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'''フェルマーの原理'''（フェルマーのげんり、{{lang-en|Fermat's principle}}）とは、[[幾何光学]]における基礎[[原理]]のひとつ。

光は[[光学的距離]]が最短になる経路、すなわち進むのにかかる時間の停留点になる経路を通る、という原理。この原理から、光の直進性、反射の法則、屈折の[[スネルの法則]]といった幾何光学の法則が導かれる。

1661年に[[ピエール・ド・フェルマー|フェルマー]]が発見したため、この名がある。反射の場合に限れば、古代の[[アレクサンドリアのヘロン]]が『反射光学』で平面鏡と凸球面鏡の場合に証明している<ref>Heath, T., A History Of Greek Mathematics Vol II, 1921, Oxford At The Clarendon Press,  pp. 352-354.　https://archive.org/details/historyofgreekma029268mbp</ref>。

[[変分原理]]のひとつ。

[[波動光学]]を用いて正当化することができる。すなわち、微小な変位で位相が急激に変化する経路は、他の経路と弱めあうため、あまり寄与しない。一方、停留点近傍の経路は互いに強めあう。

「最少時間の原理」とも言う。しかし、例えば平面鏡の反射に相当する経路は、極小であって最少ではない。凹面鏡の反射の場合は（経路を鏡面上の一点を経由する折れ線に限ると最大になるので）鞍点になる。いずれも、時間最小を達成する経路は、二点を結ぶ直線経路である。

== 現代バージョン ==
x,y,zをデカルト座標とし、オーバードットがsに関する微分を表す場合、フェルマーの原理は次のように書ける。<ref>[[#Chaves16|Chaves, 2016]], p.{{nnbsp}}581.</ref>
<math display="block">\begin{align}
 \delta S
 &=\,\delta\int_A^B\!n_{\mathrm{r}}\,\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}\\
 &=\,\delta\int_A^B\!n_{\mathrm{r}}\,\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2}~ds
 \,=\,0\,.
 \end{align}</math>

等方性媒質の場合，{{math|''n''<sub>r</sub>}}を法線屈折率{{hsp}}に置き換えることができる．{{math|''n''<sub>r</sub>}}は単に[[スカラー場]]である。次に''光学的[[ラグランジュ力学|ラグランジュ]]を定義する:
<math display="block">L\big(x(z),y(z),\dot{x}(z),\dot{y}(z),z\big) = n(x,y,z)\,\sqrt{1+\dot{x}^2+\dot{y}^2}\,,</math>
そして、
<math display="block">\delta S =\, \delta\int_A^B\!L(x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z})\,ds\,=\,0\,.</math>


== 脚注 ==
{{reflist}}

==関連項目==
*[[変分法]]
* [[アイコナール方程式]]

{{sci-stub}}

{{DEFAULTSORT:ふえるまあのけんり}}
[[category:光学]]
[[Category:幾何光学]]
[[Category:変分法]]
[[Category:ピエール・ド・フェルマー]]