フォードの円のソースを表示

[[画像:Ford circles colour.svg|400px|thumb|{{math2|1=''q'' = 1, …, 20}} に対するフォードの円。{{math2|''q'' ≤ 10}} の円に {{math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} を記し、{{mvar|q}} の値ごとに色分けしている。それぞれの円は基準線および隣り合う円に接している。同じ分母を持つ既約分数は同じ大きさの円を持つ。[http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/Ford_circles_colour.svg/1024px-Ford_circles_colour.svg.png (画像を大きなサイズで見たい場合クリック)] ]]
数学において、'''フォードの円'''（{{lang-en-short|''Ford circle''}}）とは、中心が <math>\left(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2} \right)</math>、半径が <math>\frac{1}{2q^2}</math> の円である。ただし、{{math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} は既約分数であり、すなわち {{math2|''p'', ''q''}} は[[互いに素 (整数論)|互いに素]]な整数。それぞれのフォードの円は水平軸 {{math2|1=''y'' = 0}}) に接しており、それらのうち任意の2つの円は互いに共有しないか外接しているかのどちらかである<ref name="ford" />。

== 歴史 ==
フォードの円は、互いに外接しており、基準線 ({{math2|1=''y'' = 0}}) は半径が無限大の円と考えられる。互いに接する円の体系は、[[アポロニウスの問題]]や[[アポロニウスのギャスケット]]などに名が残る[[ペルガのアポロニウス]]によって研究された<ref name="coxeter">{{citation
 |last = Coxeter |first = H. S. M. |authorlink = Harold Scott MacDonald Coxeter
 |journal = The American Mathematical Monthly
 |mr = 0230204
 |pages = 5-15
 |title = The problem of Apollonius
 |volume = 75
 |year = 1968
 |doi = 10.2307/2315097}}.</ref>。17世紀には[[ルネ・デカルト]]が、互いに接する円の半径の逆数間の関係に関するものである[[デカルトの円定理|デカルトの定理]]を発見した<ref name="coxeter"/>。

フォードの円は日本の[[和算]]の[[算額]]にも登場する。このうち代表的な問題として、1824年の[[群馬県]]の算額にて出題されたものが挙げられる。この問題は共通の接線を持ち互いに外接する3つの円に関するものである。この問題は2つの外接する円が与えられているとき、その2つの円と共通外接線の中に外接する小さな円の大きさを答えよというものであった。この問題の答えはフォードの円に等しい<ref>{{citation
 |last1 = Fukagawa |first1 = Hidetosi
 |last2 = Pedoe |first2 = Dan
 |isbn = 0-919611-21-4
 |location = Winnipeg, MB
 |mr = 1044556
 |publisher = Charles Babbage Research Centre
 |title = Japanese temple geometry problems
 |year = 1989}}.</ref>。
:<math>\frac{1}{\sqrt{r_\text{middle}\vphantom{A}}} = \frac{1}{\sqrt{r_\text{left}\vphantom{A}}} + \frac{1}{\sqrt{r_\text{right}\vphantom{A}}}.</math>

フォードの円は1938年にフォードの円について言及したアメリカの数学者{{仮リンク|レスター・フォード|en|Lester R. Ford}}の名前に因んで名づけられた<ref name="ford">{{citation
 |last = Ford |first = Lester R
 |doi = 10.2307/2302799
 |issue = 9
 |journal = The American Mathematical Monthly
 |mr = 1524411
 |pages = 586-601
 |title = [http://jstor.org/stable/2302799 Fractions]
 |volume = 45
 |year = 1938}}.</ref>。

== 性質 ==
分数 {{math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} に対するフォードの円は <math>C \left[ \frac{p}{q} \right]</math> あるいは <math>C[p,q]</math> と表記される。すべての有理数に、対応したフォードの円が存在する。さらに、直線 {{math2|1=''y'' = 1}} はフォードの円の一つとしてカウントされる。これは、直線 {{math2|1=''y'' = 1}} が {{math|{{sfrac|0|1}}}} に対する、半径[[無限大]]のフォードの円であると考えられるためである。

異なる2つのフォードの円は、互いに[[素集合|共有点を持たない]]か[[接線|外接している]]かのどちらかである。{{mvar|x}}軸上の有理数である点には、1つのフォードの円が接している。0 と 1 の間の {{math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} に対して、<math>C \left[ \frac{p}{q} \right]</math> に接するフォードの円は次のようにさまざまに表現することができる。
#円 <math>C \left[ \frac{r}{s} \right]</math> ただし <math>|ps-qr|=1</math><ref name="ford"/>。
#[[ファレイ数列]]において、分数 {{math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} に隣接する分数 {{math|{{sfrac|''r''|''s''}}}} に対する円。
#{{仮リンク|Stern–Brocot tree|en|Stern–Brocot tree}}において、{{math|{{sfrac|''r''|''s''}}}} が {{math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} よりも一つ大きい、あるいは一つ小さい ancestor であるときの円  <math>C \left[ \frac{r}{s} \right]</math>、あるいは {{math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} が {{math|{{sfrac|''r''|''s''}}}} より1つ大きい、あるいは1つ小さい ancestor のときの円 <math>C \left[ \frac{r}{s} \right]</math><ref name="ford"/>。

フォードの円はまた[[複素平面]]上の曲線としても考えられる。複素平面の変換の[[モジュラー群]]はフォードの円をフォードの円へと写す<ref name="ford"/>。

複素平面の上半平面を[[双曲幾何学|双曲平面]]のモデル（[[ポワンカレの上半平面モデル]]）と解釈することで、フォードの円は{{仮リンク|ホロサイクル|en|horocycle}}による双曲平面の[[平面充填|タイリング]]とも解釈することができる。任意の 2 つのフォードの円は双曲幾何学において[[図形の合同|合同]]である<ref>{{citation
 |last = Conway |first = John H. |authorlink = John Horton Conway
 |isbn = 0-88385-030-3
 |location = Washington, DC
 |mr = 1478672
 |pages = 28-33
 |publisher = Mathematical Association of America
 |series = Carus Mathematical Monographs
 |title = The sensual (quadratic) form
 |volume = 26
 |year = 1997}}.</ref>。<math>C \left[ \frac{p}{q} \right]</math> と <math>C \left[ \frac{r}{s} \right]</math> が互いに接しているフォードの円ならば、<math>\left( \frac{p}{q}, 0 \right)</math> と <math>\left( \frac{r}{s}, 0 \right)</math> を結ぶ、{{mvar|x}}軸に垂直な半円は双曲的直線であり、この双曲的直線は2つの円の接点も通る。 

フォードの円は {{math2|1=''y'' = 0, ''y'' = 1}} と円 <math>C \left[ \frac{0}{1} \right]</math> によって作られるアポロニウスのギャスケットの部分集合である<ref>{{citation
 |last1 = Graham |first1 = Ronald L.
 |last2 = Lagarias |first2 = Jeffrey C.
 |last3 = Mallows |first3 = Colin L.
 |last4 = Wilks |first4 = Allan R.
 |last5 = Yan |first5 = Catherine H.
 |arxiv = math.NT/0009113
 |doi = 10.1016/S0022-314X(03)00015-5
 |issue = 1
 |journal = Journal of Number Theory
 |mr = 1971245
 |pages = 1-45
 |title = Apollonian circle packings: number theory
 |volume = 100
 |year = 2003}}.</ref>。

== フォードの円の総面積 ==
フォードの円（円板）の面積、[[オイラーのトーシェント関数]] <math>\varphi</math>、[[リーマンゼータ関数]] <math>\zeta</math>、[[アペリーの定数]] <math>\zeta(3)</math> の間には繋がりがある<ref>{{citation
 |last = Marszalek |first = Wieslaw
 |doi = 10.1007/s00034-012-9392-3
 |issue = 4
 |journal = Circuits, Systems and Signal Processing
 |pages = 1279-1296
 |title = Circuits with oscillatory hierarchical Farey sequences and fractal properties
 |volume = 31
 |year = 2012}}.</ref>。フォードの円全体：
:<math>\left\{ C[p,q]: 0 < \frac{p}{q} \leq 1, \, (p,q)=1 \right\}</math>
は、どの2つも交わらないので、総面積は 1 よりも小さい。ゆえにフォードの円の総面積は収束し、その総面積は
:<math>A = \sum_{q\ge 1} \sum_{(p,q)=1 \atop 1 \le p \leq q} \pi \left( \frac{1}{2 q^2} \right)^2</math>
である。この式を単純化することで次の式を得る。
:<math>A = \frac{\pi}{4} \sum_{q\ge 1} \frac{1}{q^4}
\sum_{(p,q)=1 \atop 1 \leq p \leq q} 1 = \frac{\pi}{4} \sum_{q\ge 1} \frac{\varphi(q)}{q^4} = \frac{\pi}{4} \frac{\zeta(3)}{\zeta(4)},</math>

ただし、最後の等号は[[オイラーのトーシェント関数]] <math>\varphi(q)</math> に関する[[母関数|母関数としてのディリクレ級数]]を反映している。<math>\zeta(4)= \frac{\pi^4}{90}</math> なので、最終的に次のようになる。
:<math>A = \frac{45}{2} \frac{\zeta(3)}{\pi^3}\approx 0.872284041.</math>

== 参照文献 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[ファレイ数列]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1392|フォードの円}}
* cut-the-knotというウェブサイトの[http://www.cut-the-knot.org/proofs/fords.shtml Ford's Touching Circles]
* {{mathworld|urlname=FordCircle|title=Ford Circle}}

{{DEFAULTSORT:ふおとのえん}}
[[Category:分数]]
[[Category:円 (数学)]]
[[Category:数学に関する記事]]