フォン・マンゴルト関数のソースを表示

'''フォン・マンゴルト関数'''（フォン・マンゴルトかんすう、{{lang-en-short|''von Mangoldt function''}}）は数論における関数である。ドイツの数学者{{仮リンク|ハンス・フォン・マンゴルト|en|Hans_Carl_Friedrich_von_Mangoldt}}に因んで名付けられた。これは、[[乗法的関数|乗法的]]でも[[加法的関数|加法的]]でもない重要な[[算術関数]]の例である。

== 定義 ==
Λ（''n''）で表されるフォン・マンゴルト関数は、次のように定義される。

: <math>\Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \text{if }n=p^k \text{ for some prime } p \text{ and integer } k \ge 1, \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}</math>

最初の9個の正の整数（つまり自然数）のΛ（''n''）の値は次のとおりであり、{{OEIS|id=A014963}}に関連する。

: <math>0 , \log 2 , \log 3 , \log 2 , \log 5 , 0 , \log 7 , \log 2 , \log 3,</math>

[[チェビシェフ関数]]としても知られている'''総和フォン・マンゴルト関数''' {{Math|''ψ''(''x'')}} は、次のように定義される。

: <math>\psi(x) = \sum_{n\le x} \Lambda(n)</math>

フォン・マンゴルト関数により、[[リーマンゼータ関数]]の非自明な零点上の合計を含む {{Math|''ψ''(''x'')}} の明示的な式について、厳密な証明を与えることができた。これは[[素数定理]]の最初の証明の重要な部分であった。

== 性質 ==
フォン・マンゴルト関数は、以下の恒等式を満たす。<ref name="Apo32">Apostol (1976) p.32</ref><ref name="Ten30">Tenenbaum (1995) p.30</ref>

: <math>\log(n) = \sum_{d \mid n} \Lambda(d)</math>

和は {{Mvar|n}} のすべての[[約数]] {{Mvar|d}} を渡る。この恒等式は、素数の累乗ではない項が0に等しいことから、[[算術の基本定理]]によって証明される。たとえば、{{Math|''n'' {{=}} 12 {{=}} 2<sup>2</sup> × 3}}の場合を考える。すると

: <math>\begin{align}
\sum_{d \mid 12} \Lambda(d) &= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda(4) + \Lambda(6) + \Lambda(12) \\
&= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda \left (2^2 \right ) + \Lambda(2 \times 3) + \Lambda \left (2^2 \times 3 \right) \\
&= 0 + \log(2) + \log(3) + \log(2) + 0 + 0 \\
&=\log (2 \times 3 \times 2) \\
&= \log(12).
\end{align}</math>

[[メビウスの反転公式]]により、以下の式が得られる。<ref name="Ten30">Tenenbaum (1995) p.30</ref><ref name="Apo33">Apostol (1976) p.33</ref><ref>{{Cite book|last=Schroeder|first=Manfred R.|title=Number theory in science and communication. With applications in cryptography, physics, digital information, computing, and self-similarity|edition=3rd|zbl=0997.11501|series=Springer Series in Information Sciences|volume=7|location=Berlin|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1997|isbn=3-540-62006-0}}</ref>

: <math>\Lambda (n) = - \sum_{d \mid n} \mu(d) \log(d)</math>

== ディリクレ級数 ==
フォン・マンゴルト関数は、[[ディリクレ級数]]の理論、特に[[リーマンゼータ関数]]において重要な役割を果たす。たとえば、以下の式が成り立つ。

: <math>\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}, \qquad \text{Re}(s) > 1</math>

この[[対数微分]]は以下のようになる。<ref name="HW">Hardy & Wright (2008) §17.7, Theorem 294</ref>

: <math>\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}</math>

これらは、ディリクレ級数に関するより一般的な関係の特別な場合である。[[乗法的関数|完全乗法的関数]] {{Math|''f''(''n'')}} に対して

: <math>F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}</math>

であり、級数が {{Math|Re(''s'') > σ<sub>0</sub>}} で収束するならば、

: <math>\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}</math>

は {{Math|Re(''s'') > σ<sub>0</sub>}} で収束する。

== チェビシェフ関数 ==
第二[[チェビシェフ関数]] {{math|''&psi;''(''x'')}} は、フォン・マンゴルト関数の{{仮リンク|総和的関数(sumamtory function)|en|Arithmetic_function#Summation_functions}}となる： <ref name="Apo246">Apostol (1976) p.246</ref>

: <math> \psi(x) = \sum_{p^k\le x}\log p=\sum_{n \leq x} \Lambda(n)</math>

チェビシェフ関数の[[メリン変換]]は、[[ペロンの公式]]を適用することで得られる：

: <math>\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = - s\int_1^\infty \frac{\psi(x)}{x^{s+1}}\,dx</math>

これは Re（''s''）> 1 の場合に成り立つ。

== 指数級数 ==
[[ファイル:Mangoldt-series.svg|右|サムネイル|400x400ピクセル]]
[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|ハーディ]]と[[ジョン・エデンサー・リトルウッド|リトルウッド]]は級数の極限 ''y'' → 0<sup>+</sup> を調べた<ref>{{Cite journal|last=Hardy|first=G. H.|last2=Littlewood|first2=J. E.|year=1916|title=Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes|url=http://www.ift.uni.wroc.pl/%7Emwolf/Hardy_Littlewood%20zeta.pdf|journal=Acta Mathematica|volume=41|issue=|pages=119–196|accessdate=2014-07-03|doi=10.1007/BF02422942}}</ref>

: <math>F(y)=\sum_{n=2}^\infty \left(\Lambda(n)-1\right) e^{-ny}</math>

彼らは[[リーマン予想]]を仮定すると以下の式が成り立つことを示した。

: <math>F(y)=O\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)\quad \text{and}\quad F(y)=\Omega_\pm\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)</math>

特にこの関数は、発散を伴って[[振動#数学における振動|振動]]する。つまり、0の近傍で以下の不等式を無限に何度も満たす値 {{Math|''K'' > 0}} が存在する。

: <math>F(y)< -\frac{K}{\sqrt{y}}, \quad \text{ and } \quad F(z)> \frac{K}{\sqrt{z}}</math>

右図は、この挙動が最初は数値的に明らかではないことを示している。''y'' < 10<sup>-5</sup> のときは、級数を1億項以上合計しないと振動ははっきりと見られない。

== リース平均 ==
フォン・マンゴルト関数の[[リース平均]]は、以下の式で与えられる。

: <math>\begin{align}
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta \Lambda(n) &= -\frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty}
\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} \lambda^s ds \\
&= \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_\rho \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)} + \sum_n c_n \lambda^{-n}.
\end{align}</math>

ここで、 ''λ'' と ''δ'' はリース平均を特徴付ける数値である。なお、 ''c'' > 1 とする必要がある。''ρ'' についての総和はリーマンゼータ関数の零点を渡る総和であり、

: <math>\sum_n c_n \lambda^{-n}\,</math>

は、''λ'' > 1 について収束級数であることを示せる。

== リーマンゼータ関数の零点による近似 ==
[[File:Real_part_of_n_raised_to_first_zeta_zero.svg|右|サムネイル|フォン・マンゴルト関数を近似するリーマンゼータ零点の総和による波]]
リーマンゼータ関数の零点を渡る総和の実部について考える。

: <math>-\sum_{i=1}^{\infty} n^{\rho(i)} </math>

ここで ''ρ''(''i'') は ''i'' 番目の零点である。素数にピークがあるが、隣のグラフでも確認でき、数値計算によっても検証できる。これは総和を取るとフォン・マンゴルト関数になるわけではない。<ref>{{Cite journal|last=Conrey|first=J. Brian|date=March 2003|title=The Riemann hypothesis|url=http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf|journal=Notices Am. Math. Soc.|volume=50|issue=3|pages=341–353}}  Page 346</ref>

{{clear}}

[[ファイル:Von_Mangoldt_function_Fourier_transform_zeta_zero_duality.PNG|フレーム|フォン・マンゴルト関数のフーリエ変換は、リーマンゼータの零点の虚数部のスペクトルを、対応する {{Mvar|x}} 座標のスパイクとして与える（右）。一方、フォン・マンゴルト関数はリーマンゼータの零点の波で近似できる（左）。]]
フォン・マンゴルト関数のフーリエ変換は、リーマンゼータ関数の零点の虚数部に等しい座標にスパイクのあるスペクトルを与える。これは、二重性と呼ばれることがある。

{{clear}}

== 関連項目 ==

* [[素数計数関数]]

== 脚注 ==
{{Reflist}}

* {{Apostol IANT}}
* {{Cite book|last=Hardy|first=G. H.|author-link=G. H. Hardy|last2=Wright|first2=E. M.|author2-link=E. M. Wright|editor-last=Heath-Brown|editor-first=D. R.|editor-link=Roger Heath-Brown|editor2-last=Silverman|editor2-first=J. H.|editor2-link=Joseph H. Silverman|title=An Introduction to the Theory of Numbers|edition=6th|publisher=Oxford University Press|location=Oxford|year=2008|origyear=1938|isbn=978-0-19-921985-8|mr=2445243|zbl=1159.11001|ref=HW}}

* {{Cite book|last=Tenebaum|first=Gérald|translator=C.B. Thomas|year=1995|title=Introduction to analytic and probabilistic number theory|series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|volume=46|publisher=[[Cambridge University Press]]|location=Cambridge|isbn=0-521-41261-7|zbl=0831.11001}}

== 外部リンク ==

* Allan Gut, ''[https://web.archive.org/web/20060619152909/http://www.math.uu.se/research/pub/Gut10.pdf Some remarks on the Riemann zeta distribution]'' (2005)
* {{springer|id=m/m062200|author=S.A. Stepanov|title=Mangoldt function}}
* Chris King, ''[http://the-messiahs-blog.blogspot.fi/2010/03/primes-out-of-thin-air.html Primes out of thin air]'' (2010)
* Heike, ''[https://stackoverflow.com/questions/8934125/how-plot-the-riemann-zeta-zero-spectrum-with-the-fourier-transform-in-mathematic How plot Riemann zeta zero spectrum in Mathematica?]'' (2012)

{{デフォルトソート:ふおんまんこるとかんすう}}
[[Category:整数論的関数]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]