フィボナッチ数のソースを表示

[[File:Fibonacci Squares.svg|300px|thumb|フィボナッチ数を一辺とする[[正方形]]]]
'''フィボナッチ数'''（フィボナッチすう、{{lang-en-short|Fibonacci number}}）は、[[イタリア]]の数学者[[レオナルド・フィボナッチ]]（ピサのレオナルド）に因んで名付けられた[[数]]である。

== 概要 ==
{{読み仮名|'''フィボナッチ[[数列]]'''|フィボナッチすうれつ|{{lang-en-short|{{lang|it|Fibonacci}} sequence}}}} {{math|({{var|F{{sub|n}}}})}} は、次の[[漸化式]]で定義される：
:<math>\begin{cases}
F_0 = 0 & \, \\
F_1 = 1 & \, \\
F_n = F_{n-1}+F_{n-2} &(n\geqq 2)
\end{cases}
</math>

第0～22項の値は次の通りである：
:[[0]], [[1]], 1, [[2]], [[3]], [[5]], [[8]], [[13]], [[21]], [[34]], [[55]], [[89]], [[144]], [[233]], [[377]], [[610]], [[987]], 1597, 2584, 4181, [[6765]], 10946, 17711, …（{{OEIS|A000045}}）
[[1202年]]にフィボナッチが発行した『[[算盤の書]]』(Liber Abaci) に記載されたことで「フィボナッチ数」と呼ばれているが、それ以前にも[[インド]]の学者である[[ヘーマチャンドラ]] (Hemachandra) が[[韻律 (韻文)|韻律]]の研究により発見し、書物に記したことが判明している<ref>Parmanand Singh. "Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers". ''Math. Ed. Siwan,'' '''20(1)''': pp.&nbsp;28–30, 1986. ISSN 0047-6269.</ref><ref>Parmanand Singh, "The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India." ''Historia Mathematica'' '''12(3)''', pp.&nbsp;229–244, 1985.</ref>。

== 兎の問題 ==
[[レオナルド・フィボナッチ]]は次の問題を考案した<ref name="algo">{{Cite book|和書 |title=C言語による最新アルゴリズム事典 |publisher=[[技術評論社]] |author=奥村晴彦|authorlink=奥村晴彦|year=1991 |page=305 |isbn=4-87408-414-1}}</ref>。
*1つがいの兎は、産まれて2か月後から毎月1つがいずつの兎を産む。
*兎が死ぬことはない。
*この条件の下で、産まれたばかりの1つがいの兎は1年の間に何つがいの兎になるか？
つがいの数は次の表のようになる。どの月のつがいの合計も、その前の2つの月での合計の和となり、フィボナッチ数が現れていることが分かる。
{|class="wikitable" style="text-align:right"
! !!産まれたばかりのつがい!!生後1か月のつがい!!生後2か月以降のつがい!!つがいの数（合計）
|-
!style="white-space:nowrap"|0か月後
|1||0||0||1
|-
!style="white-space:nowrap"|1か月後
|0||1||0||1
|-
!style="white-space:nowrap"|2か月後
|1||0||1||2
|-
!style="white-space:nowrap"|3か月後
|1||1||1||3
|-
!style="white-space:nowrap"|4か月後
|2||1||2||5
|-
!style="white-space:nowrap"|5か月後
|3||2||3||8
|-
!style="white-space:nowrap"|6か月後
|5||3||5||13
|-
!style="white-space:nowrap"|7か月後
|8||5||8||21
|-
!style="white-space:nowrap"|8か月後
|13||8||13||34
|-
!style="white-space:nowrap"|9か月後
|21||13||21||55
|-
!style="white-space:nowrap"|10か月後
|34||21||34||89
|-
!style="white-space:nowrap"|11か月後
|55||34||55||144
|-
!style="white-space:nowrap"|12か月後
|89||55||89||233
|}

== 一般項 ==
フィボナッチ数列の一般項は次の式で表される<ref name="algo" />：
:<math>F_n
= \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}
= \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}
= \frac{\varphi^n - (-\varphi)^{-n}}{\sqrt{5}}</math>
この式は[[1843年]]に[[ジャック・フィリップ・マリー・ビネ|ビネ]] ({{interlang|en|Jacques Philippe Marie Binet}}) が発表したことからビネの公式と呼ばれるが、それ以前の[[1730年]]（[[アブラーム・ド・モアブル|ド・モアブル]]）・[[1765年]]（[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]）にも発表されており、ビネは最初の発見者ではない。

なお、この式に現れる
:<math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.618 033 988 749 894\cdots</math>
は'''[[黄金比|黄金数]]'''で、いくつかの数学的特徴がある。黄金数を作る[[二次方程式]] {{math2|''x''{{sup|2}} &minus; ''x'' &minus; 1 {{=}} 0}} の解を {{math2|''α'', ''β'' (''α'' > ''β'')}} とすると、上記の一般項は
:<math>F_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}=\frac{\alpha^n}{\alpha-\beta}+\frac{\beta^n}{\beta-\alpha}</math>
と表せる。

また、一般項の第2項 {{math|{{sfrac|1| {{sqrt|5}} }}(&minus;''&phi;''){{sup|&minus;''n''}} }} の絶対値は減少列で、{{math|1=''n'' = 0}} のとき {{math|{{sfrac|1| {{sqrt|5}} }} {{=}} 0.447... < {{sfrac|1|2}} }} より、第2項を切り捨てた式は {{mvar|F{{sub|n}}}} の値を 0.447 以下（{{math|''n'' > 4}} のとき1%以下）の誤差で与える[[近似式]]である。
:<math>F_n \fallingdotseq \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}</math>
この誤差の絶対値は0.5未満なので、{{mvar|F{{sub|n}}}} の正確な整数値は以下の式で得られる<ref name="algo" />。
:<math>F_n
= \left\lfloor \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}} + \frac{1}{2} \right\rfloor
= \left\lfloor \frac{1}{\sqrt{5}}\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n + \frac{1}{2} \right\rfloor</math>
ただし、{{math|&lfloor; ''x'' &rfloor;}} は[[床関数と天井関数|床関数]]である。

なお、後述の[[#負数番への拡張|負数番への拡張]]を考慮した場合、{{math|''n'' < 0}} では逆に一般項の第1項の絶対値が0.5未満となるため、{{math|''n'' < 0}} における {{mvar|F{{sub|n}}}} の正確な整数値は以下の式で得られる。
:<math>F_n
= - \left\lfloor \frac{(-\varphi)^{-n}}{\sqrt{5}} + \frac{1}{2} \right\rfloor
= - \left\lfloor \frac{1}{\sqrt{5}}\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n + \frac{1}{2} \right\rfloor</math>
これらのことから、任意の整数 {{mvar|n}} における {{mvar|F{{sub|n}}}} の正確な整数値は以下の式で得られる。
:<math>F_n
= (\sgn n) \left\lfloor \frac{\{(\sgn n)\varphi\}^{|n|}}{\sqrt{5}} + \frac{1}{2} \right\rfloor
= (\sgn n) \left\lfloor \frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \frac{1+(\sgn n)\sqrt{5}}{2} \right\}^n + \frac{1}{2} \right\rfloor</math>
ただし、{{math|sgn ''x''}} は[[符号関数]]である。

=== 行列表現 ===
また、フィボナッチ数列の漸化式は次のように[[行列]]表現できる<ref name="algo" />：
:<math>\begin{bmatrix} F_{n+1} \\F_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_{n} \\ F_{n-1} \end{bmatrix},\;\;\begin{bmatrix} F_{n} \\ F_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_{n-1} \\ F_{n-2} \end{bmatrix}</math>
これらを並べて表記すると、
:<math>\begin{align}
\begin{bmatrix}
F_{n+1} & F_{n} \\
F_{n} & F_{n-1}
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
F_{n} & F_{n-1} \\
F_{n-1} & F_{n-2}
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}^2\begin{bmatrix}
F_{n-1} & F_{n-2} \\
F_{n-2} & F_{n-3}
\end{bmatrix} \\
&= \cdots \\
&= \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}
F_{1} & F_{0} \\
F_{0} & F_{-1}
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{align}</math>
:<math>\therefore
\begin{align}
\begin{bmatrix}
F_{n+1} & F_{n} \\
F_{n} & F_{n-1}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}^n
\end{align}</math>
ここで、{{math|''F''{{sub|&minus;1}} {{=}} 1}} は、漸化式 {{math|''F{{sub|n}}'' {{=}} ''F''{{sub|''n''&minus;1}} + ''F''{{sub|''n''&minus;2}}}} に {{math|''n'' {{=}} 1}} を代入すると得られる（詳細は後述の[[#負数番への拡張|負数番への拡張]]を参照）。

更に、{{math|''n''}} を {{math|2''n''}} で置換すると、
:<math>\begin{align}
\begin{bmatrix}
F_{2n+1} & F_{2n} \\
F_{2n} & F_{2n-1}
\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}^{2n} = \left ( \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}^n \right )^2 = \begin{bmatrix}
F_{n+1} & F_n \\
F_n & F_{n-1}
\end{bmatrix}^2 \\
&= \begin{bmatrix}
{F_n}^2 + {F_{n+1}}^2 & (F_{n-1} + F_{n+1}) F_n \\
(F_{n-1} + F_{n+1}) F_n & {F_{n-1}}^2 + {F_n}^2
\end{bmatrix}
\end{align}
</math>
よって、
:<math>\begin{align}
F_{2n+1} &= {F_n}^2 + {F_{n+1}}^2 \\
F_{2n} &= (F_{n-1} + F_{n+1}) F_n = (2 F_{n-1} + F_n) F_n = (2 F_{n+1} - F_n) F_n \\
F_{2n-1} &= {F_{n-1}}^2 + {F_n}^2
\end{align}
</math>
[[母関数]]は
:<math>g(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} F_n x^n = \dfrac{x}{1-x-x^2}</math>
である。

また、この行列表現を基に、以下のような漸化式を考えることができる。

:<math>\begin{cases}
F_0 = 0 & \, \\
F_1 = 1 & \, \\
F_n = {F_q}^2+\{ 1+(-1)^n \}F_{q-1}F_q+\dfrac{1-(-1)^n}{2}{F_{q+1}}^2 &\left( n\geqq 2,\;q=\left\lfloor \dfrac{n}{2} \right\rfloor \right)
\end{cases}
</math>

== 性質 ==
フィボナッチ数列の隣接2項の商は[[黄金比|黄金数]] {{mvar|φ}} に収束する。この性質は初期値 ({{math2|1=''F''{{sub|0}} = 0, ''F''{{sub|1}} = 1}}) に依らない。
:<math>\lim_{n \to \infty} \frac{F_n}{F_{n-1}} = \varphi</math>
これは次のように導出される：
:<math>x = \lim_{n \to \infty} \frac{F_n}{F_{n-1}}</math> が収束するとすれば、
:<math>x = \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n-1} + F_{n-2}}{F_{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{F_{n-1} / F_{n-2}} \right) = 1 + \frac{1}{x}</math>
:<math>x^2-x-1=0</math>
* 自然数 {{math|''p'', ''q''}} の[[最大公約数]]を {{mvar|r}} とすると、{{mvar|F{{sub|p}}}} と {{mvar|F{{sub|q}}}} の最大公約数は {{mvar|F{{sub|r}}}} である。
これより以下を導くことができる。
:* {{mvar|m}} が {{mvar|n}} で割り切れるならば、{{mvar|F{{sub|m}}}} は {{mvar|F{{sub|n}}}} で割り切れる。
:* 連続する2数は[[互いに素 (整数論)|互いに素]]であることより、隣り合うフィボナッチ数も互いに素である。
:* {{mvar|F{{sub|m}}}} が[[偶数]]となるのは {{mvar|m}} が 3 の倍数となるときと一致する。
:* {{mvar|F{{sub|m}}}} が 5 の[[倍数]]となるのは {{mvar|m}} が 5 の倍数となるときと一致する。
:* {{mvar|p}} が 2 でも 5 でもない[[素数]]のとき、{{math|1=''m'' = ''p'' &minus; (5/''p'')}} とおくと {{mvar|p}} は {{mvar|F{{sub|m}}}} を割り切る。ここで {{math|( / )}} は[[平方剰余の相互法則|ルジャンドル記号]]である。

フィボナッチ数の累和や累積について以下の式が成り立つ。
*{{math|1=''F''{{sub|1}} + ''F''{{sub|2}} + ''F''{{sub|3}} + … + ''F{{sub|n}}'' = ''F''{{sub|''n''+2}} &minus; 1}}
*{{math|1=''F''{{sub|1}} + ''F''{{sub|3}} + ''F''{{sub|5}} + … + ''F''{{sub|2''n''&minus;1}} = ''F''{{sub|2''n''}}}}
*{{math|1=''F''{{sub|2}} + ''F''{{sub|4}} + ''F''{{sub|6}} + … + ''F''{{sub|2''n''}} = ''F''{{sub|2''n''+1}} &minus; 1}}
*{{math|1=''F''{{sub|1}}{{sup|2}} + ''F''{{sub|2}}{{sup|2}} + ''F''{{sub|3}}{{sup|2}} + … + ''F{{sub|n}}''{{sup|2}} = ''F{{sub|n}}'' ''F''{{sub|''n''+1}}}}
*{{math|1=''F''{{sub|''n''&minus;1}} ''F''{{sub|''n''+1}} &minus; ''F{{sub|n}}''{{sup|2}} = (&minus;1){{sup|''n''}}}}
また、次の関係式が知られている。
:<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{F_k}{n^{k}} = \frac{n}{n^2-n-1}</math>
フィボナッチ数のうち[[平方数]]であるのは {{math|1=''F''{{sub|1}} = ''F''{{sub|2}} = 1}}, {{math|1=''F''{{sub|12}} = 144}} のみ (Cohn 1964)<ref>J. H. E. Cohn, On square Fibonacci numbers, ''J. London Math. Soc.'' '''39''' (1964), pp. 537–540.</ref>、[[立方数]]であるのは {{math|1=''F''{{sub|1}} = ''F''{{sub|2}} = 1}}, {{math|1=''F''{{sub|6}} = 8}} のみ (London and Finkelstein 1969)<ref>{{Citation |first1=Hymie |last1=London |first2=Raphael |last2=Finkelstein |title=On Fibonacci and Lucas numbers which are perfect powers |journal=Fibonacci Quart. |volume=7 |issue=5 |year=1969 |pages=476-481 |id=[https://www.fq.math.ca/Scanned/7-5/london-a.pdf Part1], [https://www.fq.math.ca/Scanned/7-5/london-b.pdf Part2], [https://www.fq.math.ca/Scanned/8-3/corrections.pdf Correction]}}</ref>である。フィボナッチ数のうち[[累乗数]]であるのはこれしかない (Bugeaud, Mignotte, Siksek 2006)<ref>Yann Bugeaud, Maurice Mignotte, Samir Siksek, Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations. I. Fibonacci and Lucas perfect powers. ''Ann. of Math.'' '''163'''(2006), pp.&nbsp;969–1018. [http://www-irma.u-strasbg.fr/~bugeaud/publi.html Yann Bugeaud, Publications, 2006.]</ref>。（{{OEIS|A227875}}）
 
フィボナッチ数で[[素数]]であるのは [[2]], [[3]], [[5]], [[13]], [[89]], [[233]], 1597, 28657, … である（{{OEIS|A005478}}）。また、これらは[[フィボナッチ素数]]と呼ばれる。

フィボナッチ数で[[三角数]]であるのは [[1]], [[3]], [[21]], [[55]]（{{OEIS|A039595}}）のみであることは Vern Hoggatt によって予想されていたが、のちに Luo Ming によって証明された<ref>{{Citation |first=Luo |last=Ming |title=On triangular Fibonacci numbers |journal=Fibonacci Quart. |volume=27 |issue=2 |year=1989 |pages=98-108 |url=https://www.fq.math.ca/Scanned/27-2/ming.pdf}}</ref>。

フィボナッチ数で[[ハーシャッド数]]であるのは [[1]], [[2]], [[3]], [[5]], [[8]], [[21]], [[144]], 2584, …（{{OEIS|A117774}}）。

フィボナッチ数は[[完全数]]にはならない<ref name="Luca2000">{{Cite journal |first=Florian |last=Luca |title=Perfect Fibonacci and Lucas numbers |journal=Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo |year=2000 |volume=49 |issue=2 |pages=313-318 |doi=10.1007/BF02904236 |mr=1765401 |issn=1973-4409}}</ref>。より一般に、フィボナッチ数は[[倍積完全数]]にもならず<ref name="BGLLHT2011">{{Cite journal |first1=Kevin A. |last1=Broughan |first2=Marcos J. |last2=González |first3=Ryan H. |last3=Lewis |first4=Florian |last4=Luca |first5=V. Janitzio |last5=Mejía Huguet |first6=Alain |last6=Togbé |title=There are no multiply-perfect Fibonacci numbers |journal=Integers |year=2011 |volume=11a |page=A7 |url=http://math.colgate.edu/~integers/vol11a.html |mr=2988067}}</ref>、2つのフィボナッチ数の商も完全数にはならない<ref name="LucaMH2010">{{Cite journal |first1=Florian |last1=Luca |first2= V. Janitzio |last2=Mejía Huguet |title=On Perfect numbers which are ratios of two Fibonacci numbers |journal=Annales Mathematicae at Informaticae |year=2010 |volume=37 |pages=107-124 |url=https://ami.uni-eszterhazy.hu/index.php?vol=37 |mr=2753031 |issn=1787-6117}}</ref>。

[[フィボナッチ数列の逆数和]]は収束し、記号 {{mvar|ψ}} で表される。
:<math>\psi = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{F_n} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = 3.35988566 \cdots</math><ref>[https://mathworld.wolfram.com/ReciprocalFibonacciConstant.html Reciprocal Fibonacci Constant -- from Wolfram MathWorld]</ref>

この {{mvar|ψ}} が無理数であることは証明されているが (André-Jeannin 1989)、[[超越数]]であるかどうかは分かっていない。

任意の正の整数は、1つ以上の連続しない相異なるフィボナッチ数の和として一意に表すことができる（[[ゼッケンドルフの定理]]）。

[[パスカルの三角形]]で数字を[[桂馬]]跳びのように拾うと、総和がフィボナッチ数になる数列が現れる。
また {{mvar|n}} が十分に大きいとき、フィボナッチ数列の漸化式を遡らせるとパスカルの三角形が現れ、桂馬跳びに同じ項が現れる。

<math>F_n = F_{n-1}+F_{n-2} = F_{n-2}+2F_{n-3}+F_{n-4} = F_{n-3}+3F_{n-4}+3F_{n-5}+F_{n-6}</math>

== プログラミング言語での実装 ==
[[再帰]]的処理の例としてよく紹介される。以下は[[Python]]での例。

ただし、下記実装例の内、[[#負数番への拡張]]に対応しているのは例5・例6のみである。

=== 例1（再帰的処理による実装例） ===
このプログラムでは、{{math|''n''}} が与えられてから {{math|''F{{sub|n}}''}} が求まるまでに {{math|''F{{sub|n}}'' ∝ ''φ{{sup|n}}''}} 回の関数呼び出しが発生する（すなわち[[指数関数時間|指数時間]]の計算となる）ため、実用的ではない。したがって通常は、[[線形時間]]で計算するために[[メモ化]]などの手法を用いる他、後述するように様々な実装例が検討されている。
{{Syntaxhighlight|lang=python|code=
def fib(n: int) -> int:
    if n < 2:
        return n
    else:
        return fib(n=n-1) + fib(n=n-2)
}}
メモ化の例を挙げると{{efn|この例では（メモ化の為の）[[キャッシュ]]サイズが無制限に肥大する。}}、
{{Syntaxhighlight|lang=python|code=
from functools import cache

@cache
def fib(n: int) -> int:
    if n < 2:
        return n
    else:
        return fib(n=n-1) + fib(n=n-2)
}}

=== 例2（ループ処理による実装例） ===
{{Syntaxhighlight|lang=python|code=
def fib(n: int) -> int:
    a, b = 1, 0
    for _ in range(n):
        a, b = b, a+b
    return b
}}

=== 例3（指数関数的なコールを必要としない再帰的処理による実装例） ===
{{math|''n''}} が1以上の場合に第2・第3の引数を上記例2と同じ要領で順次更新していくことで、コール回数を {{math|''n''}} 回に抑えられる為、線形時間で処理できる。
{{Syntaxhighlight|lang=python|code=
def fib(n: int, a: int = 1, b: int = 0) -> int:
    if n == 0:
        return b
    else:
        return fib(n=n-1, a=b, b=a+b)
}}

=== 例4（対数時間での再帰的処理による実装例）===
[[#行列表現]]で導出した[[漸化式]]（以下に再掲）を用いることで、再帰的処理でも対数時間で処理できる。
:<math>\begin{cases}
F_0 = 0 & \, \\
F_1 = 1 & \, \\
F_n = {F_q}^2+\{ 1+(-1)^n \}F_{q-1}F_q+\dfrac{1-(-1)^n}{2}{F_{q+1}}^2 &\left( n\geqq 2,\;q=\left\lfloor \dfrac{n}{2} \right\rfloor \right)
\end{cases}</math>
ただし、プログラム上は0を掛けるからと言ってその対象の値が計算されない訳では無い為（[[短絡評価]]されない）、[[条件演算子|条件式]]による分岐で表記している。
{{Syntaxhighlight|lang=python|code=
def fib(n: int) -> int:
    if n < 2:
        return n
    q = n // 2
    fq = fib(n=q)
    return fq ** 2 + (2 * fib(n=q-1) * fq if n % 2 == 0 else fib(n=q+1) ** 2)
}}

=== 例5（一般項による実装例） ===
[[浮動小数点数|浮動小数点]]型を使用すると[[浮動小数点数#エラー（誤差）|計算誤差]]が発生する為、{{code|lang=python|code=decimal}}モジュールを用いている{{efn|{{code|lang=python|code=decimal}}モジュールの計算精度に依る制約はある（デフォルトでは[[十進]]28桁（[[二進]]93[[ビット]]相当））。}}。
{{Syntaxhighlight|lang=python|code=
from decimal import Decimal

SQRT5 = Decimal(5).sqrt()
PHI = (1 + SQRT5) / 2 # 黄金数

def fib(n: int) -> int:
    return round((PHI ** n - (-PHI) ** -n) / SQRT5)
}}
なお、先述の通りフィボナッチ数列の一般項は、引数 {{mvar|n}} の符号によって2項の内いずれかが0.5未満となることから、[[符号関数]]及び[[床関数]]を用いて以下のように表すことができた。
:<math>F_n = (\sgn n)\left\lfloor \frac{\{ (\sgn n)\varphi \}^{|n|}}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2} \right\rfloor</math>（[[#一般項]]より再掲）
このことから、以下のように実装することで[[冪乗]]演算の回数を減らすことが出来る{{efn|便宜上[[0の0乗]]が何らかの定数（プログラミング言語では0の0乗を1とすることが多く、Pythonにおいても{{code|lang=python|code=int}}型や{{code|lang=python|code=float}}型で0の0乗を計算した場合は1が返される）を取るものとすれば、上記の式は0を含む任意の[[整数]] {{mvar|n}} について成り立つ。ただし、{{code|lang=python|code=decimal}}型で0の0乗を計算するとエラーとなる為、コード上は {{math|''n'' {{=}} 0}} の場合を予め除外している。}}。
{{Syntaxhighlight|lang=python|code=
from decimal import Decimal

ONE = Decimal(1)
SQRT5 = Decimal(5).sqrt()
PHI = (1 + SQRT5) / 2 # 黄金数

def fib(n: int) -> int:
    if n == 0:
        return 0
    sgn_n = ONE.copy_sign(n)
    return sgn_n * round((sgn_n * PHI) ** abs(n) / SQRT5)
}}

=== 例6（行列表現での実装例）===
:<math>\begin{bmatrix}
F_{n+1} & F_n \\
F_n & F_{n-1}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}^n</math>（[[#行列表現]]より再掲）
より、{{mvar|n}} を {{math|''n'' &minus; 1}} に置換すると、
:<math>\begin{bmatrix}
F_n & F_{n-1} \\
F_{n-1} & F_{n-2}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}^{n-1}</math>
従って、{{math|''F{{sub|n}}''}} は、上式右辺（の具体的な計算値）の左上成分に等しい。

[[行列の冪]]を簡潔に記述する為に[[SymPy]]を用いた{{efn|[[SymPy]]は、フィボナッチ数を求める関数を自前で持っているが、ここでは使ってない。}}{{efn|計算速度は、[[行列の冪]]を計算する手法に依存する。幸いにして[[SymPy]]のそれは、素朴な方法（冪の数だけ行列を乗算する）よりは速い。}}。
{{Syntaxhighlight|lang=python|code=
from sympy import Matrix

def fib(n: int) -> int:
    return (Matrix([[1, 1], [1, 0]]) ** (n - 1))[0, 0] # 左上成分
}}

== その他の話題 ==
[[File:Fibonacci Spiral.svg|250px|thumb|フィボナッチ数列の螺旋。]]
[[画像:Helianthus whorl.jpg|250px|thumb|ヒマワリの種は螺旋状に並んでおり、螺旋の数を数えていくとフィボナッチ数が現れる<ref>{{PDFlink|[https://web.archive.org/web/20160304121512/http://tambara-h.esnet.ed.jp/cms/uploads/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BA%83%E5%A0%B4%E3%81%AE%E5%88%A5%E5%90%8D%E3%80%8C%E3%81%B2%E3%81%BE%E3%81%8C%E3%82%8A%E5%BA%83%E5%A0%B4%E3%80%8D%E3%81%AE%E7%94%B1%E6%9D%A5.pdf 数学広場の別名「ひまがり広場」の由来：数学と 黄金花『ひまわり』]}}（[[愛媛県立丹原高等学校]]）</ref><!--元の記述：ヒマワリの種の数を螺旋に沿って数えていくとフィボナッチ数が現れる（中心から外側までの種の数（1列）がフィボナッチ数になるという意味か？出典の他に、どういう場合にフィボナッチ数になるのか具体的に記述する必要もあり）-->]]
* フィボナッチ数は[[自然]]界の現象に数多く出現する。
*また、フィボナッチ数列が生み出す螺旋は、世界で最も美しい螺旋だと言われている。
[[ヨハネス・ケプラー]]は1611年に発表した小論文「新年の贈り物あるいは六角形の雪について」において、フィボナッチ数を自己を増殖する比例と呼び、植物の種子の能力の現れであると論じた<ref>{{Cite journal|author=榎本恵美子|year=1977|title=翻訳・新年の贈り物あるいは六角形の雪について|journal=知の考古学|volume=第11号|page=286ページ}}</ref>。
*[[花冠|花びら]]の数はフィボナッチ数であることが多い。{{要出典|date=2023年12月}}<!--（⇒　この主張の根拠となる出典を明示してください。統計データでは、4枚の花は3枚と同程度に存在します<ref>西山豊『自然界にひそむ「5」の謎』筑摩書房、1999年、p123</ref>。キク科の舌状花はある範囲で分布し、このように枚数は固定されません。）-->
*フィボナッチ数は、花びらの枚数も決めているらしい。（『聖なる幾何学』p63より）
** 3枚：[[ユリ]]、[[アヤメ]]、[[エンレイソウ]]
** 5枚：[[オダマキ]]、[[サクラソウ]]、キンボウゲ、[[ノイバラ]]、ヒエンソウ
** 8枚：[[デルフィニウム属]]、サンギナリア、[[コスモス]]
** 13枚：[[シネラリア]]、コーンマリゴールド
** 21枚：[[チコリー]]、[[オオハンゴンソウ]]
** 34枚：[[オオバコ]]、[[シロバナムシヨケギク]]
** 55枚：[[ユウゼンギク]]
** 89枚：ミケルマス・デイジー
*** 花弁の数が144に達することはない。この数は、他の自然界に見られるフィボナッチ数の例でも限界になっていることが多い<ref>聖なる幾何学 スティーヴン・スキナー著 p.63「植物成長の幾何学」より抜粋</ref>。

* [[アブラナ]]や[[ダイコン]]の[[花びら]]は4枚であり、[[植物学]]では[[花式図]]より3数性、4数性、5数性で分類される<ref>[http://yutaka-nishiyama.sakura.ne.jp/sonota/subunka2303.pdf 西山豊「花びらの数はフィボナッチ数列に落ち着くか？」『数学文化』No. 39, p104, 2023.3]</ref><ref>[https://www.jstage.jst.go.jp/article/keidaironshu/74/6/74_125/_pdf/-char/ja 西山豊「花びらの数はフィボナッチ数」は本当か？『大阪経大論集』Vol.74, No.6, 125-139, 2024.3]</ref>。
*[[植物]]の[[花]]や[[果実|実]]に現れる[[螺旋]]の数もフィボナッチ数であることが多い。
**[[ヒマワリ]]の螺旋の数はフィボナッチ数とされることもあるが、螺旋の数が多い場合、中心から離れると螺旋の隙間にも種ができてしまうため、途中から枝分かれしてフィボナッチ数にならないこともある<ref>[https://web.archive.org/web/20161016152523/http://www.fbs.osaka-u.ac.jp/labs/skondo/saibokogaku/fibonacchi.html 第14回：全ての植物をフィボナッチの呪いから救い出す]（こんどうしげるの生命科学の明日はどっちだ!?）</ref>。
*[[パイナップル]]の螺旋の数は時計回りは13、反時計回りは8になっている。
*[[葉#葉序|葉序]]（植物の葉の付き方）はフィボナッチ数と関連している。(シンパー=ブラウンの法則)<!--（⇒　出典ならびに根拠を明示してください。）-->
*らせん葉序におけるシンパー・ブラウンの法則はフィボナッチ数列と関連するが、「近似値を示すにすぎず、またこれにあてはまらない例もある」（岩波生物学辞典）。
*[[ハチ]]や[[アリ]]など、オスに父親がない家系を辿っていくとフィボナッチ数列が現れる（父母2匹、祖父母3匹、曽祖父母5匹、高祖父母8匹…）。
*{{mvar|n}} 段の階段を1段または2段ずつ登るときに、登る場合の数は {{math|''F''{{sub|''n''+1}}}} 通りある。
* ●と○を合わせて {{mvar|n}} 個並べる。●が2個以上続かないように一列に並べる方法は {{math|''F''{{sub|''n''+2}}}} 通りある。
*[[為替]]などの[[テクニカル分析]]で、[[フィボナッチ・リトレースメント]]という手法がよく使われている。

== 負数番への拡張 ==
フィボナッチ数列は、[[漸化式]] {{math|1=''F{{sub|n}}'' = ''F''{{sub|''n''&minus;1}} + ''F''{{sub|''n''&minus;2}}}} を全ての整数 {{mvar|n}} に対して適用することにより、{{mvar|n}} が負の整数の場合に拡張できる。そして {{math|1=''F''{{sub|&minus;''n''}} = (&minus;1){{sup|''n''+1}}''F{{sub|n}}''}} が成り立つ。この式より、負の番号の項は次のようになる。
{|class="wikitable" style="text-align:right"
!{{mvar|n}}
|0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12||13||14||15||16||17||18||19||20
|-
!{{mvar|F{{sub|n}}}}
|0||1||1||2||3||5||8||13||21||34||55||89||144||233||377||610||987||1597||2584||4181||6765
|-
!{{mvar|F{{sub|&minus;n}}}}
|0||1||&minus;1||2||&minus;3||5||&minus;8||13||&minus;21||34||&minus;55||89||&minus;144||233||&minus;377||610||&minus;987||1597||&minus;2584||4181||&minus;6765
|}

== 類似の数列 ==
フィボナッチ数列の定義である初期値や漸化式をやや変更して、類似の数列が作れる。

=== 項数の変更 ===
フィボナッチ数列は各項が先行する二項の和であるものであったが、それを「先行する {{mvar|k}} 項の和」と置き換えた一般化
:<math>F_{n+k}^{(k)} := F_{n+k-1}^{(k)} + F_{n+k-2}^{(k)} + \dotsb + F_n^{(k)}\quad (n\ge 0)</math>
を考えることができる。ただし、初期値は 1 で埋める（1-fil型）
:<math>F_0^{(k)} = F_1^{(k)}=\dotsb=F_{k-1}^{(k)}=1</math>
あるいは 0 で埋める（0-fil型）
:<math>F_0^{(k)} = F_1^{(k)}=\dotsb=F_{k-2}^{(k)}=0,\quad F_{k-1}^{(k)}=1</math>
などを取るのが一般的である。これらフィボナッチ数列の類似物を、項数 {{mvar|k}} に対応するラテン語またはギリシャ語に由来する[[倍数接頭辞]]を「フィボナッチ」と組み合わせた名称で呼ぶ{{efn|当然のことだが "Fibonacci" は人名であって、"fibo-" + "-nacci" や "fi-" + "-bonacci" という構成の合成語でもないし、もちろん "fi-" や "fibo-" が "{{math|2}}" の意味を持つわけでもない（ただし、摩擦音 ''f'' と破裂音 ''b'' が音韻的に近い関係にあることから {{math|2}} を表す "bi-" を "fi-" に結び付けての類推ではあるかもしれない）が、「フィボナッチ」の語を頭から適当な音節分だけ倍数を表す接頭辞で置き換えるという、[[数学的なジョーク|冗談のような名付け]]になっている。}}。
{|class="wikitable" style="text-align:right;margin:1ex 1em 1ex 1em;float:right"
|+和の項数や初期値の変更
!{{mvar|k}}!!接頭辞<ref>より多くは、例えば [http://nomenclator.la.coocan.jp/chem/text/numeric.htm] などを見よ</ref>!!名称!![[オンライン整数列大辞典|整数列大辞典]]
|-
|3||tri-
!トリボナッチ数
|0 fil: {{OEIS2C|A000073}}<br />1 fil: {{OEIS2C|A000213}}
|-
|4||tetra-
!テトラナッチ数
|0 fil: {{OEIS2C|A000078}}<br />1 fil: {{OEIS2C|A000288}}
|-
|5||penta-
!ペンタナッチ数
|0 fil: {{OEIS2C|A001591}}<br />1 fil: {{OEIS2C|A000322}}
|-
|6||hexa-
!ヘキサナッチ数
|0 fil: {{OEIS2C|A001592}}<br />1 fil: {{OEIS2C|A000383}}
|-
|7||hepta-
!ヘプタナッチ数
|0 fil: {{OEIS2C|A122189}}<br />1 fil: {{OEIS2C|A060455}}
|-
|8||octa-
!オクタナッチ数
|0 fil: {{OEIS2C|A079262}}<br />1 fil: {{OEIS2C|A123526}}
|-
|9||nona-
!ノナ（ボ）ナッチ数
|1 fil: {{OEIS2C|A127193}}
|-
|10||deca-
!デカ（ボ）ナッチ数
|1 fil: {{OEIS2C|A127194}}
|-
|11||undeca-
!ウンデカ（ボ）ナッチ数
|1 fil: {{OEIS2C|A127624}}
|-
|12||dodeca-
!ドデカ（ボ）ナッチ数
|1 fil: {{OEIS2C|A207539}}
|-
|
|-
|20||icosa-
|イコサナッチ数
|⋮
|}

==== トリボナッチ数 ====
特に直前の三項の和として各項が定まるトリボナッチ数列は、フィボナッチ数列に次いでよく調べられている。0-fil型でオフセットが0番目からのものは
:{{math2|1=''T''{{sub|0}} = ''T''{{sub|1}} = 0, ''T''{{sub|2}} = 1,}}
:{{math2|1=''T''{{sub|''n''+3}} = ''T{{sub|n}}'' + ''T''{{sub|''n''+1}} + ''T''{{sub|''n''+2}} (''n'' ≥ 0)}}
と表される。第0～21項の値は次の通りである：
:{{math2|0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, …}} ([[OEIS]] {{OEIS2C|A000073}})
トリボナッチ数列の一般項は次で表される。
:<math>T_n = \frac{\alpha^n}{(\alpha - \beta)(\alpha - \gamma)}+ \frac{\beta^n}{(\beta - \gamma)(\beta - \alpha)}+ \frac{\gamma^n}{(\gamma - \alpha)(\gamma - \beta)}</math>
ただし、{{math2|''α'', ''β'', ''γ''}} は[[三次方程式]] {{math|1=''x''{{sup|3}} &minus; ''x''{{sup|2}} &minus; ''x'' &minus; 1 = 0}} の3解
:<math>\begin{align}
\alpha &= \frac{1}{3} \left(1 + \sqrt[3]{19-3\sqrt{33}} + \sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}\right) \\
\beta  &= \frac{1}{3} \left(1 + \omega \sqrt[3]{19-3\sqrt{33}} + \bar{\omega} \sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}\right) \\
\gamma &= \frac{1}{3} \left(1 + \bar{\omega} \sqrt[3]{19-3\sqrt{33}} + \omega \sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}\right)
\end{align}</math>
であり、ここで
:<math>\omega = \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2}</math>（[[1の冪根|{{math|1}} の虚立方根]]）
である。

また、上記の {{mvar|α}} を'''トリボナッチ定数'''という。これはフィボナッチ数列における黄金数に当たる定数で、トリボナッチ数列の隣接2項間の商はトリボナッチ定数に収束する：
:<math>\lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{T_{n-1}} = \alpha = 1.839286755214161\cdots</math>

パスカルの三角錐の n 段目の三角形の数字を桂馬跳びに拾って合計すると 2n-1 個の数から成る数列ができる。この数列を上から三角形状に並べ、数字を桂馬跳びに拾って合計するとトリボナッチ数が現れる。
また {{mvar|n}} が十分に大きいとき、トリボナッチ数列の漸化式を遡らせると中間の三角形が現れ、桂馬跳びに同じ項が現れる。

<math>T_n = T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3} = T_{n-2}+2T_{n-3}+3T_{n-4}+2T_{n-5}+T_{n-6} = T_{n-3}+3T_{n-4}+6T_{n-5}+7T_{n-6}+6T_{n-7}+3T_{n-8}+T_{n-9}</math>

==== テトラナッチ数 ====
直前の四項の和に変更したテトラナッチ数列も同様に様々なことが知られている。同様にオフセット0番の 0-fil型は
:{{math|1=''T''{{sub|0}} = ''T''{{sub|1}} = ''T''{{sub|2}} = 0, ''T''{{sub|3}} = 1,}}
:{{math|1=''T''{{sub|''n''+4}} = ''T{{sub|n}}'' + ''T''{{sub|''n''+1}} + ''T''{{sub|''n''+2}} + ''T''{{sub|''n''+3}} (''n'' &ge; 0)}}
と書けて、第0～21項の値は次の通りである：
: {{math2|0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, …}} ([[OEIS]] {{OEIS2C|A000078}})
一般項は、[[四次方程式]] {{math|''x''{{sup|4}} &minus; ''x''{{sup|3}} &minus; ''x''{{sup|2}} &minus; ''x'' &minus; 1 {{=}} 0}} の4解を {{math2|''α'', ''β'', ''γ'', ''δ''}} として、
:<math>T_n = \frac{\alpha^n}{(\alpha- \beta)(\alpha - \gamma)(\alpha - \delta)}+ \frac{\beta^n}{(\beta - \gamma)(\beta - \delta)(\beta - \alpha)}+ \frac{\gamma^n}{(\gamma - \delta)(\gamma - \alpha)(\gamma - \beta)}+ \frac{\delta^n}{(\delta - \alpha)(\delta - \beta)(\delta - \gamma)}</math>
となる。

=== 初期値の変更 ===
==== リュカ数 ====
フィボナッチ数列の最初の2項を 2, 1 に置き換えた数列の項を[[リュカ数]]という。
: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, …  ([[OEIS]] {{OEIS2C|A000032}})
この数列の一般項は
:<math>L_n = \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n + \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n= \varphi^n + (1-\varphi)^n = {\varphi^n + (-\varphi)^{-n}}</math>
と表される。

フィボナッチ数列やリュカ数の列を一般化したものが[[リュカ数列]]であり、1878年に[[エドゥアール・リュカ]]が体系的な研究を行い、1913年に{{仮リンク|ロバート・ダニエル・カーマイケル|en|Robert Daniel Carmichael}}がその結果を整理、拡張した<ref>R. D. Carmichael, On the numerical factors of the arithmetic forms {{math|''α{{sup|&thinsp;n}}'' ± ''β{{sup|&thinsp;n}}''}}, ''Ann. of Math.'' '''15''' (1913), pp.30–70, {{DOI|10.2307/1967797}}.</ref>。これらの研究が現代のフィボナッチ数の理論の基礎となった。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書 |author=[[佐藤修一 (数学者)|佐藤修一]] |title=自然にひそむ数学―自然と数学の不思議な関係 |series=ブルーバックス B-1201 |publisher=[[講談社]] |date=1998-01-20 |isbn=4-06-257201-X |ref={{Harvid|佐藤|1998}}}}
*{{Cite book|和書 |author=[[中村滋 (数学者)|中村滋]] |title=フィボナッチ数の小宇宙(ミクロコスモス)―フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割 |publisher=[[日本評論社]] |date=2002-09 |isbn=4-535-78281-4 |ref={{Harvid|中村|2002}}}}
**{{Cite book|和書 |author=中村滋 |title=フィボナッチ数の小宇宙(ミクロコスモス)―フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割 |edition=改訂版 |publisher=日本評論社 |date=2008-01 |isbn=978-4-535-78492-5 |ref={{Harvid|中村|2008}}}}
*{{Cite journal|和書 |author=中村滋 |title=日本フィボナッチ協会の20年 |journal=数学セミナー |volume=57 |issue=8 |pages=48-53 |publisher=日本評論社 |date=2018-08 |ref={{harvid|中村|2018}}}}
*{{Citation |last=Arakelian |first=Hrant |date=2014 |title=Mathematics and History of the Golden Section |language=ru |publisher=Logos |isbn=978-5-98704-663-0}}
*{{Citation |last=Dunlap |first=Richard A. |date=1997-12-17 |title=The Golden Ratio and Fibonacci Numbers |publisher=World Scientific Pub. Co. Inc. |isbn=978-981-02-3264-1}}
**{{Cite book|和書 |last=ダンラップ |first=R.A. |translator=[[岩永恭雄]]・[[松井講介]] |title=黄金比とフィボナッチ数 |publisher=日本評論社 |date=2003-06 |isbn=4-535-78370-5 |ref={{Harvid|ダンラップ|2003}}}}
*{{Citation |last=Koshy |first=Thomas |date=2017-12-04 |title=Fibonacci and Lucas Numbers with Applications |publisher=Wiley |edition=2nd |volume=Volume 1 |series=Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts |isbn=978-1-118-74212-9}}
*{{Citation |last=Koshy |first=Thomas |edition=2nd |title=Fibonacci and Lucas Numbers with Applications |series=Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts |volume=Volume 2 |publisher=Wiley |date=2019-01-07 |isbn=978-1-118-74208-2}}
*{{Citation |author=[[レオナルド・フィボナッチ|Leonardo Pisano Fibonacci]] |translator=L. E. Sigler |title=The Book of Squares |publisher=Academic Press |date=1987-02-11 |isbn=978-0-12-643130-8 |ref={{Harvid|Fibonacci|1987}}}} - 『[[平方の書]]』の英訳。
*{{Citation |last=Sigler |first=Laurence |title=Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation |series=Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences |publisher=Springer-Verlag |date=2003-11-11 |isbn=978-0-387-40737-1}} - 『[[算盤の書]]』の英訳。

== 関連項目 ==
{{commonscat}}
{{Div col}}
* [[黄金比]]
* [[数学定数]]
* [[数列]]
* [[フィボナッチ数列の逆数和]]
* [[リュカ数]]
* [[リュカ数列]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
* {{Kotobank|フィボナッチ数列|2=[[竹之内脩]]}}
* {{高校数学の美しい物語|643|フィボナッチ数列の7つの性質（一般項・黄金比・互いに素）}}
* [https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12220956942.html フィボナッチ数、トリボナッチ数、テトラナッチ数、ペンタナッチ数、ヘキサナッチ数 の考察]
* {{MathWorld|title=Fibonacci Number|urlname=FibonacciNumber}}
* [https://www.mathstat.dal.ca/fibonacci/ The Fibonacci Association（フィボナッチ協会）]{{En icon}}
* [https://www.fq.math.ca/ Fibonacci Quarterly Home Page（フィボナッチ・クォータリー）]{{En icon}}
* [http://jfa.mathsalon.com/13thJFAWorkshop.pdf 日本フィボナッチ協会 第13回研究集会報告書2015年8月日本フィボナッチ協会] （リンク切れの場合は[http://www.zg.em-net.ne.jp/~aurues/Fibonacci/13thJFAWorkshop.pdf こちら]）
* [http://jfa.mathsalon.com/14thJFAWorkshop.pdf 日本フィボナッチ協会 第14回研究集会報告書2016年8月日本フィボナッチ協会] （リンク切れの場合は[http://www.zg.em-net.ne.jp/~aurues/Fibonacci/14thJFAWorkshop.pdf こちら]）
* [http://jfa.mathsalon.com/15thJFAWorkshop.pdf 日本フィボナッチ協会 第15回研究集会報告書2017年8月日本フィボナッチ協会] （リンク切れの場合は[http://www.zg.em-net.ne.jp/~aurues/Fibonacci/15thJFAWorkshop.pdf こちら]）
* [http://jfa.mathsalon.com/16thJFAWorkshop.pdf 日本フィボナッチ協会 第16回研究集会報告書2018年8月日本フィボナッチ協会]
* [http://jfa.mathsalon.com/17thJFAWorkshop.pdf 日本フィボナッチ協会 第17回研究集会報告書2019年8月日本フィボナッチ協会]
* [http://jfa.mathsalon.com/18thJFAWorkshop.pdf 日本フィボナッチ協会 第18回研究集会報告書2020年10月日本フィボナッチ協会]
* [http://jfa.mathsalon.com/19thJFAWorkshop.pdf 日本フィボナッチ協会 第19回研究集会報告書2021年10月日本フィボナッチ協会]
* [http://jfa.mathsalon.com/20thJFAWorkshop.pdf 日本フィボナッチ協会 第20回研究集会報告書2022年10月日本フィボナッチ協会]
* [http://jfa.mathsalon.com/21stJFAWorkshop.pdf 日本フィボナッチ協会 第21回研究集会報告書2023年11月日本フィボナッチ協会]
* [http://jfa.mathsalon.com/22ndJFAWorkshop.pdf 日本フィボナッチ協会 第22回研究集会報告書2024年10月日本フィボナッチ協会]

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{{貴金属比}}
{{Normdaten}}

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[[Category:整数の類]]
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