フィッティングの補題のソースを表示

[[数学]]において、'''{{仮リンク|ハンス・フィッティング|en|Hans Fitting|label=フィッティング}}の[[補題]]''' (Fitting lemma) は、''M'' が[[直既約加群|直既約]][[環上の加群|加群]]で[[加群の長さ|長さ有限]]であれば ''M'' のすべての[[自己準同型]]は[[全単射]]であるかさもなくば[[冪零]]であるという[[代数学]]の定理である。この定理から ''M'' の[[自己準同型環]]は[[局所環]]であることが従う。

== 主張 ==
{{math|''M''}} が長さ {{math|''n''}} が有限の加群で {{math|''f''}} が {{math|''M''}} の自己準同型であるならば<ref>{{ouvrage|lang=en|titre=Module Theory: Endomorphism Rings and Direct Sum Decompositions in Some Classes of Modules|collection=Progress in Mathematics|numéro dans collection=167|prénom=Alberto|nom1=Facchini|lien éditeur=Birkhäuser Verlag|éditeur=Birkhäuser|année=1998|isbn=978-3-76435908-9|url=https://books.google.fr/books/about/Module_theory.html?id=h-zUeAsT3rUC&pg=PA47|passage=47}}</ref>
<div style="text-align: center;"><math>M=\ker(f^n)\oplus\mathrm{im}(f^n).</math></div>

== 証明 ==
{{math|''M''}} の長さについての仮定より
<div style="text-align: center;"><math>\ker(f^{n+1})=\ker(f^n)\quad\text{and}\quad\mathrm{im}(f^{n+1})=\mathrm{im}(f^n)</math></div>
が成り立つ。この等式のそれぞれから
<div style="text-align: center;"><math>\ker(f^n)\cap\mathrm{im}(f^n)=0\quad\text{and}\quad\ker(f^n)+\mathrm{im}(f^n)=M</math></div>
を得る。

== 結果 ==
* 補題の仮定のもと、{{math|''f''}} を {{math|ker(''f{{exp|n}}'')}} に制限したものは冪零自己準同型で、{{math|im(''f{{exp|n}}'')}} に制限したものは自己同型である<ref>{{ouvrage|lang=en|titre=Ring Theory|volume=1|collection=Pure and applied mathematics|numéro dans collection=127|prénom=Louis Halle|nom1=Rowen|éditeur=Academic Press|lien éditeur=Academic Press|année=1988|isbn=978-0-12599841-3|url=https://books.google.fr/books?id=bd-DTiAX7uMC&pg=PA239|passage=239}}</ref>。
* {{math|''M''}} がさらに直既約であれば、{{math|''f''}} は冪零であるかまたは可逆であり、環 {{math|End(''M'')}} は局所環である<ref>{{ouvrage|lang=en|titre=Introduction to Ring Theory|éditeur=Springer|lien éditeur=Springer Verlag|collection=Undergraduate Mathematics Series|lien auteur=Paul Cohn|prénom=Paul M.|nom1=Cohn|année=2000|isbn=978-1-85233206-8|url=https://books.google.fr/books?id=Haw6Q4XLsioC&pg=PA80|passage=80-81}}</ref>。
* この補題により直既約加群の直和である長さ有限の加群の分解の一意性に関する[[クルル・シュミットの定理]]を証明することができる。

== 脚注と参考文献 ==
{{reflist}}

* {{ouvrage|lang=en|titre=Lectures on Rings and Modules|lien éditeur=American Mathematical Society|éditeur=AMS Chelsea|nom1=[[Joachim Lambek]]|numéro d'édition=3|année=2009|isbn=978-0-82184900-2|url=https://books.google.fr/books?id=dQjEsZFyFXQC&pg=PA23|passage=23}}

* {{Planetmath reference|id=9878|title=Fitting's Lemma}}

{{DEFAULTSORT:ふいつていんくのほたい}}
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