フォイエルバッハの定理のソースを表示

[[ファイル:Circ9pnt3.svg|サムネイル|フォイエルバッハの定理]]
[[幾何学]]において、'''フォイエルバッハの定理'''（フォイエルバッハのていり、{{Lang-en-short|Feuerbach's theorem}}、{{Lang-de-short|Satz von Feuerbach}}）は、[[三角形]]の[[九点円]]と[[三角形の内接円と傍接円|内接円ないし傍接円]]が[[接する]]という[[定理]]である{{Sfnm|1a1=Sherman|1y=2021|1pp=44-46|2a1=Davis|2y=1919}}。[[カール・フォイエルバッハ]]の名を冠する。

フォイエルバッハの定理は平面幾何学の中で最も美しい定理の一つに数えられる{{Sfn|小林|1958}}。
== 主張 ==
[[ファイル:01-Dreieck, gleichseitig Feuerbachkreis.svg|サムネイル|[[正三角形]]の[[内接円]]。内接円と九点円は一致する。]]
三角形の辺の各[[中点]]、頂点と[[垂心]]の中点、三角形の頂点から対辺に降ろした[[垂線]]の足は[[共円]]である。この円を[[九点円]]という。[[半径]]は、[[外接円]]の半径の半分である。

三角形の3辺に、内接する円を[[内接円]]という。三角形の3辺の1つと内部で接し、2つと外部で接する円を[[傍接円]]という。

非[[正三角形]]の九点円と、内接円または傍接円は[[接する]]{{Sfn|Krishna|2016}}。これを'''フォイエルバッハの定理'''という。内接円と九点円の接点は、[[フォイエルバッハ点]]と呼ばれる。

正三角形の九点円と内接円は一致するため{{Sfn|Akopyan|Zaslavsky|2009}}、厳密にいえば、正三角形に対して内接円と九点円は接するということはない{{Sfn|Morton|2017}}。これは、正三角形の場合は例外として排除するか{{Sfn|Guinand|1985}}、[[極限]]の場合として見る{{Sfn|Mackay|1892|pp=54}}ことで解決できる{{Efn|参考文献の中には、「正三角形を除き」のような文言を書いていないものも少なくない（{{仮リンク|一般の位置|en|General position}}を暗に仮定している）。}}。

== 歴史 ==
{{See also|九点円#歴史}}
[[ファイル:Karl Wilhelm Feuerbach.jpg|サムネイル|235x235ピクセル|カール・ヴィルヘルム・フォイエルバッハ]]
[[ファイル:Tangent circles in Feuerbach's theorem.jpg|サムネイル|235x235ピクセル|右|ウィルキンソンの提起した問題。垂心系を成す4点からなる4つの三角形の九点円は一致する。]]
フォイエルバッハの定理の歴史は{{仮リンク|ジョン・スタージャン・マッケイ|en|John Sturgeon Mackay}}の九点円に関する作品 ''History of the Nine-point Circle'' に詳しい{{Sfnm|1a1=Mackay|1y=1892|2a1=Johnson|2y=1929|2p=196}}<ref>{{Cite web |url=https://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMT668.Folders.F97/Anderson/geometry/geometry1project/historyofninepointcircle/history.html |title=History of the Nine Point Circle |access-date=2024-12-14}}</ref>。{{仮リンク|マックス・シモン (数学者)|en|Max Simon (mathematician)|de|Max Simon (Mathematiker)|label=マックス・シモン}}の書籍{{Sfn|Simon|1906}}にも、フォイエルバッハの定理の歴史や作品がまとめられている。

フォイエルバッハの定理は、1822年のカール・フォイエルバッハのモノグラフ ''Eigenschaften einiger merkwiirdigen Punkte des geridlinigen Dreiecks'' の§57で初めて証明された{{Sfn|Feuerbach|Buzengeiger|1822}}。フォイエルバッハによる証明は九点円の中心と内心の距離を計算する方法による。1828年、[[ヤコブ・シュタイナー]]は ''[[Annales de Gergonne]]'' でフォイエルバッハの功績について知らぬまま定理について述べた{{Sfn|Steiner|1828}}。その後彼は論文 ''Die geometrischen Con structionen, ausgefuhrt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises'' の最後の脚注でフォイエルバッハにこの定理を帰した{{Sfn|Steiner|1833|p=110}}。

フォイエルバッハの論文は即座に広まらなかったため、再発見をする者も存在した{{Sfn|Simon|1906}}。1842年、[[オルリー・テルケム]]が解析的な証明でフォイエルバッハの定理を再発見した{{Sfn|Terquem|1842}}。[[初等幾何学]]的証明は、雑誌 ''[[Nouvelles Annales de Mathématiques|Nouvelles Annales]]'' における1850年のJ. メンションの作品 ''Note sur le triangle rectiligne'' で示された{{Sfn|Mention|1850}}。1854年に、W. H. レヴィが ''{{仮リンク|The Lady's and Gentleman's Diary|en|The Lady's and Gentleman's Diary}}'' において、2つ目の初等的証明を示した{{Sfn|Levy|1854}}。同年同雑誌で、 T. T. ウィルキンソンは、{{仮リンク|垂心系|en|Orthocentric system}}を成す4つの三角形の内接円と傍接円の延べ16円が、九点円に接するという問題を投げかけた{{Sfn|Wilkinson|1854}}{{Efn|{{Math|△''ABC''}}の[[垂心]]を{{Mvar|H}}とすると、{{Math|△''BCH''}}の辺の各中点は、{{Mvar|BC, BH, CH}}の各中点であるから、{{Math|△''ABC''}}と{{Math|△''BCH''}}の九点円は一致する。同様に{{Math|△''CAH''}}、{{Math|△''ABH''}}の九点円も一致することが分かる。}}。これは、1855年の同雑誌で解決された{{Sfn|Wilkinson|Amicus|Collins|Levy|1855}}。1860年頃{{Sfn|Simon|1906}}、[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン]]によってフォイルバッハの定理が再発見された{{Sfn|Casey|1861}}。1860年6月17日、[[ジョージ・サーモン]]は、''[[The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics]]'' で、フォイエルバッハの定理について、次の様に述べた{{Sfn|Salmon|1861}}。
<blockquote>" The following elementary theorems may interest some of the readers of the Quarterly Journal..."</blockquote>
1864年、[[ジョン・ケイシー (数学者)|ジョン・ケイシー]]は、''Quarterly Journal'' で、現在[[ケイシーの定理]]と呼ばれる定理を用いてフォイエルバッハの定理を示した{{Sfn|Casey|1864}}。ケイシーの書籍 ''Sequel to Euclid'' にも、証明が示されている{{Sfn|Casey|1886|pp=105-106}}。

{{仮リンク|ハインリヒ・シュレーター|en|Heinrich Schröter|de|Heinrich Schröter}}は1868年にその時点で定理を拡張できるような証明方法がないことを述べた{{Sfnm|1a1=Schröter|1y=1868|2a1=Lappe|2y=1870}}。1874年の論文ではフォイエルバッハやケイシー、{{仮リンク|リヒャルト・バルツァー (数学者)|de|Richard Baltzer (Mathematiker)|label=バルツァー}}{{Sfn|Baltzer|1870}}の証明をあくまで代数的で本質が欠けると指摘し、自身で純粋幾何学的な証明を行った{{Sfn|Schröter|1874}}{{Efn|1886年、証明の誤りがLangeによって訂正されている{{Sfn|Lange|1886}}。}}。

1882年、[[ヴィルヘルム・フィードラー]]は 円点投象法{{Efn|円点投影法とも訳される。空間の[[直交座標系]]の{{Mvar|xy}}平面において、中心{{Math|(''x ,y'')}}、半径{{Mvar|r}}の有向円を点{{Math|(''x , y , r'')}}に対応させる手法{{Sfn|窪田|1947|page=110}}。}}（Zyklographie）と呼ばれる空間的な手法によって証明を試みた{{Sfn|Fiedler|1882}}。フィードラーの証明は一部不足があった。この不足は1911年に{{仮リンク|エミール・ミュラー (数学者)|en|Emil Müller (mathematician)|label=ミュラー|de|Emil Müller (Mathematiker)}}によって修正され{{Sfn|Müller|1911}}、更に1922年、{{仮リンク|ヤン・ソボトカ (数学者)|cs|Jan Sobotka (matematik)|label=ヤン・ソボトカ}}によって単純な解法が示された{{Sfn|Sobotka|1922}}。

他に、C. Leudesdorf（1884）{{Sfn|Leudesdorf|1884}}、{{仮リンク|サミュエル・ロバーツ (数学者)|en|Samuel Roberts (mathematician)|label=サミュエル・ロバーツ}}（1887）{{Sfn|Roberts|1887}}、[[ヴィクトル・テボー]]（1910）{{Sfn|Thébault|1910}}など多くの数学者が、フォイエルバッハの定理を独自に証明している{{Sfn|Goormaghtigh|1926|p=101}}。

日本では、[[和算]]の時代においてフォイエルバッハの定理に到達することはできなかった{{Sfn|岩田|1969}}。明治時代に入り、[[澤山勇三郞|澤山勇三郎]]がフォイエルバッハの定理を約20通り<!-- （おそらく解析的なものを含めるか否かを理由に）文献によって22,23,24と揺れがある。森本の書には計24通りとある。 -->の方法で証明した{{Sfnm|1a1=森本|1y=1938|1pp=109-167|2a1=澤山|2y=1904}}{{Efn|[[森本清吾]]による澤山の論文をまとめた書籍『澤山勇三郎全集』によれば、澤山は『東京物理学校雑誌』に発表した証明の中で、ケイシーの定理や[[解析幾何学]]を用いたものには番号を付けなかった。}}。

== 証明 ==
フォイエルバッハの定理の[[証明 (数学)|証明]]にはさまざまなものが知られ、現代でも新たな証明が発見される{{Sfn|Smarandache|Patrascu|2023}}。[[自動定理証明]]{{Sfn|Chou|1988}}を用いるものも存在する。ジョン・マッケイの論文内でも、マッケイ自身や[[E. M. ラングレー]]などによる、9つの証明が紹介されている。
{{Collapse top|title=ケイシーの定理による証明}}
次の証明は[[ケイシーの定理]]{{Sfn|Gonzalez|2011}}、特に[[ケイシーの定理#系|パーサーの定理]]を使うものである{{Sfn|Nixon|1899}}。

{{Math|△''ABC''}}について、{{Mvar|BC, CA, AB}}の中点をそれぞれ{{Mvar|D, E, F}}、{{Mvar|BC, CA, AB}}と内接円の[[接点 (数学)|接点]]をそれぞれ''{{Mvar|X, Y, Z}}''とする。

<math display="block">\overline{EF}=\dfrac{a}{2}, \quad\overline{FD}=\dfrac{b}{2}, \quad\overline{DE}=\dfrac{c}{2},
\quad\overline{DX}=\left| \dfrac{b-c}{2} \right|,
\quad\overline{EY}=\left| \dfrac{c-a}{2} \right|,
\quad\overline{YZ}=\left| \dfrac{a-b}{2} \right|.</math>

が計算できる。適切に符号を選ぶことで、

<math display="block">\overline{DX}\cdot\overline{EF}\pm\overline{EY}\cdot\overline{FD}\pm\overline{FZ}\cdot\overline{DE}=0</math>

とすることができるため、ケイシーの定理の逆より、内接円と九点円は接する。同様にして傍接円と九点円が接することも証明できる。
{{Collapse bottom}}
{{Collapse top|title=反転による証明}}
J. P. テイラー{{Sfn|Taylor|1875}}などによる[[反転幾何学]]を使った証明{{Sfn|Canon|1902}}を紹介する。

{{Mvar|BC, CA}}の中点をそれぞれ{{Mvar|M, M'}}、{{Math|∠''A''}}の二等分線と{{Mvar|BC}}の交点を{{Mvar|R}}、{{Mvar|A}}から{{Mvar|BC}}に降ろした垂線の足を{{Mvar|P}}、内心を{{Mvar|I}}、それぞれ{{Mvar|BC}}と内接円・{{Mvar|A}}傍接円の接点を{{Mvar|Q, Q'}}、九点円の直径を{{Mvar|MD}}とする。

{{Math|1= ''MP''×''MR'' {{=}} ''MQ''{{sup|2}}}}が成立する。中心{{Mvar|M}}、半径{{Mvar|MQ}}の円による反転を施すと、内接円と傍接円は自身に移り、九点円は{{Mvar|MD}}に垂直な{{Mvar|R}}を通る直線に移動する。この直線と{{Mvar|BC}}の成す角は
:<math>\begin{matrix} \angle MDP=\angle MM'P= \angle CM'P-\angle CM'M \\ =2\angle CAP-\angle CAB=\angle CAP-\angle BAP=\angle B-\angle C\end{matrix}</math>
である。今、{{Mvar|RS}}を{{Mvar|R}}を通る内接円の接線とすると、反転より、この直線は傍接円とも接する。更に{{Mvar|BC}}と
:<math>\angle QIS =2\angle QIR=2\angle PAR=\angle B-\angle C</math>
で交わる。したがって九点円の反転像は直線{{Mvar|RS}}である。ゆえに九点円は内接円及び傍接円と接する。
{{Collapse bottom}}
{{Collapse top|title=相似による証明}}
次の証明では、三角形の[[図形の相似|相似]]を利用して内心と九点円中心の距離を計算する{{Sfn|Harvey|1887}}。

{{Math|△''ABC''}}の[[外心]]、内心、[[垂心]]、九点円中心をそれぞれ{{Mvar|O, I, H, N}}、外接円半径と内接円半径をそれぞれ{{Mvar|R, r}}、{{Mvar|A}}から{{Mvar|BC}}に降ろした垂線の足を{{Mvar|P}}、{{Mvar|BC}}と内接円の接点を{{Mvar|Q}}、{{Mvar|BC, AH}}の中点をそれぞれ{{Mvar|M, D}}とする。

{{Math|∠''A''}}の二等分線が三角形の外接円と再び交わる点は弧{{Mvar|BC}}の中点{{Mvar|U}}である（[[南極定理]]参照）。

[[トリリウムの定理]]から{{Math|1=''AI'' × ''IU'' = 2''Rr''}}、{{Math|1=∠''PAU'' = ∠''OUA'' = ∠''UAO''}}。

{{Mvar|OH, DM}}の中点はともに{{Mvar|N}}であるので{{Math|1= ''AD'' = ''OM''}}。ゆえに{{Mvar|AO, DM}}は平行。

{{Mvar|N}}から{{Mvar|BC}}に降ろした垂線の足を{{Mvar|X}}、半直線{{Mvar|NX}}と九点円の弧{{Mvar|PM}}の交点を{{Mvar|Y}}とする。
:<math>\angle PMY=\frac{1}{2}\angle PKY=\frac{1}{2}\angle PAO.</math>
{{Mvar|I}}を通る{{Mvar|BC}}の平行線とそれぞれ{{Mvar|AH, OM}}の交点を{{Mvar|Z, W}}として、{{Math|1=''ZI'' = ''PQ'', ''WI'' = ''MQ''}}。{{Math|△''AZI''}}と{{Math|△''MXY''}}と{{Math|△''UWI''}}は相似なので
:<math>\begin{matrix} IZ:IA=QP:IA=XY:YM \\ WI:IU=MQ:IU=XY:YM \\ \therefore PQ\cdot MQ:AI\cdot IU=XY^2:YM^2 \end{matrix}</math>
{{Math|1=''AI'' × ''IU'' = 2''Rr''}}と、{{Math|△''DYM''}}と{{Math|△''MXY''}}の相似による式<math>YM^2=R\cdot XY </math>より、
:<math>\begin{matrix} PQ\cdot MQ=2rXY \\ MX^2-XQ^2=2rXY \end{matrix}</math>
今、[[ピタゴラスの定理]]より、
:<math>\begin{matrix} IN^2=(NX-r)^2+XQ^2 \\ = (NX-r)^2+MX^2-2rXY \\ =NX^2+MX^2-2r(NX+XY)+r^2 \\ =\frac{1}{4}R^2-rR+r^2 \\ =(\frac{R}{2}-r)^2 \end{matrix}</math>
[[オイラーの定理 (平面幾何学)#オイラーの不等式|オイラーの不等式]]{{Math|''R '' ≧ 2''r''}}より{{Math|{{sfrac|''R ''|2}} - ''r'' ≧ 0}}なので
:<math> IN=\frac{R}{2}-r</math>
よって九点円と内接円は接する。

相似などを用いた円の中心の距離の計算による証明は上記の方法以外にもいくつかの方法がある（出典{{Sfnm|1a1=McDowell|1y=1862|2a1=Walker|2y=1867|3a1=Richardson|3y=1883|4a1=Ligniéres|4y=1886|5a1=Lauvernay|5y=1890|6a1=Sanjana|6y=1924|7a1=Scheer|7y=2011|8a1=Hofbauer|8y=2016|9a1=Krishna|9y=2017}}などを参照せよ）。
{{Collapse bottom}}
{{Collapse top|title=シムソン線による証明}}
[[シムソン線]]による特徴づけを用いた解法も存在する{{Sfn|M'clelland|1891|p=181}}。

{{Math|△''ABC''}}の外心{{Mvar|O}}と内心{{Mvar|I}}を結ぶ直線と外接円の交点を{{Mvar|P, P'}}、{{Mvar|P, P'}}からそれぞれ各辺に降ろした垂線の足を{{Mvar|X, Y, Z, X', Y', Z'}}、{{Mvar|P, P'}}のシムソン線{{Mvar|XYZ, X'Y'Z'}}の交点を{{Mvar|R}}、各辺の中点をそれぞれ{{Mvar|L, M, N}}、内接円と各辺の接点を{{Mvar|L', M', N'}}とする。

{{Math|1=''OP'' = ''OP' '', ''LX'' = ''LX' ''}}である。{{Mvar|R}}は九点円上にある。シムソン線{{Mvar|XYZ, X'Y'Z'}}は垂直に交わるから、{{Math|1=''LX'' = ''LX' ''= ''LR''}}。

[[平行線と比の定理]]より、{{Math|1=''OP'' : ''OI'' = ''LX'' : ''LL' ''= ''LR'' : ''LL' ''}}。したがって{{Math|1=''LR'' : ''LL' ''= ''MR'' : ''MM' ''= ''NR'' : ''NN' ''}}。

ここで、ある2円について、方べきの比が一定な点の軌跡は2円の共軸円である。2円を内接円と点円{{Mvar|R}}とすると、九点円は内接円と点円{{Mvar|R}}の共軸円である。今、{{Mvar|R}}は九点円上にあるから、[[根軸]]は{{Mvar|R}}における九点円の接線であり、内接円もこの接線に接する。
ゆえに内接円と九点円は{{Mvar|R}}で接する。
{{Collapse bottom}}
{{Collapse top|title=接線の一致を示す証明}}
{{Math|△''ABC''}}の内接円と{{Mvar|BC}}の接点を{{Mvar|Q}}、{{Math|∠''A''}}の二等分線と{{Mvar|BC}}の交点を{{Mvar|R}}、{{Mvar|BC}}の中点を{{Mvar|M}}、{{Mvar|A}}から{{Mvar|BC}}に降ろした垂線の足を{{Mvar|P}}、{{Mvar|R}}を通り{{Mvar|BC}}とは異なる内接円の接線の内接円との接点を{{Mvar|S}}、{{Mvar|MS}}が内接円と再び交わる点を{{Mvar|T}}、{{Mvar|M}}における九点円の接線を{{Mvar|MK}}とする。

{{Math|1= ∠''KMB'' = ∠''SRB''= ∠''B'' - ∠''C''}}より、{{Mvar|MK}}と{{Mvar|RS}}は平行。
{{Math|1= ''MQ''{{sup|2}} = ''MR'' × ''MP'' = ''MS'' × ''MT''}}より、{{Mvar|P, R, S, T}}は[[共円]]。ゆえに{{Math|1= ∠''MTP'' = ∠''SRM'' = ∠''KMB''}}。したがって{{Mvar|T}}は九点円上にある。

さらに、{{Mvar|K}}を{{Math|1=∠''KMT'' = ∠''KTM''}}となるように配置すると、{{Mvar|KT}}は内接円及び九点円の接線となる。したがって、内接円と九点円は{{Mvar|T}}で接する{{Sfnm|1a1=Lachlan|1y=1893|1p=74|2a1=Vautré|2y=1895}}。
{{Collapse bottom}}

== 一般化 ==
フォイエルバッハの定理の[[一般化]]・拡張もまた様々なものが知られている。

=== ロビンソン ===
1857年、ジョン・ジョシュア・ロビンソンは ''The Lady's and Gentleman's Diary'' で次の定理を示した{{Sfnm|1a1=Mackay|1y=1892|1p=24|2a1=Robinson|2y=1857}}。
:三角形の内接円及び傍接円の[[根心]]4つを取り、これら根心からなる三角形の内接円と傍接円の根心を取る。このような操作を繰り返して得られるすべての円は、最初の三角形の九点円に接する。

=== ハート ===
{{Main|ハートの定理}}
[[ファイル:Hart Circle Picture created with Autocad.png|サムネイル|209x209ピクセル|ハートの定理]]
1861年、[[アンドルー・サール・ハート]]は、[[六円定理]]を九円定理に拡張するように、3辺が[[直線]]でなくともよいことを示した{{Sfnm|1a1=Hart|1y=1861|2a1=Mackay|2y=1892|2p=27|3a1=Coolidge|3y=1916}}。ハートの定理は、ラーモアの示した定理の様に、[[非ユークリッド幾何学|非ユークリッド平面]]上の三角形の4つの外接円がある円に接するということに他ならない{{Sfn|Gabbatt|1925b}}。

=== フォントネー ===
{{Main|フォントネーの定理}}
[[ファイル:McCayCubicLocus.png|サムネイル|フォントネーの定理]]
次の定理は、1867年に[[ジョン・グリフィス (数学者)|グリフィス]]{{Sfn|Griffiths|1867}}、1880年にヴェイユ{{Sfn|Weill|1880}}、1889年に[[W. S. マッケイ]]{{Sfn|M'Cay|1889}}、1905年に[[ジョルジュ・フォントネー]]{{Sfnm|1a1=Fontené|1y=1905|2a1=Weber|2y=1906}}が示したものである{{Sfn|Johnson|1929|p=245}}。

:点{{Mvar|P}}とその[[等角共役点]]{{Mvar|P'}}と三角形の[[外心]]が[[共線]]ならば、{{Mvar|P, P'}}の[[垂足円]]は九点円に接する{{Sfnm|1a1=Court|1y=1952|1p=273|2a1=García-Máynez|2y=1969}}。
{{Mvar|P}}を内心か傍心とすればフォイエルバッハの定理となる。{{Mvar|P, P'}}が外心と共線になるような{{Mvar|P}}は[[マッケイ三次曲線]]上にある。

一般に、等角共役な2点{{Mvar|P, P'}}の垂足円と九点円の2交点は、三角形の3頂点とそれぞれ{{Mvar|P, P'}}を通る[[直角双曲線]]の中心である{{Sfn|Neville|1944}}。

=== ロジャース ===
[[ファイル:Rogers' theorem.png|サムネイル|右|ロジャースの定理]]
1930年、[[レナード・ジェームス・ロジャース|レナード・ジェームズ・ロジャース]]は、''[[Mathematical Gazette]]'' において、[[円錐曲線]]の[[準円|連合準円]]を用いて、一般化を行った{{Sfnm|1a1=Rogers|1y=1930|2a1=Ayyangar|2y=1930|3a1=Hilton|3a2=Neville|3y=1930}}。1897年に[[V・ラマスワミ・エイヤール]]も、同様の結果を導出している{{Sfn|Aiyar|1897}}。
:三角形の[[接円錐曲線|内接円錐曲線]]と、その円錐曲線と[[焦点 (幾何学)|焦点]]を共有する外心を通る円錐曲線の連合準円は九点円に接する。
内接円錐曲線の2焦点が外心と共線であるとき、フォントネーの定理を得る{{Efn|三角形の任意の内接円錐曲線の2つの焦点は[[等角共役]]の関係にある。円錐曲線とその2焦点を通る直線の連合準円は円錐曲線の補助円（Auxiliary Circle;大副円, 副円）となり、等角共役点を焦点とする内接円錐曲線の補助円は垂足円であることから従う。また、虚焦点が外心と共線、つまり円錐曲線の短軸上に外心が存在するときは、内接円錐曲線の小副円（Minor auxiliary Circle）が九点円と接する{{Sfnm|1a1=Thébault|1y=1938|2a1=Thébault|2a2=Goormaghtigh|2a3=Ramler|2y=1940}}。}}。

[[荻野修作]]は、フォントネーの定理やロジャースの定理の拡張を2つ示している{{Sfnm|1a1=Ogino|1y=1937|2a1=Rangaswami|2y=1939a}}。次はその1つ目の定理である。
: 三角形の外心と九点円の中心をそれぞれ{{Mvar|O, N}}とする。焦点を{{Mvar|P, Q}}とする内接円錐曲線{{Math|Γ}}について、{{Math|∠''POQ''}}における等角共役線{{Mvar|l, l'}}を書く。{{Math|Γ}}と{{Math|Γ}}に[[共焦点円錐曲線|共焦点]]で{{Mvar|l, l'}}に接する円錐曲線の連合準円と、九点円の交点{{Mvar|X, Y}}は{{Mvar|l, l'}}の[[直極点]]である。さらに、直線{{Mvar|NX, NY}}の成す角は{{Mvar|l, l'}}の成す角の2倍の角に等しい。
{{Mvar|l, l'}}の成す角が、0, 180度ならば、ロジャースの定理を得る。{{Mvar|l, l'}}が{{Mvar|OP, OQ}}に一致すれば、1907年にペレット{{Sfn|Pellet|1907}}、1933年に[[フランク・モーリー]]が著書 ''Inversive Geometry'' で示した{{Sfn|Morley|Morley|1933|p=198}}、フォントネーの定理の拡張になる。ペレットによれば、このとき{{Mvar|X, Y}}は、それぞれ中点三角形に内接し{{Mvar|OP, OQ}}を[[放物線|準線]]とする放物線の焦点である。

=== ラオー ===
次の定理は1927年、M. Bhimasena Rao（ラオー）が{{仮リンク|インド数学会|en|Indian Mathematical Society}}の雑誌 ''[[The Journal of the Indian Mathematical Society]]''（JIMS）で発表したものである{{Sfnm|1a1=Rao|1y=1927|2a1=Rangaswami|2y=1939b|3a1=窪田|3y=1947|3pp=139-141|4a1=Henmi|4y=1950}}。
:点{{Mvar|P}}とその[[等角共役点]]{{Mvar|P'}}と[[類似重心]]が共線ならば、それぞれ{{Mvar|P, P'}}を中心とする内接円錐曲線と辺の接点を通る円は九点円と接する。
{{Mvar|P}}を内心か傍心とすれば、フォイエルバッハの定理を得る。[[逸見伝三郎]]、[[濱田隆資]]らは、この定理の拡張を示している{{Sfn|濱田|逸見|1950}}。また、{{Mvar|P, P'}}が類似重心と共線になるような{{Mvar|P}}はグリーブ三次曲線K102上にある<ref>{{Cite web |title=K102 |url=http://bernard-gibert.fr/Exemples/k102.html |last=Gibert|first=Bernard|website=[[Cubics in the Triangle Plane]] |access-date=2024-12-03}}</ref>。

ラオーなどJIMSへの寄稿者はまた、他にもフォイエルバッハの定理に関する定理を多く残している{{Sfnm|1a1=Rao|1y=1919|1p=7|2a1=Grace|2y=1917|3a1=Rao|3y=1917}}。次の定理はその一例{{Sfn|Rao|1918|p=319}}。
:点{{Mvar|P}}の垂足円が九点円に接するとき{{Math|1=∠''PAB'' + ∠''PBC'' + ∠''PCA'' = 90°}}{{Efn|一般に、{{Mvar|P}}の垂足円と九点円（の交点における接線）が成す角は{{Math|∠''PBC'' + ∠''PCA'' + ∠''PAB'' ± 90°}}である{{Sfn|Sandham|1949}}。この角が一定であるとき{{Mvar|P}}の軌跡は種数1の6級代数曲線である{{Sfn|Rao|1933}}。}}
=== ハミルトン ===
[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン]]は、2つの[[内接円錐曲線]]の第四共通[[接線]]（3辺と異なる接線）と[[三線極線]]を用いて拡張を行った{{Sfnm|1a1=Salmon|1y=1879|1p=313|2a1=Baker|2y=1922|3a1=Gibbins|3y=1935}}。
: 2つの内接円錐曲線{{Mvar|U, V}}について、{{Mvar|U}}と三角形の[[配景]]の中心を{{Mvar|O}}とする。{{Mvar|U}}と3辺とのそれぞれの接点と、{{Mvar|V}}と{{Mvar|O}}の三線極線の2交点（虚でもよい）を通る円錐曲線{{Mvar|S}}は、{{Mvar|U}}と{{Mvar|V}}の第四共通接線と{{Mvar|V}}の接点で{{Mvar|V}}に接する。
{{Mvar|U}}を[[シュタイナーの内接楕円]]、{{Mvar|V}}を内接円としたとき、{{Mvar|O}}は重心、{{Mvar|O}}の三線極線は[[無限遠直線]]で、{{Mvar|S}}は2つの[[虚円点]]を通るため円になって、フォイエルバッハの定理が導かれる。

{{Mvar|O}}を重心、{{Mvar|V}}を放物線とすると、1939年にデ・チッコが得た定理{{Sfn|De Cicco|1939}}となる。

この性質から、フォイエルバッハ点は、シュタイナーの内接楕円と内接円の第四共通接線と内接円の接点であることが分かる{{Sfn|窪田|1932|p=104}}。
=== ヴォンドラチェク ===
1933年、ヴォンドラチェクは円錐曲線の交点を用いて一般化した{{Sfn|Vondráček|1933}}。
: 3つの直線に接するかつ共通の2点を通る4つの円錐曲線を用意する。この4つの円錐曲線に接するかつその2点を通る円錐曲線が存在する。
=== ブリカール ===
1907年、[[ラウル・ブリカール]]は、''[[Nouvelles Annales de Mathématiques]]'' において、有向直線を用いた拡張を発表した{{Sfnm|1a1=Bricard|1y=1907|2a1=Kubota|2y=1941}}。
:3対の[[平行]]な同じ向きの有向直線{{Math|(''A''{{sub|1}}, ''B''{{sub|1}}), (''A''{{sub|2}}, ''B''{{sub|2}}), (''A''{{sub|3}}, ''B''{{sub|3}})}}について、{{Math|(''A''{{sub|1}}, ''A''{{sub|2}}, ''A''{{sub|3}}), (''A''{{sub|1}}, ''B''{{sub|2}}, ''B''{{sub|3}}), (''B''{{sub|1}}, ''A''{{sub|2}}, ''B''{{sub|3}}), (''B''{{sub|1}}, ''B''{{sub|2}}, ''A''{{sub|3}})}}に接する同じ向きの有向円は、ある一つの有向円に接する。

{{Math|''B''{{sub|1}}, ''B''{{sub|2}}, ''B''{{sub|3}}}}の成す三角形を[[中点三角形]]にすると、フォイエルバッハの定理を得る。この定理は1892年にアレクサンダー・ラーモアが示した、[[ハートの定理]]に幾何学的変換を行って得られる定理と[[双対]]的である{{Sfn|窪田|1932|pp=104-105}}。
=== 濱田 ===
1943年、[[東北数学雑誌]]において[[濱田隆資]]は[[根軸|根円]]を用いて拡張を行った{{Sfn|Hamada|1943}}。2021年には、Tran Quang HungとNguyen Thi Thuy Duongも同様の定理を得ている{{Sfn|Tran|Nguyen|2021}}。
:任意の点{{Mvar|P}}の[[垂足三角形]]を{{Math|△''P{{sub|a}}P{{sub|b}}P{{sub|c}}''}}とする。{{Mvar|BC, CA, AB}}の中点を中心とし、それぞれ{{Mvar|P{{sub|a}}, P{{sub|b}}, P{{sub|c}}}}を通る円の根円は九点円に接する。
1925年、J. P. Gabbattは、一般に任意の点{{Mvar|P, Q}}の辺に対する垂足を[[反転幾何学|反転]]によって移すような、辺の中点を中心とする3円の根円と、九点円の2交点は、{{Mvar|P, Q}}と外心を結ぶ直線の[[直極点]]であることを示した{{Sfn|Gabbatt|1925a}}。更に、3円の中心が、辺の中点以外（外心以外の垂足三角形の頂点）では成立しないことも示している。

=== グエンとレ ===
2023年、Nguyen Ngoc GiangとLe Viet Anは3つの一般化を示した{{Sfn|Nguyen|Le|2023}}。次の定理はその一つである。
:{{Math|△''ABC''}}とその垂心でないかつ辺上、外接円上にない任意の点{{Mvar|P}}について、{{Mvar|PB, PC}}における{{Mvar|A}}の[[直交射影]]を結ぶ直線を{{Mvar|l{{sub|a}}}}として、{{Mvar|l{{sub|b}}, l{{sub|c}}}}も同様に定義する。{{Mvar|l{{sub|a}}, l{{sub|b}}, l{{sub|c}}}}から成る三角形の外接円は、{{Mvar|P}}の垂足円に接する。
=== モーリー ===
1916年、[[フランク・モーリー]]は雑誌 ''[[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]'' において、三級曲線（任意の点から実あるいは虚の接線を3本引くことができる[[代数曲線]]）への拡張を発表した{{Sfnm|1a1=Morley|1y=1916|2a1=Richmond|2y=1919|3a1=窪田|3y=1932|3pp=108-110}}。
:{{仮リンク|垂心系|en|Orthocentric system}}を成す4点を結ぶすべての直線に接する、かつ2つの[[虚円点]]を通る三級曲線は、垂心系の作る三角形の九点円に接する。
三級曲線を内接円（傍接円）と垂心の和集合とすれば、フォイエルバッハの定理となる。
=== マルグーズー ===
1919年、マルグーズー（Malgouzou）は、[[三次曲線]]への拡張を示したが、複雑な手順を要しており、また、ハートの定理のように、直接的な拡張とはなっていない{{Sfnm|1a1=Malgouzou|1y=1919|2a1=窪田|2y=1932|2pp=110-111}}。
: 三次曲線{{Mvar|C}}と点{{Mvar|O}}について、{{Mvar|O}}を通る直線{{Mvar|l}}が{{Mvar|C}}と3点{{Mvar|P, Q, R}}で交わっているとする。今、
<math display="block">(\dfrac{1}{OX}-\dfrac{1}{OP})(\dfrac{1}{OX}-\dfrac{1}{OQ})+(\dfrac{1}{OX}-\dfrac{1}{OQ})(\dfrac{1}{OX}-\dfrac{1}{OR})+(\dfrac{1}{OX}-\dfrac{1}{OR})(\dfrac{1}{OX}-\dfrac{1}{OP})=0 </math>
:を満たす点{{Mvar|X}}が2つ存在する。{{Mvar|l}}を動かしたとき、{{Mvar|X}}の[[軌跡 (数学)|軌跡]]は極円錐曲線と呼ばれる円錐曲線になる。さらにある定直線{{Mvar|L}}に極円錐曲線が接するように{{Mvar|O}}を動かしたとき、{{Mvar|O}}の軌跡はPoloconicと呼ばれる円錐曲線になる。Poloconicが円となるような{{Mvar|L}}は4つ存在するが、このときの4円は、一つの円に接する。
{{Mvar|C}}が3直線へ[[退化 (数学)|退化]]したとき、フォイエルバッハの定理を間接的に得る。Gabbattはマルグーズーの一般化をさらに空間へ一般化している{{Sfn|Gabbatt|1926}}。

[[ユークリッド空間]]{{Sfnm|1a1=Avksentyev|1y=2023|2a1=五十嵐|2a2=佐藤|2a3=杉江|2a4=高遠|2y=2006|3a1=Lewis|3y=1919}}や、[[双曲幾何学|双曲平面]]などの[[非ユークリッド空間|非ユークリッド平面]]{{Sfn|Akopyan|2009}}、[[ミンコフスキー空間|ミンコフスキー平面]]{{Sfn|Cao|2024}}、[[ヒルベルト空間|ヒルベルト平面]]{{Sfn|Morton|2017}}、あるいは[[九点円錐曲線]]{{Sfnm|1a1=Minevich|1a2=Morton|1y=2015|2a1=Beltrami|2y=1875}}などへの拡張なども示されている。

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist|2}}
== 参考文献 ==

=== The Mathematical Gazette ===
[[The Mathematical Gazette]]（{{ISSN|0025-5572}}）にはフォイエルバッハの定理を扱うものが数多く存在する。

* {{Cite journal|last=Aiyar|first=V. Ramaswami|last2=Naraniengar|first2=M. T.|date=1908-07|title=264. K. 2. d. Two Geometrical Proofs of Feuerbach’s Theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/264-k-2-d-two-geometrical-proofs-of-feuerbachs-theorem/B32054415FACFBAE0A7DDAB8B84A8D30|journal=Math. Gaz.|volume=4|issue=73|pages=310–311|doi=10.1017/S0025557200243155|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Child|first=J. M.|date=1910-12|title=334. K. 2. c. Feuerbach’s Theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/334-k-2-c-feuerbachs-theorem/5E38BCEAC2E1692934C3D282E6A081F2|journal=Math. Gaz.|volume=5|issue=89|pages=358–359|doi=10.2307/3605059|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Dixon|first=A. C.|author-link=アルフレッド・カーデュー・ディクソン|date=1914-01|title=412. K1.2 . b, c. Proof of Feuerbach’s theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/412-k12-b-c-proof-of-feuerbachs-theorem/5D9ABF38409F9F1D372778D269F0F464|journal=Math. Gaz.|volume=7|issue=109|pages=248–249|doi=10.2307/3602105|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Gabbatt|first=J. P.|year=1925a|date=1925-12|title=811. K 1 . 11. e. A Generalisation of Feuerbach’s Theorem|url=https://www.cambridge.org/core/product/identifier/S0025557200225485/type/journal_article|journal=Math. Gaz.|volume=12|issue=179|page=507|doi=10.2307/3602830|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Peacock|first=J.|date=1927-12|title=884. K1. 2. d. Feuerbach’s Theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/884-k1-2-d-feuerbachs-theorem/6C9952F4BE4B886A68AA4C13E2C663D9|journal=Math. Gaz.|volume=13|issue=191|pages=458–459|doi=10.2307/3602388|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Neville|first=E. H.|author1-link=エリック・ハロルド・ネヴィル|date=1928-05|title=Feuerbach’s Theorem as a Corollary|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/feuerbachs-theorem-as-a-corollary/8AF4B8290D38D286B38F3F7C7C666C02|journal=Math. Gaz.|volume=14|issue=194|pages=109–111|doi=10.2307/3602633|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Rogers|first=L. J.|date=1930|title=953. A Generalisation of Feuerbach's Theorem|url=https://www.jstor.org/stable/3607416|journal=Math. Gaz.|volume=15|issue=207|pages=111–112|doi=10.2307/3607416|ref = harv}}
*{{Cite journal|last=Ayyangar|first=A. A. Krishnaswami|date=1930-12|title=974. L1. 19. a. L. J. Rogers’ Generalisation of Feuerbach's Theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/974-l1-19-a-l-j-rogers-generalisation-of-feuerbachs-theorem/8DEBF0A1CC0617E1EF80FE61A7362757|journal=Math. Gaz.|volume=15|issue=210|pages=258–258|doi=10.2307/3607197|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Hilton|first=H.|last2=Neville|first2=E. H.|date=1930-10|title=968. L1. 19. a. A generalisation of Feuerbach’s Theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/968-l1-19-a-a-generalisation-of-feuerbachs-theorem/E9062DB540D226804C3B81E739ED51D0|journal=Math. Gaz.|volume=15|issue=209|pages=213–213|doi=10.2307/3605792|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Lawrence|first=B. E.|date=1931-07|title=998. K1. 2. d. A Proof of Feuerbach’s Theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/998-k1-2-d-a-proof-of-feuerbachs-theorem/1A9A8DC1966EDF758AFFCA017D3F5289|journal=Math. Gaz.|volume=15|issue=214|pages=429–430|doi=10.2307/3606693|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Beard|first=W. F.|date=1934-12|title=1126. Two theorems on the geometry of the triangle, leading to a proof of Feuerbach's theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/1126-two-theorems-on-the-geometry-of-the-triangle-leading-to-a-proof-of-feuerbachs-theorem/69DA015F1223BC95325FEC33B27A628F|journal=Math. Gaz.|volume=18|issue=231|pages=322–323|doi=10.2307/3605481|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Gibbins|first=N. M.|date=1935-02|title=Hamilton's Extension of Feuerbach's Theorem|url=https://www.semanticscholar.org/paper/Hamilton's-Extension-of-Feuerbach's-Theorem-Gibbins/f457c10e20a0d4c1c55980c189dd6bb1cee8b528|journal=Math. Gaz.|volume=19|issue=232|pages=34–36|doi=10.2307/3606628|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=D|first=W. J.|date=1939-07|title=1387. A simple proof of feuerbach's theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/1387-a-simple-proof-of-feuerbachs-theorem/1BE574FEF3AF016A39730506404A1D6F|journal=Math. Gaz.|volume=23|issue=255|pages=291–292|doi=10.2307/3606431|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Hope-Jones|first=W.|date=1940-02|title=1437. Feuerbach’s Theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/1437-feuerbachs-theorem/9D8511487FC6F1C380B14E6DA887E130|journal=Math. Gaz.|volume=24|issue=258|pages=54–55|doi=10.2307/3607103|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Lewis|first=E. P.|date=1940-05|title=1445. Feuerbach’s Theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/1445-feuerbachs-theorem/9A2EC54A1436C7F5377AC09F8EF777FB|journal=Math. Gaz.|volume=24|issue=259|pages=108–109|doi=10.2307/3606745|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Haskell|first=H. N.|date=1940-07|title=1470. A proof of Feuerbach's theorem without use of inversion|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/1470-a-proof-of-feuerbachs-theorem-without-use-of-inversion/7CA067E2C837702523F82EFE274B2A8E|journal=Math. Gaz.|volume=24|issue=260|pages=214–215|doi=10.2307/3605723|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Ramesam|first=V.|date=1941|title=1533. Feuerbach's Theorem|url=https://www.jstor.org/stable/3606589|journal=Math. Gaz.|volume=25|issue=266|pages=225–227|doi=10.2307/3606589|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Neville|first=E. H.|date=1944|title=1709. Notes on Conics. 10: Fontené's Theorem|url=https://www.jstor.org/stable/3606361|journal=Math. Gaz.|volume=28|issue=279|pages=56–58|doi=10.2307/3606361|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Hodgetts|first=W. J.|date=1944-12|title=1769. Feuerbach's theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/1769-feuerbachs-theorem/D4185EFD01515FF0CB814B89D2D11E0A|journal=Math. Gaz.|volume=28|issue=282|pages=198–198|doi=10.2307/3609572|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Thébault|first=V.|date=1950-05|title=2146. Sur le théorème de Feuerbach|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/2146-sur-le-theoreme-de-feuerbach/8792562A31E0DD74FD79118B8EDA67AD|journal=Math. Gaz.|volume=34|issue=308|pages=135–136|doi=10.2307/3608681|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Neville|first=E. H.|date=1958-02|title=2759. Tuckey's proof of Feuerbach's theorem, and yet another|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/2759-tuckeys-proof-of-feuerbachs-theorem-and-yet-another/DC9729F4615CE1880B553A7FB2BA4A4E|journal=Math. Gaz.|volume=42|issue=339|pages=56–56|doi=10.2307/3608372|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Cundy|first=H. Martyn|author1-link=マーティン・カンディ|date=1959|title=Feuerbach's Theorem and the Rectangular Hyperbola|url=https://www.jstor.org/stable/3608869|journal=Math. Gaz.|volume=43|issue=343|pages=21–23|doi=10.2307/3608869|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Scott|first=J. A.|date=2002-03|title=An areal view of Feuerbach’s theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/an-areal-view-of-feuerbachs-theorem/CAABFAB1B047AF9CDF20E42CF029A067|journal=Math. Gaz.|volume=86|issue=505|pages=81–83|doi=10.2307/3621582|ref = harv}}

=== 他 ===
* {{citation|title=Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung|last1=Feuerbach|first1=Karl Wilhelm|last2=Buzengeiger|first2=Carl Heribert Ignatz|year=1822|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN512512426|edition=Monograph|publisher=Wiessner|location=Nürnberg|ref = harv}}. {{Google books|azfIjumeVdEC|online book}}
* {{Cite journal|last=Steiner|first=J.|year=1828|title=Géométrie pure. Développement d'une série de théorèmes relatifs aux sections coniques|url=http://www.numdam.org/item/?id=AMPA_1828-1829__19__37_0|journal=[[Annales de Mathématiques Pures et Appliquées]]|volume=19|pages=37–64|language=fr|issn=2400-4790|ref = harv}}
* {{Cite book |title=Die geometrischen Konstructionen, ausgeführt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises |publisher=Dümmler |year=1833 |last=Steiner |first=Jakob |url=https://archive.org/details/diegeometrische00steigoog/page/n117/mode/2up|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Terquem|date=1842|title=Considérations sur le triangle rectiligne|url=http://www.numdam.org/item/NAM_1842_1_1__196_1/|journal=[[Nouvelles annales de mathématiques]]|volume=1|pages=196–200|language=fr|issn=2400-4782|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Mention|first=J.|date=1850|title=Note sur le triangle rectiligne|url=http://www.numdam.org/item/NAM_1850_1_9__401_0/|journal=Nouvelles annales de mathématiques|volume=9|pages=401–403|language=fr|issn=2400-4782|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=[[The Lady's and Gentleman's Diary]]|last=Levy|first=W. H.|year=1854|title=VIII Quest|page=56,77|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015065988027&seq=271|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Wilkinson|first=T. T.|year=1854|title=XV. or Prize Quest|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015065988027&seq=362|journal=Lady's and gentleman's diary|page=72|ref = harv}}
* {{Cite journal|year=1855|last1=Wilkinson|first1=T. T|last2=Amicus|last3=Collins|last4=Levy|last5=Rutherford|last6=Rutter|last7=Turnbull|title=Questions Answered|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015065988027&seq=453|journal=Lady's and gentleman's diary|pages=67-69|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=The Lady's and Gentleman's Diary|last=Robinson|first=John Joshua|year=1857|title=Modern Geometry|volume=|pages=86-89|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015065988027&seq=3|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=[[The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics]]|year=1861|title=Extension of Terquem's theorem respecting the circle which bisects three sides of a triangle|volume=4|pages=260-261|last=Hart|first=Andrew S.|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=inu.30000050138050&seq=28|ref=harv}}
* {{Cite journal|year=1861|last=Casey|first=John|title= On Dr. Hart's, Sir WM. Hamilton's, and Other Properties of the "Six point circle" of a Plane Triangle|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=inu.30000050138050&seq=267|journal=The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics|volume=4|pages=245-252|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Salmon|first=George|year=1861|title=Geometrical theorems|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=inu.30000050138050&seq=170|journal=The Quarterly journal of pure and applied mathematics|volume=4|pages=152-154|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics|first=J.|last=McDowell|year=1862|title=Geometrical Notes|volume=5|pages=269-271|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.$b417527&seq=285|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Rendiconto dell' Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche |last=Battaglini |first=Giuseppe |year=1862 |title=Sopra alcune proprieta delle linee di secondo|pages=24-32|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.$c161186&seq=28}}
* {{cite journal| last = Casey | first = J.| journal = Proceedings of the Royal Irish Academy| jstor = 20488927| pages = 396–423| title = On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane| volume = 9| year = 1864|ref=harv}}
* {{Cite journal|journal=Mathematical questions with their solutions. From the "Educational Times"|year=1867|title=Note on a Locus Connected with the Geometry of the Triangle|volume=8|page=35|last=Griffiths|first=John|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433062732734&seq=167|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=The Quarterly journal of pure and applied mathematics|first=W. F. |last=Walker|year=1867|title=Demonstrations of some known geometrical theorems|volume=8|pages=47-50|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.32044102924404&seq=61|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik|year=1868|title=Erweiterung einiger bekannten Eigenschaften des  ebenen Dreiecks.|pages=208-234|last=Schröter|first=Heinrich|author-link=ハインリヒ・シュレーター|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0068|ref=harv}}
* {{Cite journal|journal=[[Crelle's Journal]]|first=J.|last=Lappe|year=1870|title=Ueber den Feuerbachschen Satz für das ebene Dreieck|volume=72|pages=387-392|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.32044102901030&seq=411|ref = harv}}
* {{Cite book |title=Die Elemente der Mathematik |publisher=G. Hirzel |year=1870 |pages=92-93,312 |last=Baltzer |first=Richard |author-link=リヒャルト・バルツァー (数学者) |url=https://archive.org/details/dieelementederm02baltgoog/page/n2/mode/2up|ref=harv}}
* {{Cite journal|journal=[[Mathematische Annalen]]|title=Der Feuerbach’sche Satz von den Berthrungskreisen des ebenen Dreiecks.|year=1874|volume=7|pages=516-530|last=Schröter|first=Heinrich Eduard|url=https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1874_7/page/516/mode/2up|language=de|ref = harv}}
* {{Cite book |title=Intorno ad alcuni teoremi di Feuerbach e di Steiner esercitazione analitica |url=https://www.google.co.jp/books/edition/Intorno_ad_alcuni_teoremi_di_Feuerbach_e/5j-UgHcm2AAC |publisher=éditeur inconnu |date=1875 |language=it |first=Eugenio |last=Beltrami|author-link=エウジェニオ・ベルトラミ|ref=harv}}
* {{Cite journal|journal=The Quarterly journal of pure and applied mathematics|first=J. P. |last=Taylor|year=1875|title=Geometrical proof that nine-point circle of a triangle touches the inscribed and exscribed circles|volume=13|page=197|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=cub.u183022196372&seq=213|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=[[Mathesis (雑誌)|Nouvelle correspondance mathématique]]|author=Chadu of Bordeaux|year=1879|title=Sur le cercle des neuf points|volume=5|pages=230-232|url=https://archive.org/details/nouvellecorresp00mansgoog/page/n238/mode/2up|ref = harv}}
* {{Cite book |title=A treatise on conic sections |publisher=London Longmans, Green |year=1879 |page=313 |ref=harv |last=Salmon |first=George |author-link=ジョージ・サーモン |url=https://archive.org/details/treatiseonconics00salm_0/mode/2up}}
* {{Cite journal|journal=Nouvelles Annales de Mathématiques |title=Note sur le triangle inscrit et circonscrit à deux coniques |year=1880  |pages=253-261 |url=http://www.numdam.org/item/?id=NAM_1880_2_19__253_1|last=Weill|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=[[Messenger of Mathematics]]|first=W. F.|last=M'Michael|year=1882|title=Elementary proof of the contact of the nine-point circle with the inscribed and escribed circles.|volume=11|pages=77-78|url=https://archive.org/details/messengerofmathe11cambuoft/page/76/mode/2up|ref = harv}}
* {{Cite book |title=Cyklographie, oder Construction der Aufgaben über Kreise und Kugeln und ... |url=https://archive.org/details/cyklographieode01fiedgoog/page/n147/mode/2up |publisher=B. G. Teubner |date=1882 |language=German |others=Harvard University |last=Fiedler|first=Wilhelm|author-link=ヴィルヘルム・フィードラー|pages=125,252-255|ref=harv}}
* {{Cite journal|journal=Mathematical Questions with Their Solutions, from the Educational Times|first=Morgan|last=Jenkins|year=1883|title=7185|volume=36|pages=88-91|url=https://archive.org/details/mathematicalque06millgoog/page/n98/mode/2up|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Mathematical Questions with Their Solutions, from the Educational Times|first= G.|last=Richardson|year=1883|title=7179&7289|volume=36|pages=100|url=https://archive.org/details/mathematicalque06millgoog/page/n108/mode/2up|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=The Messenger of mathematics|last=
Leudesdorf|first=C.|year=1884|title=Proofs  of Feuerbach's Theorem|volume=13|pages=116-120|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=njp.32101075456523&seq=126|ref = harv}}
* {{Cite book|title=A sequel to the first six books of the Elements of Euclid, containing an easy introduction to modern geometry, with numerous examples |url=https://archive.org/details/sequeltofirstsix00caserich/page/102/mode/2up |publisher=Dublin : Hodges, Figgis & co. |date=1886 |first=John |last=Casey |page=104|ref=harv}}
* {{Cite journal|journal=Archiv der Mathematik und Physik.|year=1886|title=Der Feuerbach’sche Satz.|volume=2|pages=329-330|last=Lange|first=Julius|url=https://archive.org/details/archivdermathem93unkngoog/page/328/mode/2up|ref=harv}}
* {{Cite journal|journal=[[Journal de Mathématiques Élémentaires]]|year=1886|title=Le Théorème de Feuerbach|volume=5|pages=2-6|last=Ligniéres|first=|url=https://archive.org/details/s2journaldemathm05pari/page/n7/mode/2up|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=[[Archiv der Mathematik und Physik]]|year=1886|title=Zur Figur des Feuerbach'schcn Kreises.|volume=2|issue=1|pages=436-441|last=Godt|first=W.|url=https://archive.org/details/archivdermathem43unkngoog/page/436/mode|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Messenger of Mathematics|year=1887|first=Samuel|last=Roberts|title=Note on certain theorems relating to the polar circle of a triangle and Feuerbach's theorem on the nine-point circle|volume=17|issue=26|pages=57-60|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.32044102937828&seq=79|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Genese|first=R. W.|date=1887|title=Geometrical Demonstration of Feuerbach's Theorem concerning the Nine-Point Circle|url=https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/plms/s1-19.1.216|journal=[[Proceedings of the London Mathematical Society]]|volume=s1-19|issue=1|pages=216–220|language=en|doi=10.1112/plms/s1-19.1.216|issn=1460-244X|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=[[Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society]]|first=William |last=Harvey|year=1887|title=Geometrical Proof of the Tangency of the Inscribed and  Nine-Point Circles.|volume=5|pages=102-103|url=https://archive.org/details/proceedingsedin05socigoog/page/n110/mode/2up|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Companion to the weekly problem papers|first=R. F.|last=Davis|year=1888|title=Feuerbach's theorem|pages=187-188|url=https://ia803209.us.archive.org/26/items/companiontoweekl00john/companiontoweekl00john.pdf|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=M'Cay|first=W. S.|date=1889|title=On Three Similar Figures, with an Extension of Feuerbach's Theorem|url=https://www.jstor.org/stable/30078818?ab_segments=0/basic_phrase_search/control|journal=[[The Transactions of the Royal Irish Academy]]|volume=29|pages=303–320|issn=0790-8113|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Mathematical Questions and Solutions|year=1889|title=10309|page=149|last=Griffiths|first=John|url=https://www.google.co.jp/books/edition/Mathematical_Questions_and_Solutions/cv43AAAAMAAJ|ref = harv}}
* {{Cite book |title=The Harpur Euclid |publisher=London ; New York : Longmans, Green |year=1890 |page=489 |first=E. M. |last=Langley |author-link=E. M. ラングレー |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.hn38b6&seq=505|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Journal de Mathématiques Élémentaires|year=1890|title=Le Théorème de Feuerbach|volume=4|issue=3|pages=2-4|last=Milne|url=https://archive.org/details/s3journaldemathm04pari/page/n7/mode/2up|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Journal de Mathématiques Élémentaires|year=1890|title=Le Théorème de Feuerbach|volume=4|issue=3|pages=193-195|last=Lauvernay|url=https://archive.org/details/s3journaldemathm04pari/page/192/mode/2up|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=[[Zeitschrift für Mathematik und Physik]]|year=1890|title=Der Feuerbach’sche Satz vom ebenen Dreieck.|pages=36-51|last=Slawyk|first=R.|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uiuo.ark:/13960/t6164mm6r&seq=42|ref=harv}}
* {{Cite book |title=A Treatise On The Geometry Of The Circle |publisher=Macmillan And Co|year=1891 |page=183 |first=William J.|last=M'clelland |url=https://archive.org/details/treatiseonthegeo032105mbp/page/n201/mode/2up|ref = harv}}
*{{Cite journal |title=History of the Nine-point Circle. |journal=Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society|publisher=Cambridge University Press |date=1892-02|last=Mackay|first=J. S. |url=https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/F35C6273A2DC54CE806063838A3CB3A0/S0013091500031163a.pdf/div-class-title-history-of-the-nine-point-circle-div.pdf|volume=11|pages=19–57|language=en|doi=10.1017/S0013091500031163|issn=1464-3839| ref = harv}}
*{{Cite book |title=An elementary treatise on modern pure geometry |publisher=London Macmillan |year=1893 |pages=206-207 |first=Robert|last=Lachlan |url=https://archive.org/details/elementarytreati00lachuoft/page/206/mode/2up|ref = harv}}
* {{Cite book |title=Geschichte des Feuerbachschen Kreises|publisher=R. Gaertners Verlagsbuchh. |date=1894 |first=Julius |last=Lange|ref=harv}}
* {{Cite journal|journal=Journal de Mathématiques Élémentaires|year=1895|title=Le Théorème de Feuerbach|volume=4|issue=4|pages=83-84|last=Vautré|url=https://archive.org/details/s4journaldemathm04pari/page/82/mode/2up|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society|year=1897|title=A General Theorem of Nine-points circle|volume=15|pages=74-75|last=Aiyar|first=Lamaswami|url=https://www.google.co.jp/books/edition/Proceedings_of_the_Edinburgh_Mathematica/cB7TenKOER8C|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse|last= Sporer |first=B.|year=1897|title=Über den Feuerbach'schen Kreis.|volume=106|pages=739-753|url=https://www.zobodat.at/pdf/SBAWW_106_2a_0739-0753.pdf|ref=harv}}
* {{Cite book |title=Euclid Revised |publisher=Oxford |year=1899 |pages=350-351 |first=Randal Charles John|last=Nixon |url=https://archive.org/details/euclidrevisedcon00euclrich/page/350/mode/2up|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Canon|date=1902|title=Autre démonstration du théorème de Feuerbach|url=http://www.numdam.org/item/NAM_1902_4_2__500_1/|journal=Nouvelles annales de mathématiques|volume=2|pages=500–501|language=fr|issn=2400-4782|ref=harv}}
* {{Cite book |title=Opere matematiche. Pubblicate per cura della Facoltà di scienze della R. Università di Roma |url=https://archive.org/details/operematematiche01beltuoft/page/54/mode/2up |publisher=Milano U. Hoepli |date=1902 |others=Gerstein - University of Toronto |first=Eugenio |last=Beltrami|pages=45-72|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=澤山|first=勇三郎|date=1904|title=フヲイヱルバツハの定理の証明に就て|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/subutsugaiyo1903/2/8/2_8_119/_article/-char/ja|journal=Tokyo Sugaku-Butsurigakukwai Kiji-Gaiyo|volume=2|issue=8|pages=119–119|doi=10.11429/subutsugaiyo1903.2.119|ref = harv}}
* {{Cite journal |title=Extension du théorème de Feuerbach |year=1905 |journal=Nouvelles annales de mathématiques |pages=544-506 |url=http://www.numdam.org/item/?id=NAM_1905_4_5__504_1 |last=Fontené|first=G.|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Weber|first=Émile|date=1906|title=Note sur la généralisation du théorème de Feuerbach|url=http://www.numdam.org/item/NAM_1906_4_6__61_1/|journal=Nouvelles annales de mathématiques|volume=6|pages=61–63|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Bouvaist|first=R.|date=1906|title=Sur le théorème de Feuerbach|url=http://www.numdam.org/item/NAM_1906_4_6__510_0/|journal=Nouvelles annales de mathématiques|volume=6|pages=510–511|ref = harv}}
* {{Cite book |title=Entwicklung der Elementargeometrie|url=https://archive.org/details/berdieentwicklu00simogoog/page/n4/mode/2up |date=1906 |language=de |first=Max|last=Simon|pages=124-134|ref=harv}}
* {{Cite journal|journal= Bulletin des Sciences Mathématique, Mathématique élémentaire|year=1906|title=Le théorème de Feuerbach et l’inversion|volume=89|page=12|last=Mannheim|first=A.|author-link=アメデ・マンハイム|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Bricard|first=R.|date=1907|title=Sur le problème d'Apollonius et sur quelques propriétés des cycles|url=http://www.numdam.org/item/NAM_1907_4_7__491_1/|journal=Nouvelles annales de mathématiques|volume=7|pages=491–506|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Pellet|first=A.|date=1907|title=Sur la sphère pédale et le cercle pédal|url=http://www.numdam.org/item/NAM_1907_4_7__155_1/|journal=Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale|volume=7|pages=155–158|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Nouvelles annales de mathématiques|year=1910|title=Sur quelques théorèmes de géométrie élémentaire|volume=10|issue=4|pages=271-281|last=Thébault|first=V.|url=http://www.numdam.org/item/NAM_1910_4_10__271_0/|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Archiv der Mathematik und Physik|year=1910|title=Anwendungen des Pohlkeschen Satzes|volume=15|pages=314-318|last=Weber|first=W.}}
* {{Cite journal|first=R. P.|last= Paranjpye|date=1911-10-01|title= 
Feuerbach's Theorem|url=https://www.informaticsjournals.co.in/index.php/jims/article/view/17793|journal=[[The Journal of the Indian Mathematical Society]]|doi=10.18311/jims/1911/17793|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung|year=1911|title=Nr. 10|page=188|last=Müller|first=E|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN37721857X_0020|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Coolidge|first=J. L.|author-link=J. L. Coolidge|date=1916|title=A Simple Proof of Hart's Theorem|url=https://www.jstor.org/stable/2972134|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=23|issue=1|pages=14-15|doi=10.2307/2972134|issn=0002-9890|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Morley|first=F.|date=1916|title=An Extension of Feuerbach's Theorem|url=https://www.jstor.org/stable/83354|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|volume=2|issue=3|pages=171–173|issn=0027-8424|ref = harv}}
* {{Cite journal|first=J. H.|last= Grace|author1-link=ジョン・ヒルトン・グレース|date=1917-06-01|title=On Feuerbach's Theorem|url=https://www.informaticsjournals.co.in/index.php/jims/article/view/17604|journal=The Journal of the Indian Mathematical Society|doi=10.18311/jims/1917/17604|ref = harv}}
* {{Cite journal|first=T. Krishna |last=Rao|date=1917-12-01|title=Feuerbach's Theorem|url=https://www.informaticsjournals.co.in/index.php/jims/article/view/17670|journal=The Journal of the Indian Mathematical Society|doi=10.18311/jims/1917/17670|ref = harv}}
* {{Cite journal |journal=The Journal of The Indian Mathematical Society |title=Solutions Question329|first=M. Bhimasena |last=Rao|url=https://archive.org/details/journalofindianm0000mtna/page/318/mode/2up |publisher=The Kapalee Press |year=1918|ref = harv}}
* {{Cite journal|first=M. Bhimasena |last=Rao|year=1919|title=An extension of Feuerbach's theorem|url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.509608/mode/2up|journal=The Journal of The Indian Mathematical Society|volume=11|pages=7-8|ref = harv}}
* {{Cite journal|first=F. C.|last=Kolbe|year=1919|title=The nine-points circle-a note on Feuerbach's theorem|url=https://journals.co.za/doi/pdf/10.10520/AJA00382353_2397|journal=[[South African Journal of Science]]|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Malgouzou|date=1919|title=Le théorème de Feuerbach dans les cubiques|url=http://www.numdam.org/item/NAM_1919_4_19__210_0/|journal=Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale|volume=19|pages=210–213|language=fr|issn=2400-4782|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Richmond|first=Herbert W.|year=1919|date=1919-02|title=A Geometrical Proof of Professor Morley's Extension of Feuerbach's Theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/proceedings-of-the-edinburgh-mathematical-society/article/geometrical-proof-of-professor-morleys-extension-of-feuerbachs-theorem/498A6E0910BC095CBA07E7E3BCA16E85|journal=Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society|volume=38|pages=2–5|language=en|doi=10.1017/S0013091500035513|issn=1464-3839|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Messenger of Mathematics|year=1919|title=Is There an Analogue in Solid Geometry to Feuerbach's theorem?|volume=49|pages=187-192|last=Lewis|first=T. C.|url=https://archive.org/details/messengerofmathe4849cambuoft/page/186/mode/2up|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Davis|first=R. F.|date=1919-02|title=Feuerbach's Theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/proceedings-of-the-edinburgh-mathematical-society/article/feuerbachs-theorem/84F85B0FD2DE58CC2785A6DE29FAE685|journal=Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society|volume=38|pages=53–54|language=en|doi=10.1017/S0013091500035604|issn=1464-3839|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Monatshefte für Mathematik und Physik|year=1920|title=Die Verallgemeinerung der Feuerbachschen Sätze über den Neunpunktekreis.|pages=131-152|last=Klug|first=Lipót|author-link=Lipót Klug}}
* {{Citation|title=Principles of geometry. Volume 2. Plane geometry, Conics, circles, non-Euclidean geometry|last=Baker|first=Henry Frederick|author-link=ヘンリー・フレデリック・ベイカー|year=1922|url=https://archive.org/details/principlesofgeom02bake|publisher=[[Cambridge University Press]]|series=Cambridge Library Collection|isbn=978-1-108-01778-7|doi=10.1017/CBO9780511718298.009|mr=2857757|ref = harv}}
* {{Cite journal |journal=Rozpravy České akademie věd a umění. Třída II, (Mathematicko-přírodovědecká |url=https://archive.org/details/rozpravyceskeaka3031cesk/page/n379/mode/2up|title=K dvěma důkazům věty Feuerbachovy|location=Praze |volume=31|year=1922|last1=Sobotka |first1=Jan|author1-link=ヤン・ソボトカ|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Sanjana|first=K. J.|date=1924-05|title=An Elementary Proof of Feuerbach's Theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/edinburgh-mathematical-notes/article/an-elementary-proof-of-feuerbachs-theorem/489CC8F88F022649951389F9A728A7D5|journal=[[Edinburgh Mathematical Notes]]|volume=22|pages=11–12|language=en|doi=10.1017/S1757748900001791|issn=2051-204X|ref = harv}}
*{{Cite journal|last=Gabbatt|first=J. P.|year=1925b|date=1925-07|title=A Generalization of Feuerbach's Theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-proceedings-of-the-cambridge-philosophical-society/article/abs/generalization-of-feuerbachs-theorem/5372F90B9F0AC74596FE4F1F8C9A8D7B|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|volume=22|issue=5|pages=601–620|language=en|doi=10.1017/S0305004100009476|issn=1469-8064|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Goormaghtigh|first=R.|author-link=ルネ・ゴールマハティヒ|date=1926|title=The Orthopole|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/27/0/27_0_77/_article/-char/ja|journal=Tohoku Mathematical Journal, First Series|volume=27|pages=77–125|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Gabbatt|first=J. P.|date=1926|title=A Hyperspatial Analogue of Feuerbach's Theorem|url=https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1112/plms/s2-24.1.158|journal=Proceedings of the London Mathematical Society|volume=s2-24|issue=1|pages=158–174|language=en|doi=10.1112/plms/s2-24.1.158|issn=1460-244X|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=[[The Journal of the Indian Mathematical Society]]|year=1927|title=The contact circle. I, II.|pages=45-51,81-85|last=Rao|first=M. Bhimasena|ref=harv}}
* {{Cite book |title=Modern Geometry |publisher=Houghton, Mifflin company |year=1929 |pages=127,200,244-246 |last=Johnson |first=Roger Arthur |author-link=ロジャー・アーサー・ジョンソン |editor=[[ジョン・ウェスリー・ヤング|John Wesley Young]]|url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=wu.89043163211|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Memorie della Pontificia Accademia delle Scienze|year=1931|title=Ricerche sui polilateri con un saggio di geometria sperimentale.|pages=575-615|last=Sauve|first=Antonio|ref=harv}}
* {{Cite book|和書 |title=初等幾何学特選問題 |publisher=[[共立社書店]] |year=1932 |page= |last=窪田|first=忠彦 |author-link=窪田忠彦 |id={{NDLJP|1211458}} |pages=95-113|ref = harv}}
* {{Cite book |title=Inversive geometry |publisher=Ginn and Company |year=1933 |first1=Frank|last1= Morley |isbn=0486493393 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=wu.89043164011&seq=7 |first2=Frank Vigor|last2=Morley|author2-link=フランク・ヴィガー・モーリー|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Časopis Pro Pěstování Matematiky a Fysiky|year=1933|title=Zobecnění věty Feuerbachovy.|volume=63|issue=8|pages=254-259|last=Vondráček|first=Augustin|language=cs|ref=harv|doi=10.21136/CPMF.1934.122552}}
* {{Cite journal|journal=The Mathematics Student|year=1933|title=On isogonal point-pairs whose pedal circle cuts the nine points circle at a constant angle.|pages=63-67|last=Rao|first=Narasinga A.|url=https://dspace.bcu-iasi.ro/handle/123456789/44183|ref=harv}}
* {{Cite journal|first=Kiyoshi|last=Toda|year=1936|title=Theorems relating to Feuerbach's Theorem|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/42/0/42_0_128/_article/-char/ja|journal=[[Tohoku Mathematical Journal]], First Series|volume=42|ref = harv}}
* {{Cite journal|first=Shûsaku |last=Ogino|date=1937|title=On the Extension of Feuerbach's Theorem|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/43/0/43_0_143/_article/-char/ja/|journal=Tohoku Mathematical Journal, First Series|volume=43|pages=143–147|ref = harv}}
* {{Cite book|和書 |title=沢山勇三郎全集 |year=1938 |publisher=[[岩波書店]] |last=森本|first=清吾|authorlink=森本清吾|id={{NDLJP|1239383}}|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=The Mathematics Student|year=1938|title=A general extension of Feuerbach’s theorem|volume=6|pages=93-98|last=Rangaswami|url=https://dspace.bcu-iasi.ro/handle/123456789/44180|first=K. M.|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=[[Bulletin Scientifique de l’École Polytechnique de Timișoara]]|year=1938|date=1938|title=Sur le théorème de Feuerbach.|pages=13-16|last=Thébault|first=Victor||ref = harv}}
* {{Cite journal|last=De Cicco|first=John|date=1939|title=An Analog of the Nine-Point Circle in the Kasner Plane|url=https://www.jstor.org/stable/2303204|journal=The American Mathematical Monthly|volume=46|issue=10|pages=627–634|doi=10.2307/2303204|issn=0002-9890|ref=harv}}
* {{Cite journal|journal=The Mathematics Student|year=1939a|date=1939|title=A note on the nine points circle.|volume=6|pages=155-156|last=Rangaswami|first=K. M.|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=The Journal of the Indian Mathematical Society|year=1939b|date=1939|title=The theory of the general contact circles of a triangle.|pages=254-261|last=Rangaswami|first=K. M|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Thébault|first=V.|last2=Goormaghtigh|first2=R.|last3=Ramler|first3=Otto J.|date=1940|title=3857|url=https://www.jstor.org/stable/2304237|journal=The American Mathematical Monthly|volume=47|issue=3|pages=183–185|doi=10.2307/2304237|issn=0002-9890|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Kubota|first=Tadahiko|date=1941|title=Ein Beweis von der Bricardschen Verallgemeinerung des Feuerbachschen Satzes|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/48/0/48_0_75/_article/-char/ja/|journal=Tohoku Mathematical Journal, First Series|volume=48|pages=75–77|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Hamada|first=Takashi|date=1943|title=Elementary Modifications of Rogers' and Aiyar's Theorems|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/49/0/49_0_114/_article/-char/en|journal=Tohoku Mathematical Journal|volume=49|pages=114–118|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Eves|first=Howard|author-link=ハワード・イーヴス|date=1945-01-01|title=Feuerbach's Theorem by “Mean Position”|url=https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00029890.1945.11991496|journal=The American Mathematical Monthly|language=EN|doi=10.2307/2304834|issn=0002-9890|ref = harv}}
* {{Cite book|和書 |title=近世幾何学 |year=1947 |publisher=[[岩波書店]]|last=窪田|first=忠彦|author-link=窪田忠彦 |id={{NDLJP|1063410}}|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Sandham|first=H. F.|date=1949-11-01|title=A Generalization of Feuerbach's Theorem|url=https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00029890.1949.11999455|journal=The American Mathematical Monthly|language=EN|doi=10.2307/2304731|issn=0002-9890|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Science reports of the Tohoku University 1st ser. Physics, chemistry, astronomy|last=Henmi|first=Denzaburo |year=1950|title=A synthetic proof of M.B.Rao's extension of Feuerbach's theorem|issn=0040-8778|ref = harv}}
* {{Cite journal|和書|title=Feuerbachの定理のM.B.Raoの擴張の一擴張・濱田氏によるRaoの定理の擴張の綜合的な一證明 |journal=理学|last1=濱田|first1=隆資|first2=傳三郞|last2=逸見|pages=2-4,5-8|year=1950 |publisher=[[東京理科大学]] |id={{NDLJP|1736455}}|ref = harv}}
* {{Cite book |title=College geometry |publisher=New York, Barnes & Noble |year=1952 |ref=harv |last=Court |first=Nathan Altshiller |author-link=ネイサン・アルトシラー・コート |url=https://www.isinj.com/mt-usamo/An%20Introduction%20to%20the%20Modern%20Geometry%20of%20the%20Triangle%20and%20the%20Circle%20-%20Altshiller-Court%20N.%20College%20Geometry%20(Dover%202007).pdf}}
* {{Cite book|和書 |title=初等幾何学 |publisher=共立出版 |year=1958 |last=小林|first=幹雄|isbn=432001930X|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Elder|first=A. E.|date=1960|title=Feuerbach's Theorem: A New Proof|url=https://www.jstor.org/stable/2309470?origin=crossref|journal=The American Mathematical Monthly|volume=67|issue=9|pages=905–906|doi=10.2307/2309470|issn=0002-9890|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=[[The Mathematics Student]]|year=1960|title=Generalized Feuerbach's theorem|volume=28|last=Sitaram|first=K|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Stark|first=J. M.|date=1963-03-01|title=Analytic Proof of the Feuerbach Theorem|url=https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/0025570X.1963.11977651|journal=[[Mathematics Magazine]]|language=EN|doi=10.2307/2688900|issn=0025-570X|ref = harv}}
* {{Cite journal|和書|journal=数学史研究|year=1969|title=和算におけるFeuerbachの定理について|volume=7|issue=2|pages=17-33|last=岩田|first=至康|author-link=岩田至康|url=http://www.wasan.jp/math_indexj.html|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=[[Acta Mexicana de Ciencia y Tecnologia]]|year=1969|title=Eine Verallgemeinerung des Theorems von Feuerbach|pages=53-57|last=García-Máynez|first=Adalberto|ref=harv}}
* {{Cite book |title=幾何の有名な定理|publisher=[[共立出版]]|last=矢野|first=健太郎|author-link=矢野健太郎 (数学者) |isbn=9784320010765|和書|chapter=10章フォイエルバッハの定理|date=1981-12-10|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Guinand|first=Andrew P.|author-link=アンドリュー・ギーナン|date=1985-03-01|title=Incenters and Excenters Viewed from the Euler Line|url=https://www.tandfonline.com/doi/epdf/10.1080/0025570X.1985.11977157|journal=Mathematics Magazine|volume=58|issue=2|pages=89–92|doi=10.1080/0025570X.1985.11977157|issn=0025-570X|ref = harv}}
* {{Citation|title=An introduction to Wu's method for mechanical theorem proving in geometry|last=Chou|first=Shang-Ching|year=1988|journal=Journal of Automated Reasoning|volume=4|issue=3|pages=237–267|doi=10.1007/BF00244942|mr=975146|ref = harv}}
* {{Cite book |title=Mathographics |url=https://archive.org/details/mathographics0000dixo_v3i5 |publisher=New York : Dover Publications |date=1991 |isbn=978-0-486-26639-8 |others=Internet Archive |first=Robert|last=Dixon|ref = harv}}
* {{cite journal |last1=Markopoulos|first1=P. |title={{Lang|el|Το Θεώρημα}} Feuerbach |journal={{Lang|el|Ευκλείδης Γ΄}} |date=1988-10 |issue=20 |pages=105-111|ref=harv}}
* {{Cite journal|journal=[[Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg]]|year=1998|title=Ein einheitlicher Beweis des Berührsatzes von Feuerbach.|volume=17|pages=113-126|last=Schröder|first=Eberhard M.|ref=harv}}
* {{Cite journal|journal=[[Quantum (雑誌)|Quantum]]|year=1999|title=The Feuerhach theorem|volume=10|issue=2|pages=4-9|last=Protasov|first=V.|url=https://static.nsta.org/pdfs/QuantumV10N2.pdf|ref = harv}}
* {{Cite journal|first=Lev|last=Emelyanov|year=2001|title=A Feuerbach Type Theorem on Six Circles|url=https://web.archive.org/web/20180422180441/http://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200124.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=1|pages=173-175|issn=1534-1178|ref = harv}}
* {{Cite journal|和書|journal=[[日本数学教育学会高専・大学部会論文誌]]|author=豊成 敏隆|author2=杉江 道男|author3=向山 一男|author4=佐藤 義隆|author5=高遠 節夫|year=2002|title=フォイエルバッハの定理の初等的計算による証明|volume=9|issue=1|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal={{Lang|ru|Математическое Просвещение}}（Matematicheskoe Prosveschenie.）|title={{Lang|ru|Семейство Фейербаха}}（Feuerbach’s family）|last=Emelyanov|year=2002|first=L. A.|last2=Emelyanova|first2=T. L.|language=ru|url=https://old.mccme.ru//free-books//matpros7.html|ref = harv}}
* {{Cite journal|author=J. Beban-Brkic|author2=R. Kolar–Super|author3=Z. Kolar–Begovic|author4=V. Volenec|year=2006|title=On Feuerbach’s Theorem and a Pencil of  Circles in the Isotropic Plane|url=https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg10/j10h2beba.pdf|journal=Journal for Geometry and Graphics|volume=10|pages=125-132|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=五十嵐|first=貫|last2=佐藤|first2=義隆|last3=杉江|first3=道男|last4=高遠|first4=節夫|last5=豊成|first5=敏隆|last6=向山|first6=一男|date=2006-07|title=19 フォイエルバッハの定理の四面体への拡張の可能性について|和書|journal=日本数学教育学会誌. 臨時増刊, 総会特集号|volume=88|pages=511|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=Matematicheskoe prosveshenie|year=2009|title=On some classical constructions extended to hyperbolic geometry|volume=13|pages=155-170|last=Akopyan|first=Arseniy V.|arxiv=1105.2153|ref = harv}}
* {{Cite book |title=Geometry of Conics |publisher=American Mathematical Soc. |year=2009 |page=28 |last=Akopyan |first=Arseny V. |url=https://books.google.co.jp/books?id=f4vSP0iRHZ0C |last2=Zaslavsky |first2=A. A.|ref = harv}}
* {{Citation|first=Michael|last=Scheer|year=2011|title=A Simple Vector Proof of Feuerbach's Theorem|arxiv=1107.1152|ref = harv}}.
* {{Citation|title=Synthetic foundations of cevian geometry, III: The generalized orthocenter|year=2015|last=Minevich|first=Igor|last2=Morton|first2=Patrick|arxiv=1506.06253|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Lorencová|first=Tamara|date=2015|title=Karl Feuerbach a jeho věta o dotyku kružnic|url=https://www.dml.cz/handle/10338.dmlcz/149413|journal=Učitel matematiky|volume=23|issue=1|pages=16–27|issn=1210-9037}}
* {{Citation|title=A simple proof of Feuerbach's theorem|first=Franz |last=Hofbauer|year=2016|arxiv=1610.03962}}
* {{Cite journal|last=Krishna|first=D.|date=2016-07-05|title=Yet another New Proof of Feuerbachs Theorem|url=https://www.semanticscholar.org/paper/Yet-another-New-Proof-of-Feuerbachs-Theorem-Krishna/dcf3cc200261758b29e55e9c2dabd3569c3935a5#:~:text=A%20new%20proof%20of%20the%20celebrated%20theorem%20of,and%20the%20inequality%20of%20Euler's%20inequality%20is%20false.|journal=[[Global Journal of Science Frontier Research]]|ref = harv}}
* {{Citation|title=Affine Maps and Feuerbach's Theorem|year=2017|last=Morton|first=Patrick|arxiv=1711.09391|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Tran|first=Quang Hung|year=2017|title=Feuerbach's Theorem on right triangle with an extension|url=https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2017/10/103-108.pdf|journal=[[International Journal of Geometry]]|volume=6|pages=103-108|ref = harv}}
* {{Cite web |url=https://www.researchgate.net/publication/312653468_On_a_New_Proof_of_Feuerbach's_Theorem |title=On a New Proof of Feuerbach's Theorem |access-date=2024-12-14 |date=2017-7|year=2017|publisher=[[ResearchGate]] |first=Dasari Naga vijay|last=Krishna|ref = harv}}
* {{Cite journal|first=Nikolaos|last=Dergiades|author2=Tran Quang Hung|year=2018|title=Simple proofs of Feuerbach's theorem and Emelyanov's theorem|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=18|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Götz|first=Stefan|last2=Hofbauer|first2=Franz|date=2018|title=Ein einfacher Beweis für den Satz von Feuerbach mit koordinatenfreien Vektoren|journal=Mathematische Semesterberichte|volume=65|issue=1|pages=107–119|language=de|doi=10.1007/s00591-016-0174-z|issn=1432-1815|ref=harv}}
* {{Cite journal|date=2020|title=A New Proof of the Feuerbach Theorem|url=https://www.ceeol.com/search/article-detail?id=852614|journal={{Lang|ru|Математика и информатика}}|volume=63|issue=2|pages=160–161|language=English|issn=1310-2230|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=[[Mathematics and Informatics]]|author=Sava Grozdev|date=2020|title=A new proof of the Feuerbach theorem|volume=63|issue=2|pages=160-161|author2=Hiroshi Okumura|author3=Deko Dekov|url=https://researchmap.jp/hokmr/published_papers/26793255|ref = harv}}
* {{Cite journal|journal=KOG|year=2020|title=Feuerbachov teorem i ciklografija u univerzalnoj geometriji（The Feuerbach Theorem and Cyclography in Universal Geometry）|issue=24|pages=47-58|last=Beare|first=W.|last2=Wildberger|first2=N. J.|url=https://master.grad.hr/hdgg/kog_stranica/kog24/KoG24.pdf|doi=10.31896/k.24.5|issn=1331-1611}}
* {{Cite journal|last = Sherman |first=Brian|date=2021|title=Short Activity: Feuerbach's Theorem|url=https://eric.ed.gov/?id=EJ1355269|journal=Australian Mathematics Education Journal|volume=3|issue=1|issn=2652-0176|ref = harv}}
* {{Cite journal|first1=Quang Hung|last1=Tran |last2=Nguyen|first2= Thi Thuy Duong|year=2021|title=A Generalization of Feuerbach's theorem|url=https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2020/12/6.-74-78.pdf|journal=[[International Journal of Geometry]]|volume=1|pages=74-78|ref = harv}}
* {{Cite journal|和書|last=木下|first=俊之|date=2021-03|title=シムソン線の拡張定理とフォイエルバッハの定理について|journal=初等数学|issue=90|pages=33–37|issn=1345-739X}}
* {{Cite journal|journal=Prospects for Applied Mathematics and data Analysis (PAMDA)|last1=Smarandache|first1=Florentin |year=2023|title=A New Proof of Feuerbach’s Theorem|author1-link=Florentin Smarandache|last2=Patrascu |first2=Ion|url=https://fs.unm.edu/ScArt/NewProofFeuerbachTheorem.pdf|ref = harv}}
* {{Cite journal|last1=Nguyen|first1=Ngoc Giang|last2=Le|first2= Viet An|year=2023|title=Some generalizations of the Feuerbach's theorem|url=https://geometry-math-journal.ro/pdf/Volume12-Issue1/6.pdf|journal=Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries|volume=12|ref = harv}}
* {{Cite journal|last=Avksentyev|first=E. A.|year=2023|date=2023-01-02|title=Feuerbach's and Poncelet's theorems meet in space|url=https://www.semanticscholar.org/paper/Feuerbach's-and-Poncelet's-theorems-meet-in-space-Avksentyev/3a54579a39e228a08a58900d7a61631684c0c664|language=ru|arxiv=2301.00731|ref = harv}}
* {{Citation|title=A note on the planar triangles in Minkowski spacetime|year=2024|last=Cao|first=Yan|ref=harv|arxiv=2408.03898}}

== 関連項目 ==

* [[フォイエルバッハ点]]
* [[フォイエルバッハ双曲線]]
* [[アポロニウス点]]
* [[モーリーの定理]] - フォイエルバッハの定理と同様、初等幾何学において美しさを評価されている定理。
* [[マルファッティの円]] - 三角形の接円問題の一つ。
== 外部リンク ==

* {{高校数学の美しい物語|967|フォイエルバッハの定理と計算による証明}}
* {{Mathworld|title=Feuerbach's theorem|id=FeuerbachsTheorem}}
* [https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Feuerbach.shtml Feuerbach's Theorem: What Is It About?] - [[Cut The Knot]]
* {{Cite web |url=https://proofwiki.org/wiki/Feuerbach%27s_Theorem |title=Feuerbach's Theorem |access-date=2024-12-1 |publisher=Proof wiki}}
* {{Cite web |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/FeuerbachTheorem/ |title=Feuerbach's Theorem |access-date=2024-12-1 |publisher=MacTutor}}
* {{Cite web |url=https://www.irmo.ie/4.Feuerbach.pdf |title=Chapter 4. Feuerbachs Theorem |access-date=2024-12-1}}
* {{Cite web |url=https://geometry.ru/articles/Luis_Casey.pdf |year=2011|last=Gonzalez|first=Luis|title=Caseys Theorem and its Applications |access-date=2024-11-30|ref = harv}}
* {{Cite web |url=https://www.esuppa.it/Articoli/Suppa_Il%20cerchio%20dei%20nove%20punti%20in%20problemi%20sui%20luoghi.pdf |title=Il cerchio dei nove punti in problemi sui luoghi |access-date=2025-01-13 |author=Ercole Suppa |coauthors=Italo D’Ignazio}}
{{デフォルトソート:ふおいえるはつはのていり}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:三角形と円に関する定理]]
[[Category:証明を含む記事]]