フォワード測度のソースを表示

'''フォワード測度'''（フォワードそくど、{{lang-en-short|forward measure}}）とは、[[数理ファイナンス]]において、[[リスク中立測度]]と[[絶対連続]]である価格付けの測度である。しかし、{{仮リンク|ニュメレール|en|numeraire}}としてマネーマーケットアカウントを使わず、満期が ''T'' である[[債券]]が用いられている（特に満期を明示して ''T''–フォワード測度と言う事も多い）。フォワード測度の利用は{{仮リンク|ファルシド・ジャムシディアン|en|Farshid Jamshidian}}により1987年に始められ、{{仮リンク|債券オプション|en|bond option}}の価格計算の方法として用いられている<ref>{{citation  
|first=Farshid 
|last=Jamshidian 
|date=1989
|title= An Exact Bond Option Pricing Formula
| journal=The Journal of Finance 
|volume=44
|issue = 1
|pages= 205–209
| DOI=10.1111/j.1540-6261.1989.tb02413.x
|jstor = 2328284}}</ref>。

== 数学的定義 ==

以下の記述は{{Harvnb|Musiela and Rutkowski|(2004)|ref=Musiela,Rutkowski2004}}に基づく。

まずニュメレールとしての銀行口座、もしくはマネーマーケットアカウントを以下のように定義する。
: <math>B(T) = \exp\left(\int_0^T r(u)\, du\right)</math>
更に時点0から満期 ''T'' までの割引ファクターを以下のように定義する。
: <math>D(T) = 1/B(T) = \exp\left(-\int_0^T r(u)\, du\right)</math>
もし <math>Q_*</math> がリスク中立測度ならば、フォワード測度 <math>Q_T</math> は[[ラドン＝ニコディムの定理|ラドン–ニコディム微分]]として以下のように与えられる。
:<math>\frac{dQ_T}{dQ_*} = \frac{1}{B(T) E_{Q_*}[1/B(T)]} = \frac{D(T)}{E_{Q_*}[D(T)]}.</math>
上の式は利子率が非確率的ならばフォワード測度とリスク中立測度は一致することを意味している。また、ニュメレールを銀行口座もしくはマネーマーケットアカウント ''B''(''t'') から満期 ''T'' の債券 ''P''(''t'',''T'') に変えた際のニュメレール変換公式の一つでもある。実際、時点 ''t'' における満期 ''T'' のゼロクーポン債価格が
:<math>P(t,T) = E_{Q_*}\left[\frac{B(t)}{B(T)}|\mathcal{F}(t)\right] = E_{Q_*}\left[\frac{D(T)}{D(t)}|\mathcal{F}(t)\right] </math>
と書けるならば（ <math>\mathcal{F}(t)</math> は時点 ''t'' における市場の情報を表すフィルトレーションである）、
:<math>\frac{dQ_T}{dQ_*} = \frac{B(0) P(T,T)}{B(T) P(0,T)} </math>
と書ける。この式より、''T''–フォワード測度は{{仮リンク|ニュメレール|en|numeraire}}としての満期 ''T'' のゼロクーポン債と関連していることが明確になる。 
より詳細な議論については{{Harvnb|Brigo and Mercurio|(2006)|ref=Brigo,Mercurio2006}}を参照せよ。

== 結果 ==
"フォワード測度"の名前は、フォワード測度の下で{{仮リンク|先渡価格|en|forward price}}が[[マルチンゲール]]となることに由来している。この事実は、フォワード測度を正式に定義したとされる、{{Harvnb|German|(1989)|ref=German1989}} によって最初に見出された<ref>{{Citation
|last = Geman
|first = Helyette
|title = The Importance of Forward Neutral Probability in a Stochastic Approach of Interest Rates
|journal = Working paper, ESSEC
|ref=German1989}}</ref>。リスク中立測度の下でマルチンゲールとなる先物価格と比べると、利子率が非確率的であるならば、フォワード測度は先渡価格と先物価格は一致する事を意味している。

例えば、割引株式価格はリスク中立測度の下でマルチンゲールである。
:<math>S(t) D(t) = E_{Q_*}[D(T)S(T) | \mathcal{F}(t)].\,</math>
先渡価格は <math>F_S(t,T) = \frac{S(t)}{P(t,T)}</math> で与えられる。よって <math>F_S(T,T)=S(T)</math> が得られる。ラドン–ニコディム微分 <math>\frac{dQ_T}{dQ_*}</math> と等式 <math>F_S(T,T)=S(T)</math> を用いれば
:<math>F_S(t,T) = \frac{E_{Q_*}[D(T)S(T) | \mathcal{F}(t)]}{D(t) P(t,T)}= E_{Q_T}[F_S(T,T) | \mathcal{F}(t)]\frac{E_{Q_*}[D(T)|\mathcal{F}(t)]}{D(t) P(t,T)}</math>
となる。最後の項は債券価格の定義より1と等しいので以下が得られる。
:<math>F_S(t,T) = E_{Q_T}[F_S(T,T)|\mathcal{F}(t)].\,</math>

==参考文献==
{{reflist}}
*{{Citation 
| title = Interest Rate Models &mdash; Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit
| first1 = Damiano
|last1 = Brigo
|first2 = Fabio
|last2 = Mercurio 
| publisher = Springer Verlag 
| year = 2006 
| edition = 2
| isbn = 978-3-540-22149-4
|ref=Brigo,Mercurio2006}}
*{{Citation
|last1 = Musiela
|first1 = Marek
|last2 = Rutkowski
|first2 = Marek
|title = Martingale Methods in Financial Modelling
|edition = 2
|location = New York
|publisher = Springer-Verlag
|year = 2004
|isbn = 978-3-540-20966-9
|doi = 10.1007/b137866
|ref = Musiela,Rutkowski2004
}}

==関連項目==

*[[リスク中立測度]]
*{{仮リンク|先渡価格|en|Forward price}}

{{デフォルトソート:ふおわあとそくと}}
[[Category:数理ファイナンス]]
[[Category:マルチンゲール理論]]
[[Category:数学に関する記事]]