フェルミの黄金律のソースを表示

'''フェルミの黄金律'''（フェルミのおうごんりつ、{{Lang-en-short|Fermi's golden rule}}）または'''フェルミの黄金則'''（フェルミのおうごんぞく）とは、[[量子系]]のある[[エネルギー固有状態]]から別のエネルギー固有状態への単位時間あたりの[[遷移確率]]を、[[摂動法]]の最低次数の近似によって計算する方法である。

== 概要 ==
ある[[ハミルトニアン]] <math>\hat{H_0}</math> の[[固有状態]] <math>| i\rangle</math> であった系に、<math>\hat{H'}</math>で表される摂動が加えられた場合を考える。

もし <math>\hat{H'}</math> が時間依存しない場合、系は始状態と同じエネルギーを持つエネルギー固有状態に遷移する。

もし <math>\hat{H'}</math> が時間の関数として[[角振動数]] <math>\omega</math> で振動する場合、系は始状態からエネルギーが <math>\hbar\omega</math> だけ異なるエネルギー固有状態に遷移する。

どちらの場合でも、始状態 <math>| i\rangle</math> から終状態の組 <math>| f\rangle</math> への単位時間あたりの遷移確率は、一次の摂動まで考慮すると、以下の'''フェルミの黄金律'''で与えられる。
: <math> T_{i \rightarrow f}= \frac{2 \pi} {\hbar}  \left | \langle f|\hat{H'} |i  \rangle \right |^{2} \rho</math>
ここで、<math>\rho</math> は 終状態の[[状態密度]]（単位エネルギーあたりの状態数）、<math> \langle f|\hat{H'}|i  \rangle </math> は<math>\hat{H'} </math>をエネルギー固有状態で[[行列表示]]した時の、始状態と終状態についての[[行列要素]]で'''[[遷移モーメント]]'''と呼ばれる。この遷移確率は崩壊確率とも呼ばれ、平均寿命と関連がある。

この方程式を導出する最も一般的な方法は、時間依存の摂動論から出発し、遷移に必要な時間より測定の時間がはるかに大きいという仮定をおくことである。

フェルミの名前が入っているが、黄金律を導く大半の仕事は[[ディラック]]によって成された<ref>{{Cite journal
 | last = Dirac
 | first = P.A.M.
 | authorlink =
 | title = The Quantum Theory of Emission and Absorption of Radiation
 | journal = Proc. Roy. Soc. (London) A
 | volume = 114
 | pages = 243–265
 | date=1 March 1927
 | issue = 767
 | doi = 10.1098/rspa.1927.0039
 | jstor=94746
 |bibcode = 1927RSPSA.114..243D
}} See equations (24) and (32).</ref>。ディラックは、定数、摂動の行列要素、エネルギー差の3つから成る、ほぼ同等の定式化をした。名前は、フェルミがこの便利な関係式を「第二の[[黄金律]]だ。」と言ったことに由来する
<ref>{{Cite book
 | last = Fermi
 | first = E.
 | title = Nuclear Physics
 | publisher = University of Chicago Press
 | year = 1950
}}</ref>。これはいわゆる[[スティグラーの法則|スティグラーの名前由来の法則]]の一例である。

フェルミの黄金律に含まれているのは行列要素<math> \langle f|\hat{H'}|i  \rangle</math>の絶対値のみだが、この行列要素の位相には遷移過程についての別の情報が含まれている。これは電子輸送における[[半古典論|半古典的]]な[[ボルツマン方程式]]における黄金律を補足するものである<ref name='sinitsyn-08jpa'>{{Cite journal
|title=Coordinate Shift in Semiclassical Boltzmann Equation and Anomalous Hall Effect
|author=N. A. Sinitsyn, Q. Niu and A. H. MacDonald
|journal=Phys. Rev. B
|volume=73
|year=2006
|pages=075318
|arxiv=cond-mat/0511310
|doi=10.1103/PhysRevB.73.075318
|bibcode = 2006PhRvB..73g5318S
|issue=7
}}</ref><!-- N.A. Sinitsyn 2006 -->。

==導出==
摂動ハミルトニアンが時間に周期的に依存しているとする。
:<math>\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}'(t), \hat{H}'(t) = \hat{H}' e^{-i \omega t}</math>
[[シュレーディンガー描像|シュレーディンガー表示]]では時間発展は[[時間依存シュレーディンガー方程式]]に従う。
:<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} | \psi(t) \rangle = \left[ \hat{H}_0 + \hat{H}'(t) \right] | \psi(t) \rangle</math>
この式を[[相互作用表示]]に書き換える。相互作用表示での状態ベクトルとハミルトニアンは、
:<math>\begin{align}
| \psi(t)_\mathrm{I} \rangle &= e^{i \hat{H}_0 t / \hbar} | \psi(t) \rangle \\
\hat{H}'_\mathrm{I}(t) &= e^{i \hat{H}_0 t / \hbar} \hat{H}'(t) e^{-i \hat{H}_0t / \hbar}
\end{align}</math>
なので、シュレーディンガー方程式は、
:<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} | \psi(t)_\mathrm{I} \rangle = \hat{H}'_\mathrm{I}(t) | \psi(t)_\mathrm{I} \rangle</math>
これを形式的に解いて、
:<math>| \psi(t)_\mathrm{I} \rangle = | \psi(0)_\mathrm{I} \rangle - \frac{i}{\hbar} \int_{0}^{t} dt' \hat{H}'_\mathrm{I}(t') | \psi(t')_\mathrm{I} \rangle</math>
右辺の<math>| \psi(t)_\mathrm{I} \rangle</math>にこの式を繰り返し代入して、[[摂動展開]]する。1次の項で打ち切ると、
:<math>| \psi(t)_\mathrm{I} \rangle = \left( 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{0}^{t} dt' \hat{H}'_\mathrm{I}(t') \right) | \psi(0)_\mathrm{I} \rangle</math>
ここで再び[[シュレーディンガー描像|シュレーディンガー表示]]に書き換えると、
:<math>| \psi(t) \rangle = e^{-i \hat{H}_0 t / \hbar} \left( 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{0}^{t} dt' e^{i \hat{H}_0 t' / \hbar} \hat{H'}(t') e^{-i \hat{H_0} t' / \hbar} \right) | \psi(0) \rangle</math>
時間<math>t</math>における始状態<math>\psi(0) = \psi_\mathrm{i}</math>から終状態<math>\psi_\mathrm{f}</math>への[[遷移振幅]]<math>\langle \psi_\mathrm{f} | \psi(t) \rangle </math>は

:<math>\begin{align}
  \langle \psi_\mathrm{f} | \psi(t) \rangle
  &= - \frac{i}{\hbar} \int_{0}^{t} dt'
  \langle \psi_\mathrm{f} | e^{- i \hat{H}_0 (t - t') / \hbar} \hat{H'}(t') e^{-i \hat{H_0} t' / \hbar} | \psi_\mathrm{i} \rangle \\
  &= - \frac{i}{\hbar} e^{- i E_\mathrm{f} t / \hbar}
  \langle \psi_\mathrm{f} | \hat{H'} | \psi_\mathrm{i} \rangle
  \int_{0}^{t} dt' e^{i (E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega) t' / \hbar} \\
  &= -2 i e^{ i (E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega) t / 2 \hbar}
  \frac{\langle \psi_\mathrm{f} | \hat{H'} | \psi_\mathrm{i} \rangle}{E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega}
  \sin \frac{(E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega) t}{2 \hbar}
\end{align}
</math>

ここで、<math>E</math> は無摂動ハミルトニアンの固有エネルギー (<math>\hat{H}_0 | \psi_\mathrm{f,i} \rangle = E_\mathrm{f,i} | \psi_\mathrm{f,i} \rangle</math>) である。摂動が加わって充分時間が経過した後の遷移確率 <math>p_{\mathrm{f} \gets \mathrm{i}}(t) = \left| \langle \psi_\mathrm{f} | \psi(t) \rangle \right|^2 </math>は、

:<math>\begin{align}
  p_{\mathrm{f} \gets \mathrm{i}}(t)
  &= 4 \frac{\left| \langle \psi_\mathrm{f} | \hat{H'} | \psi_\mathrm{i} \rangle \right|^2}{(E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega)^2}
  \sin^2 \frac{(E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega) t}{2 \hbar} \\
  &\to \frac{2 \pi t}{\hbar} \left| \langle \psi_\mathrm{f} | \hat{H'} | \psi_\mathrm{i} \rangle \right|^2 \delta (E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega)
  \quad (t \to \infty)
\end{align}</math>

<math>\sin^2 (kx) / k x^2 \to \pi \delta (x) ~(k \to \infty)</math>を用いた。したがって、単位時間あたりの遷移確率 <math>T_{\mathrm{f} \gets \mathrm{i}} = p_{\mathrm{f} \gets \mathrm{i}} / t</math> は

:<math> T_{\mathrm{f} \gets \mathrm{i}}
= \frac{2 \pi}{\hbar} \left| \langle \psi_\mathrm{f} | \hat{H'} | \psi_\mathrm{i} \rangle \right|^2
\delta(E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega) </math>

となる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|author=小出昭一郎|title=量子力学(II) （改訂版）|series=基礎物理学選書|date=|year=1990|publisher=[[裳華房]]|ISBN=4-7853-2133-4}}

== 関連項目 ==
* [[エンリコ・フェルミ]]
* [[遷移モーメント]]

== 外部リンク ==
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/fermi.html More information on Fermi's golden rule]
* [http://www.ph.utexas.edu/~schwitte/PHY362L/QMnote.pdf Derivation using time-dependent perturbation theory]
* [https://www.scienceopen.com/document/vid/cdf576df-bf02-47a2-b17e-21283b806b11?0 Derivation using the Poisson summation formula in a special case]

{{DEFAULTSORT:ふえるみのおうこんりつ}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:エンリコ・フェルミ]]
[[Category:物理学のエポニム]]