フォドアの補題のソースを表示

[[数学]]、特に[[集合論]]において'''フォドアの補題'''(あるいはフォドアの押し下げ補題)は以下の主張を指す:

{{math theorem|フォドアの補題|
<math>\kappa</math> を[[可算集合|非可算]]な[[正則基数]]、<math>S</math> を <math>\kappa</math> の[[定常集合]]、[[順序数]]関数 <math>f:S\rightarrow\kappa</math> を押し下げ関数(regressive function; すなわち、全ての <math>\alpha\in S</math>, <math>\alpha\neq 0</math> に対し <math>f(\alpha)<\alpha</math>)とする。

このとき、ある順序数 <math>\gamma\in \kappa</math> と、ある定常集合 <math>S_0\subseteq S</math> があって、全ての <math>\alpha\in S_0</math> に対して <math>f(\alpha)=\gamma</math> を満たす(すなわち、<math>S_0</math> 上で <math>f</math> は[[定値関数]]である)。
}}

==証明==
{{math proof|
このような定常集合 <math>S_0</math> が存在しないとすれば、任意の <math>\gamma < \kappa</math> に対し <math>f^{-1}(\gamma)</math> (<math> = \{ \alpha\in S : f(\alpha)=\gamma \}</math>) は非定常である。ゆえに各 <math>\gamma<\kappa</math> について <math>f^{-1}(\gamma)</math> と交わらない[[club集合]] <math>C_\gamma</math> が取れ、任意の <math>\alpha\in S \cap C_\gamma</math> について <math>f(\alpha)\neq\gamma</math> である。これらの[[集合族|族]] <math>(C_\gamma)_{\gamma < \kappa}</math> の[[対角線共通部分]]を <math>C:=\Delta_{\gamma<\kappa} C_\gamma</math> (<math> = \{\beta < \kappa : \beta\in\bigcap_{\gamma < \beta}C_\gamma\}</math>) とおく。<math>\kappa</math> が正則より対角線共通部分 <math>C</math> は再びclubとなり、<math>S</math> が定常なので <math>S\cap C</math> も定常である。(<math>0\neq</math>) <math>\alpha\in S\cap C</math> を一つ選ぶ。このとき <math>\alpha\in\bigcap_{\gamma < \alpha}C_\gamma</math> であり、全ての <math>\gamma<\alpha</math> に対して <math>\alpha\in C_\gamma</math> である。よってどんな <math>\gamma < \alpha</math> についても、<math>\alpha\notin f^{-1}(\gamma)</math> すなわち <math>f(\alpha) \neq \gamma</math>。従って <math>f(\alpha)\geq\alpha\in S</math> となるが、<math>f</math> が押し下げ関数だったことに矛盾する。//
}}

この補題はハンガリー人集合論者 [[Géza Fodor (mathematician)|Géza Fodor]] によって1956年に初めて証明された。しばしば「'''押し下げ補題'''(The Pressing Down Lemma)」などと呼ばれたりもする。

フォドアの補題は[[トマーシュ・イェフ]]による定常集合に関しても成り立ち、一般化された定常集合に関しても同様に成り立つ。

== 参考文献 ==
* G. Fodor, Eine Bemerkung zur Theorie der regressiven Funktionen, [[Acta Scientiarum Mathematicarum|''Acta Sci. Math. Szeged'']], '''17'''(1956), 139-142.
* Thomas Jech, ''Set Theory'', 3rd millennium ed., 2003, Springer Monographs in Mathematics, Part I, Chapter 8.
* Karel Hrbacek & Thomas Jech, ''Introduction to Set Theory'', 3rd edition, Chapter 11, Section 3.
* Mark Howard, ''Applications of Fodor's Lemma to Vaught's Conjecture''. Ann. Pure and Appl. Logic 42(1): 1-19 (1989).
* Simon Thomas, ''The Automorphism Tower Problem''. [[PostScript]] file at [http://www.math.rutgers.edu/~sthomas/book.ps]

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