フォン・ミーゼス分布のソースを表示

'''フォン・ミーゼス分布'''（フォン・ミーゼスぶんぷ; {{lang-en-short|von Mises distribution}}）は、円周上に定義された[[確率分布#確率分布の分類|連続型]]の[[確率分布]]である。[[方向統計学]]における代表的な分布モデルであり、確率変数を角度の関数として表す分布モデルなどに使われる。名前は[[リヒャルト・フォン・ミーゼス]]に因む。

== 定義と性質 ==
[[画像:vonMises_3D.png|200px|thumb|フォン・ミーゼス分布の[[確率密度関数]]を単位円上にプロットした図]]
{{math2|''μ'' (0 ≤ ''μ'' < 2''π''), ''β'' (''β'' ≥ 0)}} をパラメータ、実数 {{math2|''θ'' (0 ≤ ''θ'' < 2''π'')}} を確率変数
とするときのフォン・ミーゼス分布の[[累積分布関数]] {{math|''F''(''θ'')}} および[[確率密度関数]] {{math|''f''(''θ'')}} は以下の式で定義される。
:<math>F( \theta )=\left\{ 2\pi I_0 (\beta )\right\}^{-1}
    \left[\theta I_0 (\beta )+2\left\{ \sum_{j=0}^\infty \frac{I_j (\beta )\sin (j(\theta -\mu ))}{j} \right\} \right]
</math>
:<math>f(\theta )=\frac{\exp \{ \beta \cos (\theta -\mu )\}}{2\pi I_0 (\beta )}</math>
ここで
:<math>I_j (\beta )=\left( \frac{\beta}{2} \right)^j \sum_{i=0}^\infty \frac{\left( \frac{\beta^2}{4} \right)^i}{i!\Gamma (j+i+1)}</math>
は {{mvar|j}} 次の[[ベッセル関数#変形ベッセル関数|第一種変形ベッセル関数]]である。パラメータ {{mvar|β}} が大きいとき正規分布に近似でき、{{math2|''β'' {{=}} 0}} のとき一様分布に帰着する。

定義域が有限 ({{math2|0 ≤ ''θ'' < 2''π''}})、または {{mvar|θ}} に関して周期関数であることから、[[正規分布]]とは異なるが、方向統計学における代表的な分布であること、二変量正規分布を変換することでフォン・ミーゼス分布を得られること、最尤推定により平均方向が得られることなど、正規分布と類似性もあることから、円周正規分布 ({{en|circular normal distribution}}) と呼ばれることもある。しかし、[[再生性]]を持たない等、正規分布と異なる性質もある。

== 参考文献 ==
* 清水邦夫、「方向統計学の最近の発展」、計算機統計学、第19巻、第2号、pp. 127-150 (2006).
* 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).

== 関連項目 ==
* [[確率分布]]

== 外部リンク ==
* [http://ibisforest.org/index.php?von%20Mises分布 朱鷺の杜Wiki]

{{確率分布の一覧}}
{{DEFAULTSORT:ふおんみいせすふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]