フェルミ分布関数のソースを表示

{{Expand English|date=2024年8月}}
{{統計力学}}
[[Image:FD_e_mu.svg|thumb|right|250px|温度ごとのフェルミ分布関数]]
'''フェルミ分布関数'''（フェルミぶんぷかんすう、{{Lang-en-short|Fermi distribution function}}）とは、相互作用のない[[フェルミ粒子]]の系において、一つの[[エネルギー準位]]にある粒子の数（[[占有数]]）の分布を与える理論式である<ref name=sinka>東京大学　知の構造化センター「物性物理学入門 (進化する教科書 Wiki)」[http://utht.t.u-tokyo.ac.jp:8080/mediawiki/index.php/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9F%E5%88%86%E5%B8%83%E3%81%A8%E7%8A%B6%E6%85%8B%E5%AF%86%E5%BA%A6]{{リンク切れ|date=2019年11月}}</ref>。'''フェルミ・ディラック分布'''とも呼ばれる。

== 定義 ==
理想フェルミ気体の[[逆温度]]{{mvar|&beta;}}、[[化学ポテンシャル]]{{mvar|&mu;}}、連続変数としてのエネルギー{{mvar|&epsilon;}}を用いて
:<math>f(\epsilon) = \frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\epsilon-\mu)} +1}</math>
と定義される関数を'''フェルミ分布関数'''と呼ぶ。フェルミ分布関数は {{math|0}} から {{math|1}} の間の値をとる。

== 低温でのふるまい ==
[[絶対零度]]（{{math|''T''&rarr;0}}, {{math|''&beta;''&rarr;&infin;}}）の極限では、フェルミ分布関数は[[ヘヴィサイドの階段関数]]を用いて
{{Indent|
<math>\lim_{\beta\to\infty}f(\epsilon) =\theta(\mu -\epsilon) =
\begin{cases}
 1 & (\epsilon < \mu) \\
 1/2 & (\epsilon = \mu) \\
 0 & (\epsilon > \mu) \\
\end{cases}</math>
}}
となる。このときの化学ポテンシャルを[[フェルミエネルギー]]と呼ぶ。

== 占有数としての意味 ==
[[量子数]]{{mvar|&nu;}}で指定されるエネルギー準位{{mvar|&epsilon;{{sub|&nu;}}}}を占有しているフェルミ粒子の個数 {{mvar|n{{sub|&nu;}}}}の統計的期待値{{math|⟨''n''{{sub|''ν''}}⟩}}を考える。占有数はマクロな観測量では無いが、期待値を求めておくと量子理想気体などの解析に便利である<ref>{{Cite book|和書|author=田崎晴明|authorlink=田崎晴明|title=統計力学II|publisher=[[培風館]]|series=新物理学シリーズ|year=2008|isbn=4563024384}}</ref>。{{math|⟨''n''{{sub|''ν''}}⟩}}を[[大正準集団|グランドカノニカル分布]]で求めると、以下のようになる<ref>[[伏見康治]]「[http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/sites/default/files/ebook/204/pdf/ch09-01.pdf 確率論及統計論]{{リンク切れ|date=2019年11月}}」第IX章 量子統計力学 §75. Fermi統計法，Bose統計法 p.&nbsp;430.</ref>。

:<math>\langle n_\nu \rangle =f(\epsilon_\nu)\equiv \frac{1}{\mathrm{e}^{\beta(\epsilon_\nu-\mu)} +1}</math>

つまりフェルミ分布関数の{{mvar|&epsilon;}}に占有数の期待値を求めたい準位のエネルギー{{mvar|&epsilon;{{sub|&nu;}}}}を入れると占有数の期待値が求まる。フェルミ分布関数が {{math|0}} から {{math|1}} までの値しかとれないことは、[[パウリの排他原理]]によりフェルミ粒子が一つの準位には一つまでしか占有できないこととも整合している。

=== 注意点 ===
実際にフェルミ分布関数を用いる場合には、準位が存在しないエネルギー{{mvar|&epsilon;}}でのフェルミ分布関数を考えることがある。しかしそのような場合、準位が存在しないエネルギー領域でのフェルミ分布関数の値に占有数としての意味は無い。

たとえば半導体や絶縁体中の電子を考える際、フェルミエネルギーがエネルギーギャップ中に存在するため、[[エネルギーギャップ]]中まで拡張したフェルミ分布関数を考えることが多い。

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
* {{cite book|和書|author=高田康民|authorlink=高田康民|title=多体問題|series=[[朝倉物理学大系]]|year=1999|publisher=[[朝倉書店]]|isbn=978-4-254-13679-1}}
* {{cite book|last=Kittel|author=|first=Charles|title=キッテル固体物理学入門|edition=8|series=|date=|year=2005|publisher=[[丸善出版]]|translator=宇野良清、津屋昇、新関駒二郎、森田章、山下次郎|location=|isbn=978-4-621-07653-8}}

==関連項目==
* [[粒子統計]]
** [[ボルツマン分布|ボルツマン統計]]
** [[ボース分布関数|ボース統計]]
* [[フェルミ縮退]]
* [[状態密度]]
* [[シグモイド関数]]

{{DEFAULTSORT:ふえるみふんふかんすう}}
[[Category:統計力学]]
[[Category:量子力学]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:エンリコ・フェルミ]]
[[Category:ポール・ディラック]]
[[Category:物理学のエポニム]]