t'',''x'')は色で表現され、進行波の理論速度に対応する傾斜がドットで表現されている。]]

[[数学]]における'''フィッシャーの方程式'''（フィッシャーのほうていしき、{{Lang-en-short|Fisher's equation}}）あるいは'''フィッシャー＝コルモゴロフ方程式'''または'''フィッシャー＝KPP方程式'''として知られる方程式は、[[ロナルド・フィッシャー]]（および[[アンドレイ・コルモゴロフ]]）の名にちなむ、次の[[偏微分方程式]]のことを言う：

:<math> \frac{\partial u}{\partial t}=u(1-u)+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.\, </math>

フィッシャーはこの方程式を、[[対立遺伝子|優性アレル]]の空間伝播を表現するために提唱し、その進行波解を発見した<ref name="Fisher-1930-GTN">Fisher, R. A., ''The genetical theory of natural selection''. Oxford University Press, 1930. Oxford University Press, USA, New Ed edition, 2000, ISBN 978-0-19-850440-5, variorum edition, 1999, ISBN 0-19-850440-3</ref>。任意の波速度 ''c'' ≥ 2 に対し、フィッシャーの方程式には次の形式で記述される[[波|進行波]][[解]]が存在する：

:<math> u(x,t)=v(x \pm ct)\equiv v(z),\, </math>

ここで <math>\textstyle v</math> は増加函数であり、

:<math> \lim_{z\rightarrow-\infty}v\left(  z\right)  =0,\quad\lim_{z\rightarrow\infty }v\left(  z\right)  =1 </math>

が成立する。すなわち、この解は平衡状態 ''u'' = 0 からもう一つの平衡状態 ''u'' = 1 へと移るものである。但し、''c''&nbsp;<&nbsp;2 に対してはそのような解は存在しない<ref>{{Cite journal|url=https://hdl.handle.net/2440/15125 |title=The wave of advance of advantageous genes |author=Fisher, Ronald Aylmer |journal=Annals of eugenics |volume=7 |issue=4 |pages=355-369 |year=1937 |publisher=Wiley Online Library}}</ref><ref name="Kolmogorov-1937-SDE">A. Kolmogorov, I. Petrovskii, and N. Piscounov. A study of the diffusion equation with increase in the amount of substance, and its application to a biological problem. In V. M. Tikhomirov, editor, ''Selected Works of A. N. Kolmogorov I'', pages 248–270. Kluwer 1991, ISBN 90-277-2796-1. Translated by V. M. Volosov from Bull. Moscow Univ., Math. Mech. 1, 1–25, 1937</ref><ref name="Grindrod-1996-TAR">Peter Grindrod. ''The theory and applications of reaction-diffusion equations: Patterns and waves.'' Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. The Clarendon Press Oxford University Press, New York, second edition, 1996 ISBN 0-19-859676-6; ISBN 0-19-859692-8.</ref>。与えられた波速度に対し、その波形は一意に定まる。

特別な波速度 <math>c=\pm 5/\sqrt{6}</math> に対して、すべての解は閉形式

:<math> v(z) = \left( 1 + C \mathrm{exp}\left(\pm{z}/{\sqrt6}\right) \right)^{-2} </math>

で記述される<ref>{{Cite journal|title=Explicit solutions of Fisher's equation for a special wave speed |author=Ablowitz, Mark J and Zeppetella, Anthony |journal=Bulletin of Mathematical Biology |volume=41 |issue=6 |pages=835-840 |year=1979 |publisher=Springer |doi=10.1007/BF02462380 |url=https://doi.org/10.1007/BF02462380}}</ref>。ここで <math>C</math> は任意であり、上述の極限についての条件は <math>C>0</math> に対して成立する。

フィッシャーの方程式は、ことによると、半線型[[反応拡散方程式]]

:<math> \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u+F\left(  u\right) </math>

の最も簡単な例かも知れない。ここでその方程式は、<math> f(u) = 0</math> で与えられる平衡状態の間を移る進行波解を見せるものである。そのような方程式は、例えば、[[生態学]]、[[生理学]]、[[燃焼]]、[[結晶化]]、[[プラズマ物理]]、および一般的な[[相転移]]の問題において現れる。

進行波解の存在の証明や、それらの性質の解析は、しばしば[[位相空間法]]によって行われる。

== 参考文献 ==
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{{Reflist}}

== 関連項目 ==
*[[アレン＝カーン方程式]]

== 外部リンク ==
*[http://mathworld.wolfram.com/FishersEquation.html Fisher's equation] on [[MathWorld]].
*[http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde1101.pdf Fisher equation] on EqWorld.

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[[Category:微分方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]