フォノンのソースを表示

{{Otheruseslist|量子|[[eufonius]]のアルバム|フォノン (アルバム)|KDEのマルチメディアAPI|Phonon|声優番組レーベル|Phonon (レーベル)}}

'''フォノン'''（{{lang-en-short|phonon}}）、'''音子'''、'''音響量子'''、'''音量子'''は、[[結晶]]中における[[格子振動]]の[[量子]]（[[準粒子]]）である。

格子振動を、[[音波]]などの[[弾性波]]が伝搬する連続的な[[媒質]]（[[弾性体]]）中の[[場]]だと考え、[[場の量子論]]を応用することにより考案された<ref name="木暮">{{Cite book|和書|author=木暮嘉明|title=フォノンとは何か-音波と量子の世界-|publisher=[[丸善雄松堂|丸善]]|series=フロンティア・サイエンス・シリーズ|year=1988|isbn=4-621-03309-3}}</ref>。

== 概要 ==
{{see also|場の量子論}}
場の量子論を結晶格子に応用し、結晶中の振動を[[量子化 (物理学)|量子化]]したものがフォノンである。フォノンは、[[光子]]と同様に生成や消滅をすることができ、質量は存在しない。一般的な[[量子力学]]のように粒子数が固定された系の[[波動関数]]でフォノンを記述することは難しい。

[[振幅]]が大きくなる、つまり[[振動]]が激しくなることはフォノンの[[数]]が増えることで表される。

== 1次元の格子振動の量子化 ==
1次元の量子的な調和振動子は''N''個の同種原子から成る。
これはフォノンを考える上で、最も簡単な量子的モデルである。
このモデルは直ちに2次元、3次元に一般化することができる。

質点の位置は平衡位置からのずれ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>…として記述される。
（すなわち''x<sub>i</sub>''&nbsp;=&nbsp;0は、粒子''i''が平衡位置にあることを意味する)
2次元以上の場合では ''x<sub>i</sub>''はベクトル量となる。
この系の[[ハミルトニアン]]は次のように書ける。
:<math>\mathcal{H} = \sum_{i=1}^N \frac{p_i^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega^2 \sum_{\{ij\} (\mathrm{nn})} \left(x_i - x_j\right)^2</math>
ここで''m''は各原子の質量（ここでは全ての原子で等しいと仮定する）、
''x<sub>i</sub>'' と''p<sub>i</sub>''はそれぞれ''i''番目の原子の位置演算子と運動量演算子であり、和は最近接において行う。
しかし格子は、粒子のようにふるまう波動としての側面も現れる。
慣習として、変数として粒子の座標の代わりに、基準モードの波数ベクトルを用いたフーリエ空間における波を扱う。
基準モードの数は、粒子数と等しい。
しかし、フーリエ空間は系の周期性を考える上で非常に有用である。

''x<sub>k</sub>''の[[離散フーリエ変換]]として定義される''N''個の'''基準座標'''''Q<sub>k</sub>''、''p<sub>k</sub>''のフーリエ変換として定義される''N''個の'''共役運動量'''''Π<sub>k</sub>''を導入する。
:<math>\begin{align} Q_k &= \frac{1}\sqrt{N} \sum_{l} e^{ikal} x_l \\ \Pi_{k} &= \frac{1}\sqrt{N} \sum_{l} e^{-ikal} p_l. \end{align}</math>

''k<sub>n</sub>'' はフォノンの[[波数]]であり、すなわち2{{pi}}を[[波長]]で割ったものである。

これらは実空間もしくは波数空間における次の交換関係を満たす。
: <math> \begin{align} 
\left[x_l , p_m \right]&=i\hbar\delta_{l,m} \\ 
\left[ Q_k , \Pi_{k'} \right] &=\frac{1}N \sum_{l,m} e^{ikal} e^{-ik'am} \left[x_l , p_m \right] \\
 &= \frac{i \hbar}N \sum_{l} e^{ial\left(k-k'\right)} = i\hbar\delta_{k,k'} \\
\left[ Q_k , Q_{k'} \right] &= \left[ \Pi_k , \Pi_{k'} \right] = 0
\end{align}</math>
一般的な結果から、
: <math> \begin{align} 
\sum_{l}x_l x_{l+m}&=\frac{1}N\sum_{kk'}Q_k Q_{k'}\sum_{l} e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}= \sum_{k}Q_k Q_{-k}e^{iamk} \\ 
\sum_{l}{p_l}^2 &= \sum_{k}\Pi_k \Pi_{-k}
\end{align}</math>
位置エネルギー項は
:<math> \tfrac12 m \omega^2 \sum_{j} \left(x_j - x_{j+1}\right)^2= \tfrac12 m\omega^2\sum_{k}Q_k Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})= \tfrac12 \sum_{k}m{\omega_k}^2Q_k Q_{-k}</math>
ここで
:<math>\omega_k = \sqrt{2 \omega^2 \left( 1 - \cos{ka} \right)} = 2\omega\left|\sin\frac{ka}2\right|</math>
ハミルトニアンは波数空間において次のように書ける
:<math>\mathcal{H} = \frac{1}{2m}\sum_k \left( \Pi_k\Pi_{-k} + m^2 \omega_k^2 Q_k Q_{-k} \right)</math>

位置変数の間のカップリングは解きほぐされる。''Q'' と''Π''が[[エルミート]]であれば（これらはそうではない）、変換されたハミルトニアンは''N''個の独立な調和振動子を記述する。

量子化されたあとの形は境界条件に依存する。
簡単のため[[周期的境界条件]]が課すと、(''N''&nbsp;+&nbsp;1)番目の原子は1番目の原子と同等になる。
これは物理的には原子鎖の始まりと終わりを繋ぎ合わせることに相当する。
この結果の量子化は次のように書ける。
:<math>k=k_n = \frac{2\pi n}{Na} \quad \mbox{for } n = 0, \pm1, \pm2, \ldots \pm \frac{N}2 .\ </math>

''n''の上限は波長の最小値から求められ、格子面間隔''a''の2倍となる。

調和振動子の固有値、またはモード''ω<sub>k</sub>''のエネルギー準位は次のように書ける。
:<math>E_n = \left(\tfrac12+n\right)\hbar\omega_k \qquad n=0,1,2,3 \ldots</math>
このエネルギー準位は等間隔であり、それぞれ次のようになる。
:<math>\tfrac12\hbar\omega , \ \tfrac32\hbar\omega ,\ \tfrac52\hbar\omega \ \cdots</math>
ここで{{sfrac|1|2}}''ħω''は量子的な調和振動子の[[零点エネルギー]]である。

次のエネルギー準位に押し上げるためには、正確にエネルギー''ħω''だけが調和振動子の格子に供給されなければならない。
[[電磁場]]が量子化されたときの[[光子|フォトン]]（光子）との比較から、振動エネルギーの量子はフォノンと呼ばれる。

全ての量子系は波動性と粒子性を同時に示す。
フォノンの粒子性は[[第二量子化]]と[[生成消滅演算子]]によって理解される。
<ref name="Mahan">{{cite book|last=Mahan|first=G. D.|title=Many-Particle Physics|publisher=Springer|location=New York|isbn=0-306-46338-5|year=1981}}</ref>

== 特徴 ==

=== エネルギー ===
フォノンの持つ[[エネルギー]]は[[結晶格子|格子]]の[[熱振動]]の[[エネルギー]]である。調和振動だと見なせる場合は、次のように調和振動子のエネルギーの式と同じ形になる。
{{Indent|<math>E=\sum_k\hbar\omega_k \left( n+\frac{1}{2} \right) </math>}}
<math>\hbar</math> は[[プランク定数]]、<math>\omega_k</math> は[[振動数]]、<math>n</math> はフォノンの数である。[[加法|和]]を[[波数]] <math>k</math> について取る。

フォノン間に相互作用がある場合は、エネルギー準位が等間隔である調和振動子とは見なせないので、このような単純な形にならない。

=== 運動量 ===
{{main|結晶運動量}}
フォノンは振動そのものを量子化したものであり、質量を持たない。一方で運動量は持っており<math>\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}</math>で表される。ただしフォノンの運動量は、一様な空間にある粒子の運動量とは性質が異なる。[[ネーターの定理]]によると運動量は系の[[並進演算子 (量子力学)|並進対称性]]から導出されるため、この違いは並進対称性の違いに由来する。一様な空間は連続的な並進対称性を持つが、結晶では離散的な並進対称性を持っている。この離散的な並進対称性から導かれる（広義の）運動量は、通常の運動量とは区別して[[結晶運動量]]と呼ばれる。この違いにより、たとえば運動量保存則は、フォノンの運動量だけでなく結晶の逆格子ベクトルも含まれた形となる。

フォノンによる弾性的[[中性子散乱]]では、エネルギーとともに運動量も保存される。[[非弾性中性子散乱]]では中性子の入射角と散乱角、およびエネルギー変化を調べることでフォノンの波数と各周波数が求まる。<ref name="木暮"/>

=== ボース粒子 ===
フォノンはひとつの状態 <math>k</math> に何個でも存在できる。よってフォノンは[[ボース粒子]]であり、ボース゠アインシュタイン統計に従う。

=== 分類 ===
==== 音響フォノンと光学フォノン ====
[[File:Optical & acoustic vibrations-en.svg|thumb|250px|二原子鎖の中の光学 ({{en|optical}}) フォノンと音響 ({{en|acoustic}}) フォノン]]
フォノンは、'''音響フォノン'''と'''光学フォノン'''の2つに大別できる。音響フォノンは、隣のフォノンと同じ[[位相]]で振動するが、光学フォノンは逆の位相で振動する。また音響フォノンも光学フォノンも[[電子励起]]などを介して光と間接的に相互作用する<ref name = 100monshu>大阪大学インタラクティブ物質科学・カデットプログラム 物性物理100問集出版プロジェクト編、木村剛・小林研介・田島節子監修『物性物理100問集』大阪大学出版会、2016年。</ref>。光学フォノンは双極子モーメントの変化を伴うため、光との相互作用によって直接励起される（光学的に活性である）<ref>今野豊彦 『物質の対称性と群論』 共立出版、2001年、{{ISBN2|4-320-03409-0}}。</ref>。音響フォノンは自身は[[分極]]を伴わないため、基本的に光学応答に対して直接寄与はしない<ref name = 100monshu/>。音響フォノンによる[[光散乱]]を[[ブリルアン散乱]]と呼び、光学フォノンによる光散乱を[[ラマン散乱]]と呼ぶ。

==== 横型フォノンと縦型フォノン ====
フォノンの波数ベクトル（伝播方向）と同じ方向に格子振動する[[縦波]]と、垂直に格子振動する[[横波]]という2つのモードがある。
*音響フォノンでは、縦型フォノンは物質の[[圧縮]]や[[膨張]]に、横型フォノンは物質の[[せん断ひずみ]]に相当し、一般的には前者の[[復原力]]のほうが大きい。よって音響フォノンでは一般的に縦型フォノンのほうが伝播速度([[群速度]])が大きい<ref name = 100monshu/>。
*光学フォノンにおいては、縦型フォノンにより電荷が空間的に偏り([[分極]]{{math|'''P'''}}が[[電荷密度]]{{math|ρ＝－∇・'''P'''}}の変化を伴う)、分極による反電場の効果として縦型フォノンのほうが一般的に高い角振動数を持つ<ref name = 100monshu/>。

=== 分散関係と周期性 ===
[[File:Monoatomic chain phonon dispersion.svg|thumb|250px|単原子鎖のフォノンの分散関係]]
[[File:Diatomic phonons.png|thumb|250px|線形２原子鎖におけるフォノンの分散曲線。opticalは光学フォノン、acousticは音響フォノン]]
[[File:Phonon dispersion relations in GaAs.png|thumb|250px|GaAs中の格子振動に対応するフォノンの分散関係ω=ω（k）<ref>{{cite book |title=Fundamentals of Semiconductors |series=Physics and Materials Properties |first1=Peter Y. |last1=Yu |first2=Manuel |last2=Cardona |url=https://books.google.com/books?id=5aBuKYBT_hsC&pg=PA111 |page=111 |chapter=Fig. 3.2: Phonon dispersion curves in GaAs along high-symmetry axes |isbn=3-642-00709-0 |year=2010 |edition=4th |publisher=Springer}}</ref>]]
{{main|分散関係}}
<math>k=0</math>のとき<math>\omega(k)=0</math>となる分散曲線は音響フォノンによるものである。音響フォノンの分散曲線の傾き<math>v=\frac{d\omega(k)}{dk}</math>はフォノンの伝搬する[[群速度]]である。音響フォノンの分散曲線は<math>k=0</math>近傍では<math>k</math>に比例する、つまり一定の群速度となる。これは、音速が波長に比例するという弾性波のもつ性質を表す。

一方で、<math>k=0</math>のとき<math>\omega(k) \ne 0</math>となる分散曲線は光学フォノンによるものである。

=== 状態密度 ===
{{main|状態密度}}
フォノンの状態密度は、フォノン数を第一[[ブリュアンゾーン]]で積分したものである。実験的には、[[非弾性中性子散乱]]で求まる。[[比熱]]などは、フォノンの状態密度によって決まる（[[デバイ模型]]）。

== フォノンバンド ==
{{main|フォノンバンド}}
[[結晶構造|結晶格子]]のような[[周期]][[構造]]中では、フォノンの[[振動数]]は[[制限]]され[[離散数学|離散的]]になる。又、[[量子力学]]の[[効果]]で[[電子]]の場合と同様に、フォノンも[[バンド構造]]（フォノンバンド）を作る。

== フォノンのソフト化 ==
[[物質]]によっては、[[温度]]を下げるとフォノン（[[格子振動]]）の[[振幅]]が小さくなっていって、ある[[転移温度]]以下で[[温度|低温]][[相_(物質)|相]]へ[[相転移]]し、フォノンによる[[結晶格子|格子]]の[[変位]]が[[凝固|凍結]]した[[状態]]となることがある。

これを'''フォノンのソフト化'''と言う。

厳密には、[[格子振動]]とフォノンは同義ではないが、同じような[[意味]]合いで使われることがある。

== 熱伝導 ==
フォノンによる[[熱伝導]]は、フォノンが[[音速]]<math>v</math>で飛びまわるとして[[気体分子運動論]]を適用したモデルで記述できる<ref name="木暮"/>。[[熱伝導率]]<math>k</math>は、[[比熱]]<math>C</math>とフォノンの[[平均自由行程]]<math>l</math>で表される。
:<math>k=\frac{Cvl}{3}</math>
フォノンの平均自由行程は一般的に温度の関数であり、[[フォノン散乱]]についての情報を含んでいる。

== フォノンの非調和性 ==

=== 摂動論とフォノン間相互作用 ===
格子の[[位置エネルギー]]は各原子の平衡位置からの変位についてベキ展開できる。

もし2次の項までとれば、格子振動が[[調和振動]]と見なすことができ、フォノン間に相互作用はない。

3次および4次の項が比較的小さく[[摂動]]とみなせる場合は、これらを調和フォノンの[[生成消滅演算子]]を用いて表すことができる。
[[非調和振動]]の影響が大きくなると、3次および4次の項によってフォノン間に相互作用が働き、フォノンの生成や消滅が起こる。
3次の項は3つの演算子の積で、1個のフォノンが2個のフォノンに崩壊するような過程を記述する。
4次の項は2個のフォノンの衝突や、1個のフォノンが2個のフォノンに崩壊する過程などの過程を記述する。<ref>[[デイヴィッド・J・サウレス]]著『多体系の量子力学』松原武生・[[米沢富美子]]訳、[[吉岡書店]]、1965年、ISBN 486345144X。</ref>

温度が[[デバイ温度]]よりはるかに高いときは、非調和性の効果が大きくなり、摂動論が適用できなくなる。よって調和近似で考えたフォノンは、素励起としての意味を失う<ref name=bussei>{{cite book | 和書 | title=物性 II　素励起の物理 (新装版 現代物理学の基礎 第7巻) | year=2012 | publisher=岩波書店 | id={{ISBN2|4-00-029807-0}}。ISBN-13: 978-4-00-029807-0}}</ref>。

=== 自己無撞着フォノン法 ===
[[固体ヘリウム]]のような[[量子固体]]では、原子間相互作用のポテンシャルエネルギーが極小値よりかなり大きい。よってポテンシャルの極小点のまわりに小さな振動をしているという調和近似の考えが適用することができない。しかし一方で、中性子非弾性散乱の実験を行うと、フォノンのピークが観測される。よって調和近似の枠を超えて、フォノンの概念を基礎づける必要がある。

自己無撞着フォノン法は、このような量子固体や非調和性の大きい古典的固体に対して有効な方法である。ポテンシャルを<math>V(x)</math>、格子点を<math>x=0</math>とすると、調和近似では力の定数はポテンシャルの二回微分<math>V''(0)</math>で与えられる。一方で自己無撞着フォノン法において力の定数は、(力の定数をパラメータとして含む)調和振動の状態関数<math>|0\rangle</math>に関する<math>V''(x)</math>の期待値で与えられる。<ref name=bussei/>

== フォノンと光子の比較 ==
共に質量のないボース粒子であるフォノンと[[光子]]の比較を以下に示す。<ref>{{Cite book|和書|first1=N. W. |last1=アシュクロフト|first2=N. D. |last2=マーミン|others=松原, 武生（訳）、町田, 一成（訳）|title=固体物理の基礎 (下・1) 固体フォノンの諸問題|series=物理学叢書 48|publisher=吉岡書店|date=1982|id={{ISBN2|4-8427-0202-8}}。ISBN-13: 978-4-8427-0202-5}}</ref>
{|class=wikitable
!||フォノン||光子
|-
|{{rh}}|基準振動の数
|align=center|各<math>\mathbf{k}</math>に対して3p個のモード（pは基本構造中の原子数）<br>分散関係は複雑：<math>\omega=\omega_s(\mathbf{k})</math>（sはモード）
|align=center|各<math>\mathbf{k}</math>に対して2個のモード<br>分散関係は直線：<math>\omega=ck</math>（cは光速）
|-
|{{rh}}|波数ベクトルの制限
|align=center|<math>\mathbf{k}</math>は第一ブリルアンゾーンに限られる
|align=center|<math>\mathbf{k}</math>は任意
|-
|{{rh}}|熱エネルギー密度
|align=center|<math>\sum_s \int\frac{1}{(2\pi)^3}\frac{\hbar\omega_s(\mathbf{k})}{e^{\beta\hbar\omega_s(\mathbf{k})}-1}d\mathbf{k}</math><br>(積分は第一ブリルアンゾーンについて)
|align=center|<math>2 \int\frac{1}{(2\pi)^3}\frac{\hbar ck}{e^{\beta\hbar ck}-1}d\mathbf{k}</math><br>(積分はすべての<math>\mathbf{k}</math>について)
|}

光子の熱エネルギーの式は、デバイ近似のフォノンの式と似ているが、以下の点が異なる。
*光子では、音速が光速で置き換えられている。
*光子では、ただ2つだけのモードだけがある(電磁放射は横波でなければならない、縦波のモードは無い)ことに対応して、余分の因子2/3を持っている。
*許される光子の波数ベクトルの最高値に制限がないため、光子における積分の上限は∞である。

== フォノニクス ==
フォノンは[[光子]]や[[電子]]のように、多くの目的で[[粒子]]として扱えるので、実用的な応用に利用して操作することができる。フォノンスペクトルは低周波音響から[[超音波]]や熱まで広範囲に効果を及ぼすため、フォノニック技術は[[免震]]、[[音響学]]、熱管理などの広範囲にわたる応用が可能で[[フォノニック結晶]]、[[メタマテリアル]]、[[熱電素子]]、[[MOEMS]]など、さまざまなスケールでフォノンを制御する方法がある<ref>{{citation|url=http://www.natureasia.com/ja-jp/nature/highlights/49223 |title=フォノニクス時代に備えよう |date=2013年11月14日 |volume=503 |issue=7475 |journal=[[ネイチャー|Nature]] }}</ref>。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[ゼロフォノン線とフォノンサイドバンド]]
* [[コヒーレントフォノン]]
* [[スピン-フォノン相互作用]]
* [[フォノン散乱]]
* [[フォノンバンド]]
* [[表面フォノン]]
* [[DFPT法]]
* [[メーザー]]

{{粒子の一覧}}
{{Condensed matter physics topics}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ふおのん}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:固体物理学]]
[[Category:準粒子]]
[[Category:振動と波動]]