フォン・ノイマン正則環のソースを表示

[[数学]]において、'''フォン・ノイマン正則環'''（{{lang-en-short|von Neumann regular ring}}）とは、[[環 (数学)|環]] ''R'' であって、任意の ''a'' &isin; ''R'' に対してある ''x'' &isin; ''R'' が存在し、''a'' = ''axa'' となるようなものである{{sfn|von Neumann|1960|loc={{google books quote|id=onE5HncE-HgC|page=70|Definition 2.2}}}}{{sfn|Rotman|2009|p={{google books quote|id=P2HV4f8gyCgC|page=159|159}}}}。[[可換環論]]における[[正則環]]や[[正則局所環]]との混乱を避けるため、フォン・ノイマン正則環は'''絶対平坦環''' (absolutely flat ring) とも呼ばれる。なぜならば、フォン・ノイマン正則環は任意の左[[環上の加群|加群]]が[[平坦加群|平坦]]であるような環として特徴づけられるからである{{sfn|Rotman|2009|loc={{google books quote|id=P2HV4f8gyCgC|page=160|Theorem 4.9 (Harada)}}}}。

''x'' を ''a'' の"{{仮リンク|弱逆元|en|Weak inverse}}" (weak inverse) と考えることができる。一般に ''x'' は ''a'' によって一意には決まらない。

フォン・ノイマン正則環は {{harvs|txt|authorlink=John von Neumann|last=von Neumann|year=1936}} によって"正則環"という名前でフォン・ノイマン多元環や連続幾何の研究中に導入された。

環の元 ''a'' は ''a'' = ''axa'' となるような ''x'' が存在するときに'''フォン・ノイマン正則元'''と呼ばれる<ref name=K110>{{harvnb|Kaplansky|1972|p=110}}</ref>。イデアル <math>\mathfrak{i}</math> はフォン・ノイマン正則な非単位的環であるとき、すなわち <math>\mathfrak{i}</math> の任意の元 ''a'' に対し <math>\mathfrak{i}</math> の元 ''x'' が存在し ''a''&nbsp;=&nbsp;''axa'' となるとき（フォン・ノイマン）正則イデアルと呼ばれる<ref name=K112>{{harvnb|Kaplansky|1972|p=112}}</ref>。

== 例 ==
すべての[[可換体|体]]（とすべての[[可除環]]）はフォン・ノイマン正則である。{{nowrap|''a'' ≠ 0}} に対して {{nowrap|1=''x'' = ''a''<sup>−1</sup>}} ととれる<ref name=K110/>。[[整域]]がフォン・ノイマン正則であることと体であることは同値である。

フォン・ノイマン正則環の別の例は体 ''K'' の元を成分にもつ ''n'' 次[[全行列環]] M<sub>''n''</sub>(''K'') である。''r'' を {{nowrap|''A'' ∈ M<sub>''n''</sub>(''K'')}} のランクとすれば、[[可逆行列]] ''U'' と ''V'' が存在して
:<math>A = U \begin{pmatrix}I_r &0\\
0 &0\end{pmatrix} V</math>
となる（ただし ''I''<sub>''r''</sub> は ''r'' 次[[単位行列]]）。{{nowrap|1=''X'' = ''V''<sup>−1</sup>''U''<sup>−1</sup>}} とおけば、
:<math>AXA= U \begin{pmatrix}I_r &0\\
0 &0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I_r &0\\
0 &0\end{pmatrix} V = U \begin{pmatrix}I_r &0\\
0 &0\end{pmatrix} V = A</math>
である。より一般に、フォン・ノイマン正則環上の行列環は再びフォン・ノイマン正則環である<ref name=K110/>。

有限[[フォン・ノイマン環]]の {{仮リンク|affiliated作用素|en|Affiliated operator}} の環はフォン・ノイマン正則である。

[[ブール環]]はすべての元が {{nowrap|1=''a''<sup>2</sup> = ''a''}} を満たすような環である。すべてのブール環はフォン・ノイマン正則である。

== 事実 ==

環 ''R'' について次は同値である。
* ''R'' はフォン・ノイマン正則
* すべての単項左イデアルはある1つのベキ等元によって生成される
* すべての有限生成左イデアルはある1つのベキ等元によって生成される
* すべての単項左イデアルは左 ''R''-加群 ''R'' の直和因子である
* すべての有限生成左イデアルは左 ''R''-加群 ''R'' の直和因子である
* 射影左 ''R''-加群 ''P'' のすべての有限生成部分加群は ''P'' の直和因子である
* すべての左 ''R''-加群は[[平坦加群|平坦]]である。これは ''R'' が '''絶対平坦''' であることや ''R'' の弱次元が0であることとしても知られている
* 左 ''R''-加群のすべての[[短完全列]]は{{仮リンク|純完全|en|pure exact}} (pure exact) である
左を右に変えたものも ''R'' がフォン・ノイマン正則であることと同値である。

可換フォン・ノイマン正則環において、各元 ''x'' に対して唯一の元 ''y'' が存在して {{nowrap|1=''xyx''=''x''}} かつ {{nowrap|1=''yxy''=''y''}} となるので、''x'' の「弱逆元」を選ぶカノニカルな方法がある。以下の主張は可換環 ''R'' に対して同値である。
* ''R'' はフォン・ノイマン正則である。
* ''R'' は[[クルル次元]] 0 で[[被約環|被約]]である。
* [[極大イデアル]]における ''R'' のすべての[[環の局所化|局所化]]は体である。
* ''R'' は {{nowrap|''x'' ∈ ''R''}} の「弱逆元」（{{nowrap|1=''xyx''=''x''}} かつ {{nowrap|1=''yxy''=''y''}} であるような唯一の元 ''y''）をとる操作で閉じている体の直積の部分環である。

また、以下も同値である。可換環 ''A'' に対して、
* {{nowrap|1=''R'' = ''A'' / nil(''A'')}} はフォン・ノイマン正則である。
* ''R'' の[[環のスペクトル|スペクトル]]は（ザリスキ位相で）ハウスドルフである。
* Spec(''A'') に対して {{仮リンク|可設位相|en|constructible topology}} とザリスキ位相は一致する。

すべての[[半単純環]]はフォン・ノイマン正則であり、左（または右）[[ネーター環|ネーター的]]フォン・ノイマン正則環は半単純である。すべてのフォン・ノイマン正則環は[[ジャコブソン根基]]が {0} であり、したがって[[半原始環]]（"ジャコブソン半単純"(Jacobson semi-simple) とも呼ばれる。）である。

上の例を一般化して、''S'' を環として ''M'' を ''S''-加群であって ''M'' のすべての[[部分加群]]が ''M'' の直和成分であるようなものとする（そのような加群 ''M'' は''[[半単純加群]]''と呼ばれる）。すると[[自己準同型環]] End<sub>''S''</sub>(''M'') はフォン・ノイマン正則である。とくに、すべての[[半単純環]]はフォン・ノイマン正則である。

== 一般化と特殊化 ==

フォン・ノイマン正則環の特別なタイプに、単元正則環 (''unit regular ring'') と強フォンノイマン正則環 (''strongly von Neumann regular ring'') と{{仮リンク|階数付き環|en|rank ring}} (''rank ring'') がある。

環 ''R'' が'''単元正則'''であるとは、すべての ''a'' &isin; ''R'' に対して、単元 ''u'' &isin; ''R'' が存在して、{{nowrap|1=''a'' = ''aua''}} が成り立つことである。すべての[[半単純環]]は単元正則であり、単元正則環は[[デデキント有限環]] (directly finite ring) である。普通のフォン・ノイマン正則環はデデキント有限であるとは限らない。

環 ''R'' が '''強フォン・ノイマン正則'''であるとは、すべての ''a'' &isin; ''R'' に対して、ある ''x'' &isin; ''R'' が存在して、{{nowrap|1=''a'' = ''aax''}} が成り立つことである。この条件は左右対称である。強フォン・ノイマン正則環は単元正則である。すべての強フォン・ノイマン正則環は[[可除環]]の{{仮リンク|部分直積|en|subdirect product}}に表されるから、ある意味で強フォンノイマン正則環は（可換体の部分直積として表せるという）可換フォン・ノイマン環の性質をより密接に模倣するものになっている。もちろん可換環に対して、フォン・ノイマン正則と強フォン・ノイマン正則は同値である。一般に、以下は環 ''R'' に対して同値である。
* ''R'' は強フォン・ノイマン正則である。
* ''R'' はフォン・ノイマン正則かつ[[被約環|被約]]である。
* ''R'' はフォン・ノイマン正則かつ ''R'' のすべての冪等元は中心的である。
* ''R'' のすべての主左イデアルはある1つの中心冪等元によって生成される。

フォン・ノイマン正則環の一般化には以下のものがある。'''π'''-正則環、左／右[[半遺伝環]]、左／右[[非特異環]]、[[半原始環]]。

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{citation | first=Irving | last=Kaplansky | authorlink=Irving Kaplansky | title=Fields and rings | edition=Second | series=Chicago lectures in mathematics | publisher=University of Chicago Press | year=1972 | isbn=0-226-42451-0 | zbl=1001.16500 }}
* {{cite book
|last1      = Rotman
|first1     = Joseph J. 
|year       = 2009
|title      = An Introduction to Homological Algebra
|edition   = Second
|series     = Universitext
|url        = {{google books|P2HV4f8gyCgC|An Introduction to Homological Algebra|plainurl=yes}}
|publisher  = Springer
|isbn       = 978-0-387-24527-0
|zbl       = 1157.18001
|ref        = harv
}}

== 読書案内 ==
*{{citation  |author=Goodearl, K. R.   |title=von Neumann regular rings  |edition=2nd   |publisher=Robert E. Krieger Publishing Co. Inc.  |place=Malabar, FL   |year=1991   |pages=xviii+412   |isbn=0-89464-632-X   |mr=1150975 | zbl=0749.16001  }}
*{{SpringerEOM|title=Regular ring (in the sense of von Neumann)|author=L.A. Skornyakov|urlname=Regular_ring_(in_the_sense_of_von_Neumann)}}
*{{Citation | last1=von Neumann | first1=John | author1-link=John von Neumann | title=On Regular Rings | doi=10.1073/pnas.22.12.707 | jfm=62.1103.03 | year=1936 | journal=Proc. Nat. Acad. Sci. USA | volume=22 | pages=707–712 | pmid=16577757 | issue=12 | pmc=1076849 | zbl=0015.38802  }}
*{{Citation | last1=von Neumann | first1=John | author1-link=John von Neumann | title=Continuous geometries | url={{google books|onE5HncE-HgC|plainurl=yes}} | publisher=[[Princeton University Press]] | year=1960 | zbl=0171.28003 }}

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|正則半群|en|Regular semigroup}}
* {{仮リンク|弱逆元|en|Weak inverse}}

{{DEFAULTSORT:ふおんのいまんせいそくかん}}
[[Category:環論]]
[[Category:ジョン・フォン・ノイマン]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]