フィンスラー多様体のソースを表示

'''フィンスラー多様体'''（フィンスラーたようたい、{{lang-en-short|Finsler manifold}}）とは、[[可微分多様体]] {{mvar|M}} であって各接空間 {{math|T<sub>''x''</sub>''M''}} で[[ミンコフスキー汎関数]] {{math|''F''(''x'', −)}} ({{仮リンク|非対称|en|asymmetric norm}}のときもある) が与えられ、任意の[[曲線#微分構造|滑らかな]]曲線 {{math|&gamma;: [''a'', ''b''] &rarr; ''M''}} の長さが
:<math>L(\gamma) = \int_a^b F\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\,\mathrm{d}t</math>
であるものと定義される、[[微分幾何学]]の概念である。

正接ノルムが[[内積]]から誘導されていないことから、フィンスラー多様体は[[リーマン多様体]]よりも一般的な概念と言える。

フィンスラー多様体は、2点間の距離がそれらを結ぶ曲線の最小長で定義されるとき[[:en:intrinsic metric|intrinsic]]な[[距離函数#準距離|準距離]]空間になる。

[[ポール・フィンスラー]]がこの幾何学を研究し{{harv|Finsler|1918}}、{{harvs|txt|authorlink=エリ・カルタン |last=カルタン|first=エリ  |year1=1933}}がそのことにちなんでフィンスラー多様体と名付けた。

==定義==
フィンスラー多様体は、可微分多様体 {{mvar|M}} であって、[[接束]]上の連続非負関数 {{math|''F'': T''M'' &rarr; [0, +&infin;)}} であるフィンスラー計量が{{mvar|M}} の各点 {{mvar|x}} に対して、以下の性質をもつものである：
* （[[劣加法性]]）{{mvar|x}} で {{mvar|M}} に正接する 2 つの任意ベクトル {{math|''v'',''w''}} に対して {{math|''F''(''v'' + ''w'') &le; ''F''(''v'') + ''F''(''w'')}}。
* （正の[[斉次関数|斉次性]]）任意の {{math|&lambda; &ge; 0}} に対して {{math|''F''(&lambda;''v'') {{=}} &lambda;''F''(''v'')}}。
* （正定値性）{{math|''v'' {{=}} 0}} でない限り {{math|''F''(''v'') > 0}}。
つまり、{{math|''F''(''x'', −)}} は接空間 {{math|T<sub>''x''</sub>''M''}} 上の{{仮リンク|非対称ノルム|en|asymmetric norm}}である。フィンスラー計量 {{math|''F''}} は「滑らか」である必要がある。より正確には
* {{math|''F''}} は {{math|T''M''}} の[[零切断]]の補集合で[[滑らかな関数|滑らか]]。

劣加法の条件は次の'''強い凸性条件'''に置き換えることができる：
* 各接線ベクトル {{math|''v'' &ne; 0}} について、{{math|''v''}} での {{math|''F''<sup>2</sup>}} の[[ヘッセ行列]]は[[正定値行列|正定値]]である。

ここで、{{math|''v''}} における {{math|''F''<sup>2</sup>}} の[[ヘッシアン]]は[[対称テンソル|対称]]な[[双線型形式]]
:<math>\mathbf{g}_v(X, Y) := \frac{1}{2}\left.\frac{\partial^2}{\partial s\partial t}\left[F(v + sX + tY)^2\right]\right|_{s=t=0}</math>
である。これは {{math|''v''}} における {{math|''F''}} の基本テンソルとも呼ばれる。強い凸性は、{{math|{{frac|''u''|''F''(''u'')}} &ne; {{frac|''v''|''F''(''v'')}}}} の場合に厳密な不等式による劣加法性を意味する。 {{math|''F''}} が強い凸性を持つならばそれは接空間のミンコフスキーノルムである。

さらに、
* 任意の接ベクトル {{mvar|v}} に対して {{math|''F''(−''v'') {{=}} ''F''(''v'')}}
のとき、フィンスラー計量は'''可逆'''であるという。可逆なフィンスラー計量は接空間の (通常の意味での) [[ノルム]]を定義する。

==例==
* 有限次元の[[ノルム線型空間]]の滑らかな部分多様体 (開部分集合を含む) は、ベクトル空間のノルムが原点の外側で滑らかならばフィンスラー多様体である。
* （[[擬リーマン多様体]]ではない）[[リーマン多様体]]はフィンスラー多様体の特殊なケースである。

=== ランダース多様体 ===
{{math|(''M'', ''a'')}} をリーマン多様体とし、{{mvar|b}} を {{mvar|M}} 上の[[微分形式|微分 1 形式]]で
:<math>\|b\|_a := \sqrt{a^{ij}b_i b_j} < 1,</math>
を満たすものとする。ここで {{math|''a''{{sup|''ij''}}}} は {{math|''a''{{sub|''ij''}}}} の逆行列である。[[アインシュタインの縮約記法]]を用いている。すると
:<math>F(x, v) := \sqrt{a_{ij}(x)v^i v^j} + b_i(x)v^i</math>
は {{mvar|M}} 上の'''ランダース計量'''を定義し、{{math|(''M'', ''F'')}} は非可逆フィンスラー多様体の特殊なケースであるランダース多様体である<ref>{{cite journal |first=G. |last=Randers |author-link=Gunnar Randers |year=1941 |title=On an Asymmetrical Metric in the Four-Space of General Relativity |journal=[[Physical Review|Phys. Rev.]] |volume=59 |issue=2 |pages=195–199 |doi=10.1103/PhysRev.59.195 |hdl=10338.dmlcz/134230 |hdl-access=free }}</ref>。

=== 滑らかな準距離空間 ===
{{math|(''M'', ''d'')}} を[[距離空間#準距離|準距離]]とする。つまり {{mvar|M}} は可微分多様体であり、{{mvar|d}} は {{mvar|M}} の微分構造と次の意味での互換性をもつ：
* {{mvar|M}} の任意の点 {{mvar|z}} の近傍で滑らかな {{mvar|M}} の[[座標近傍|チャート]] {{math|(''U'', &varphi;)}} と定数 {{math|''C'' &ge; 1}} が存在して、任意の {{math|''x'', ''y'' &isin; ''U''}} に対して次が成り立つ：
*: <math> \frac{1}{C}\|\phi(y) - \phi(x)\| \leq d(x, y) \leq C\|\phi(y) - \phi(x)\|.</math>
* 関数 {{math|''d'': ''M''&times;''M'' &rarr; [0, &infin;]}} がいくつかpunctureされた対角の近傍の中で滑らか。

するとフィンスラー関数 {{math|''F'': T''M'' &rarr; [0, &infin;]}} を
:<math>F(x, v) := \lim_{t \to 0+} \frac{d(\gamma(0), \gamma(t))}{t}</math>
で定義できる。ここで {{math|&gamma;}} は {{mvar|M}} の任意の曲線で {{math|&gamma;(0) {{=}} ''x''}} かつ {{math|&gamma;&prime;(0) {{=}} ''v''}} を満たす。このように得られたフィンスラー関数 {{mvar|F}} は {{mvar|M}} の接空間で非対称な（通常は非ミンコフスキー）ノルムに制限される。もともとの準距離から誘導されたintrinsicな計量 {{math|''d''<sub>''L''</sub>: ''M''&times;''M'' &rarr; [0, &infin;]}} は
:<math>d_L(x, y) := \inf\left\{\ \left.\int_0^1 F\left(\gamma(t), \dot\gamma(t)\right) \, dt \ \right| \ \gamma\in C^1([0, 1], M) \ , \ \gamma(0) = x \ , \ \gamma(1) = y \ \right\}</math>
で復元でき、実際、任意のフィンスラー関数 {{math|''F'': T''M'' &rarr; [0, &infin;)}} からこの式によって {{mvar|M}} 上のintrinsicな準計量 {{mvar|d{{sub|L}}}} を定義できる。

== 測地線 ==
{{mvar|F}} の均一性により、{{mvar|M}} 上の微分可能な曲線 {{math|&gamma;: [''a'', ''b''] &rarr; ''M''}} の長さ
:<math>L[\gamma] := \int_a^b F\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\mathrm{d}t</math>
は、正方向の再パラメーター化の下で不変である。等速曲線 {{math|&gamma;}} は、もしその十分に短いセグメント {{math|&gamma;{{!}}<sub>[''c'',''d'']</sub>}} が {{math|&gamma;(''c'')}} から {{math|&gamma;(''d'')}} までの長さを最小化するなら、フィンスラー多様体の測地線である。同様に、もしエネルギー汎関数
:<math>E[\gamma] := \frac{1}{2}\int_a^b F^2\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\mathrm{d}t</math>
が固定端点 {{math|&gamma;(''a'') {{=}} ''x'', &gamma;(''b'') {{=}} ''y''}} をもつ微分可能な曲線 {{math|&gamma;}} 上でその[[汎関数微分]]が消えるという意味で定常なら、{{math|&gamma;}} は測地線である。

=== フィンスラー多様体上の正準スプレー構造 ===
エネルギー汎関数 {{math|''E''[''&gamma;'']}} の[[オイラー・ラグランジュ方程式]]は {{math|T''M''}} の局所座標系 {{math|(''x''<sup>1</sup>, ..., ''x''<sup>''n''</sup>, ''v''<sup>1</sup>, ..., ''v''<sup>''n''</sup>)}} で
:<math>
  g_{ik}\Big(\gamma(t), \dot\gamma(t)\Big)\ddot\gamma^i(t) + \left(
               \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}\Big(\gamma(t), \dot\gamma(t)\Big) -
    \frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\Big(\gamma(t), \dot\gamma(t)\Big)
  \right) \dot\gamma^i(t)\dot\gamma^j(t) = 0
</math>
である。ここで {{math|''k'' {{=}} 1, ..., ''n''}}、また {{mvar|g{{sub|ij}}}} は次で定義される基本テンソルの座標表現である：
:<math>
g_{ij}(x,v) := g_v\left(\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_x, \left.\frac{\partial}{\partial x^j}\right|_x\right).
</math>

{{math|''v'' &isin; T{{sub|''x''}}''M''}} に関して {{math|''F''{{sup|2}}(''x'', ''v'')}} に{{仮リンク|強い凸性|en|Convex function#Strongly convex functions}}を仮定すると、行列 {{math|''g''{{sub|''ij''}}(''x'', ''v'')}} は[[正則行列|正則]]であり、その逆行列は {{math|''g''{{sup|''ij''}}(''x'', ''v'')}} と表される。すると {{math|&gamma;: [''a'', ''b''] &rarr; ''M''}} が {{math|(''M'', ''F'')}} の測地線である必要十分条件は、接曲線 {{math|&gamma;&prime;: [''a'', ''b''] &rarr; T''M''&setminus;{0}}} が {{math|T''M''&setminus;{0}}} 上で次式によって局所的に定義された滑らかな[[ベクトル場]] {{mvar|H}} の積分曲線であることである：
:<math>
\left.H\right|_{(x, v)} := \left.v^i\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_{(x,v)}\!\! - \left.2G^i(x, v)\frac{\partial}{\partial v^i}\right|_{(x,v)},
</math>
ここで局所スプレー係数 {{mvar|G{{sup|i}}}} は次式で与えられる：
:<math>
G^i(x, v) := \frac{1}{4}g^{ij}(x, v)\left(2\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^\ell}(x, v) - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^j}(x, v)\right)v^k v^\ell.
</math>

{{math|T''M''&setminus;{0}}} 上のベクトル場 {{mvar|H}} は {{math|''JH'' {{=}} ''V''}} および {{math|[''V'', ''H''] {{=}} ''H''}} を満たす。ここで {{math|''J'', ''V''}} は {{math|T''M''&setminus;{0}}} の{{仮リンク|正準準同型|en|double tangent bundle#Canonical tensor fields on the tangent bundle}}および正準ベクトル場である。したがって定義より {{mvar|H}} は {{mvar|M}} 上の{{仮リンク|スプレー (数学)|label=スプレー|en|spray (mathematics)}}である。スプレー {{mvar|H}} は垂直投影を介して[[ファイバー束]] {{math|T''M''&setminus;{0} &rarr; ''M''}} に[[:en:Ehresmann connection|非線形接続]]を定義する。
:<math>v: T(\mathrm{T}M \setminus \{0\}) \to T(\mathrm{T}M \setminus \{0\});\quad v := \frac{1}{2}\big(I + \mathcal{L}_H J\big).</math>

リーマン多様体の場合と同様、{{仮リンク|Ehresmann曲率|en|Ehresmann connection}}と非線形共変微分に関して、一般的なスプレー構造 {{math|(''M'', ''H'')}} に対する[[:en:Jacobi field|ヤコビ方程式]]のバージョン
:<math>D_{\dot\gamma}D_{\dot\gamma}X(t) + R_{\dot\gamma}\left(\dot\gamma(t), X(t)\right) = 0</math>
が存在する。

=== 測地線の一意性と最小化の性質 ===
{{仮リンク|Hopf-Rinowの定理|en|Hopf–Rinow theorem}}により、{{math|(''M'', ''F'')}} 上には長さを最小化する曲線が (少なくとも十分に近い近傍で) 常に存在する。 長さを最小化する曲線は正の値で再パラメータ化して測地線にすることが常にでき、どの測地線も {{math|''E''[&gamma;]}} に対してオイラー・ラグランジュ方程式を満たさなければならない。{{math|''F''{{sup|2}}}} の強い凸性を仮定すると、積分曲線の一意性により、任意の {{math|(''x'', ''v'') &isin; T''M''&setminus;{{mset|0}}}} に対して {{math|&gamma;(0) {{=}} ''x''}} および {{math|&gamma;&prime;(0) {{=}} ''v''}} を満たす最大の測地線 {{math|&gamma;}} が一意に存在する。

{{math|''F''{{sup|2}}}} が強い凸性をもつなら、測地線 {{math|&gamma;: [0, ''b''] &rarr; ''M''}} は、{{math|&gamma;}} に沿って {{math|&gamma;(0)}} に[[:en:Conjugate points|共役]]する最初の点 {{math|&gamma;(''s'')}} まで、近くの曲線間で長さを最小化し、リーマン多様体の場合のように、{{math|''t'' > ''s''}} の場合、{{math|&gamma;}}の近くに{{math|&gamma;(0)}} から {{math|&gamma;(''t'')}} までのより短い曲線が常に存在する。

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
*{{Citation | editor1-last=Antonelli | editor1-first=Peter L. | title=Handbook of Finsler geometry. Vol. 1, 2 | url=https://books.google.com/books?id=b2B5_IUvPJgC | publisher=Kluwer Academic Publishers | location=Boston | isbn=978-1-4020-1557-1 | mr=2067663 | year=2003}}
* {{cite book|first1=David|last1= Bao| first2=Shiing-Shen |last2=Chern| authorlink2= Shiing-Shen Chern|first3= Zhongmin|last3=Shen|title=An introduction to Riemann–Finsler geometry|series=Graduate Texts in Mathematics|volume= 200|publisher= Springer-Verlag|location=New York|year= 2000|isbn=0-387-98948-X|mr=1747675|doi=10.1007/978-1-4612-1268-3}}
*{{Citation | last1=Cartan | first1=Élie | author1-link=エリ・カルタン | title=Sur les espaces de Finsler | zbl=0006.22501 | year=1933 | journal=[[Comptes rendus de l'Académie des Sciences|C. R. Acad. Sci. Paris]]  | volume=196 | pages=582–586}}
* {{citation|first=Shiing-Shen |last=Chern| authorlink= Shiing-Shen Chern|  title=Finsler geometry is just Riemannian geometry without the quadratic restriction|journal= [[Notices of the American Mathematical Society]]|volume= 43 |year=1996|issue=9|pages=959–63|url=https://www.ams.org/notices/199609/chern.pdf|mr=1400859}}
*{{Citation | last1=Finsler | first1=Paul | title=Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen | publisher=Göttingen | series=Dissertation | jfm=46.1131.02 | year=1918}} (Reprinted by Birkhäuser (1951))
* {{cite book|first=Hanno|last= Rund|authorlink=Hanno Rund|title=The differential geometry of Finsler spaces|publisher= Springer-Verlag|series=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|volume=101| location=Berlin–Göttingen–Heidelberg| year= 1959|mr=0105726| doi=10.1007/978-3-642-51610-8|isbn=978-3-642-51612-2}}
* {{cite book|first=Zhongmin|last= Shen|title=Lectures on Finsler geometry|publisher= World Scientific|location=Singapore|year= 2001|isbn=981-02-4531-9|mr=1845637|doi=10.1142/4619}}

==外部リンク==
* {{springer|title=Finsler space, generalized|id=p/f040420}}
* [https://finsler.blogspot.com/ The (New) Finsler Newsletter]

{{DEFAULTSORT:ふいんすらあたようたい}}
[[Category:滑らかな多様体]]
[[Category:数学に関する記事]]