フィボナッチ多項式のソースを表示

[[数学]]における'''フィボナッチ多項式'''（フィボナッチたこうしき、{{Lang-en-short|Fibonacci polynomials}}）とは、[[フィボナッチ数]]の一般化として見られるある[[多項式列]]のことを言う。同様に[[リュカ数]]の一般化として得られる多項式列のことは'''リュカ数'''（Lucas polynomials）と言う。

== 定義 ==

フィボナッチ[[多項式]]は、次の[[漸化式]]より得られる<ref name=BQ141>Benjamin & Quinn p. 141</ref>：

:<math>F_n(x)= \begin{cases}
0, & \mbox{if } n =  0\\
1, & \mbox{if } n =  1\\
x F_{n - 1}(x) + F_{n - 2}(x),& \mbox{if }  n \geq 2
\end{cases}</math>

初めのいくつかのフィボナッチ多項式を書くと、次のようになる：
:<math>F_0(x)=0 \,</math>
:<math>F_1(x)=1 \,</math>
:<math>F_2(x)=x \,</math>
:<math>F_3(x)=x^2+1 \,</math>
:<math>F_4(x)=x^3+2x \,</math>
:<math>F_5(x)=x^4+3x^2+1 \,</math>
:<math>F_6(x)=x^5+4x^3+3x \,</math>

リュカ多項式は、初めの値が異なるだけで、同様の漸化式より得られる<ref>Benjamin & Quinn p. 142</ref>：
<math>L_n(x) = \begin{cases}
2, & \mbox{if } n = 0 \\
x, & \mbox{if } n = 1 \\
x L_{n - 1}(x) + L_{n - 2}(x), & \mbox{if } n \geq 2.
\end{cases}</math>

初めのいくつかのリュカ多項式は次のようになる：
:<math>L_0(x)=2 \,</math>
:<math>L_1(x)=x \,</math>
:<math>L_2(x)=x^2+2 \,</math>
:<math>L_3(x)=x^3+3x \,</math>
:<math>L_4(x)=x^4+4x^2+2 \,</math>
:<math>L_5(x)=x^5+5x^3+5x \,</math>
:<math>L_6(x)=x^6+6x^4+9x^2 + 2. \,</math>

フィボナッチ数およびリュカ数は、それぞれの多項式において ''x''&nbsp;=&nbsp;1 とすることで得られる。[[ペル数]]は ''F''<sub>''n''</sub> に対し ''x''&nbsp;=&nbsp;2 とすることで得られる。''F''<sub>''n''</sub> の次数は ''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1 で、''L''<sub>''n''</sub> の次数は ''n'' である。これらの多項式列の[[母関数|通常母関数]]は次のようになる<ref>{{MathWorld | urlname=FibonacciPolynomial | title=Fibonacci Polynomial}}</ref>：

:<math> \sum_{n=0}^\infty F_n(x) t^n = \frac{t}{1-xt-t^2}</math>
:<math> \sum_{n=0}^\infty L_n(x) t^n = \frac{2-xt}{1-xt-t^2}.</math>

これらの多項式列は、[[リュカ数列]]を使うことで次のように表現することが出来る：
:<math>F_n(x) = U_n(x,-1),\,</math>
:<math>L_n(x) = V_n(x,-1).\,</math>

== 関係式 ==
{{main|リュカ数列}}

リュカ数列の特別な場合として、フィボナッチ多項式は以下に述べる多くの関係式を満たす。

初めに、負の添え字に対しては次の関係式が成り立つ<ref name=Springer>Springer</ref>：
:<math>F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),\,L_{-n}(x)=(-1)^nL_{n}(x).</math>

また、次の関係式が成り立つ<ref name=Springer/>：
:<math>F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_n(x)+F_m(x)F_{n-1}(x)\,</math>
:<math>L_{m+n}(x)=L_m(x)L_n(x)-(-1)^nL_{m-n}(x)\,</math>
:<math>F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)- F_n(x)^2=(-1)^n\,</math>
:<math>F_{2n}(x)=F_n(x)L_n(x).\,</math>

ビネットの公式と同様に、閉形式表現は次のようになる<ref name=Springer/>：
:<math>F_n(x)=\frac{\alpha(x)^n-\beta(x)^n}{\alpha(x)-\beta(x)},\,L_n(x)=\alpha(x)^n+\beta(x)^n.</math>
ただし 
:<math>\alpha(x)=\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2},\,\beta(x)=\frac{x-\sqrt{x^2+4}}{2}</math>
は次の（''t'' に関する）方程式の解である：
:<math>t^2-xt-1=0.\,</math>

== 組合せ論的解釈 ==

[[File:PascalTriangleFibanacci.svg|thumb|right|360px|フィボナッチ多項式の係数は、パスカルの三角形の「浅い」対角（赤線）を読むことで求められる。それら係数の和は、フィボナッチ数である。]]

''F<sub>n</sub>''(''x'') における ''x<sup>k</sup>'' の係数を ''F''(''n'',''k'') と表す。すなわち

:<math>F_n(x)=\sum_{k=0}^n F(n,k)x^k,\,</math>

とする。このとき ''F''(''n'',''k'') は、 2 × 1 の[[ドミノ]]とちょうど ''k'' 個の 1 × 1 の正方形を使って、''n''−1 × 1 の長方形を埋める方法の数に等しい<ref name=BQ141/>。また同値であるが、''F''(''n'',''k'') は、1 をちょうど k 回使って、1 と 2 のみからなる順序付の和で ''n''−1 を書く方法の数に等しい。例えば F(6,3)=4 であるが、これ 1 をちょうど 3 回使って、1 と 2 のみからなる順序付の和で  6-1 = 5 を書く方法 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1 の数 4 に等しい。そのような和で用いられる 1 と 2 の数を数えることで、''F''(''n'',''k'') は[[二項係数]]

:<math>F(n,k)=\binom{\tfrac{n+k-1}{2}}{k}</math>

に等しい。ここで ''n'' と ''k'' は異なるパリティ（奇偶性）を持つ。このことから、右図のように[[パスカルの三角形]]からフィボナッチ多項式の係数を求めることが出来る。

== 注釈 ==
{{reflist}}
*{{cite book |title=Proofs that Really Count
|first1=Arthur T.|last1=Benjamin|first2=Jennifer J.|last2=Quinn
|publisher=MAA|year=2003|isbn=0-88385-333-7
|chapter=§9.4 Fibonacci and Lucas Polynomial|page=141}}
<!-- Note: This source idiosyncratically shifts the index by 1, allow for this when checking the formulas. --> 
*{{SpringerEOM|title=Fibonacci polynomials
|id=Fibonacci_polynomials&oldid=14185|last=Philippou|first=Andreas N.}}
*{{SpringerEOM|title=Lucas polynomials
|id=Lucas_polynomials&oldid=17297|last=Philippou|first=Andreas N.}}
* {{MathWorld | urlname=LucasPolynomial| title=Lucas Polynomial}}

== 参考文献 ==
* {{cite journal | first1=V. E.|last1=Hoggatt | authorlink=:en:Verner Emil Hoggatt, Jr. | first2=Marjorie | last2=Bicknell | title=Roots of Fibonacci polynomials. | journal=[[:en:Fibonacci Quarterly|Fibonacci Quarterly]] | volume=11 | pages=271–274 | year=1973 | issn=0015-0517| mr=0332645 }}
* {{cite journal | first1=V. E.|last1=Hoggatt | first2=Calvin T. | last2=Long | title=Divisibility properties of generalized Fibonacci Polynomials | journal=[[:en:Fibonacci Quarterly|Fibonacci Quarterly]] | volume=12 | page=113 | year=1974 | mr=0352034 }}
* {{cite journal | last1=Ricci |first1=Paolo Emilio | title=Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials | journal=Rivista di Matematica della Università di Parma|series= V. Ser. | volume=4 | year=1995 | pages=137–146 |mr=1395332 }}
* {{cite journal|last1=Yuan |first1=Yi |last2=Zhang|first2=Wenpeng |journal=Fibonacci Quarterly| year=2002 |title =Some identities involving the Fibonacci Polynomials |page=314|mr=1920571|volume=40|issue=4}}
* {{cite journal|first1=Johann|last1=Cigler |journal=Fibonacci Quarterly |year=2003 |mr=1962279 | pages=31–40|number=41|title=q-Fibonacci polynomials}}

== 外部リンク ==
* {{SloanesRef |sequencenumber=A162515|name=Triangle of coefficients of polynomials defined by Binet form...|accessdate=2021-3-24}}
* {{SloanesRef |sequencenumber=A011973|name=Triangle of coefficients of Fibonacci polynomials.|accessdate=2021-3-24}}

{{DEFAULTSORT:ふいほなつちたこうしき}}
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