フックス型微分方程式のソースを表示

[[複素解析]]における'''フックス型微分方程式'''（フックスがたびぶんほうていしき、{{lang-en-short|Fuchsian equations}}）は、（[[解析函数|解析的]]）函数係数[[線型微分方程式|線型]][[常微分方程式]]で、その係数函数が[[無限遠点]]を含む[[リーマン球面]]上で[[有理型函数|有理型]]かつ任意の特異点が{{ill2|正則特異点|en|Regular_singular_point}}となるようなものを言う<ref name="toki">時弘哲治、工学における特殊関数、[[共立出版]]。</ref><ref name="hara">原岡喜重. (2002). 超幾何関数. [[朝倉書店]].</ref><ref name="kim">木村弘信: 超幾何関数入門——特殊関数への統一的視点からのアプローチ——, [[サイエンス社]], 2007年.</ref><ref>常微分方程式, 高野恭一, [[朝倉書店]], 1994年.</ref><ref>斎藤利弥：「線形微分方程式とフックス関数 I：ポアンカレを読む」、河合文化教育研究所、ISBN 4-87999-962-8 (1991年10月15日)</ref><ref>斎藤利弥：「線形微分方程式とフックス関数 II：ポアンカレを読む」、河合文化教育研究所、ISBN 4-87999-963-6 (1994年12月1日)</ref><ref>斎藤利弥：「線形微分方程式とフックス関数 III：ポアンカレを読む」、河合文化教育研究所、ISBN 4-87999-964-4 (1998年3月15日)</ref>。

二階の例を挙げれば:
:<math>\frac{d^2y}{dx^2} + p_1(x) \frac{dy}{dx} +p_2(x) y = 0</math>
がフックス型とは定義域の任意の点 {{math|1=''x'' = ''a''}} において {{math|''p''{{sub|1}}}} および {{math|''p''{{sub|2}}}} は正則であるか、さもなくば {{math|1=''x'' = ''a''}} は {{math|''p''{{sub|1}}}} の一位の[[極 (複素解析)|極]] かつ {{math|''p''{{sub|2}}}} の高々二位の極となるときに言う<ref name="toki"/>。

この常微分方程式は[[量子力学]]などの分野で広く応用される<ref name="toki"/>。

また3点の確定特異点をもつフックス型の微分方程式は必ず[[ガウスの微分方程式]]（超幾何微分方程式）の形に書き換え可能であることが知られている<ref name="toki"/>。

{{seealso|{{ill2|正則特異点#フックス型微分方程式|en|Regular_singular_point#Fuchsian_differential_equation}}}}
==出典==
{{脚注ヘルプ}}
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
{{reflist}}

== 外部リンク ==
* {{nlab|urlname=Fuchsian+equation|title=Fuchsian equation}}
* {{PlanetMath|urlname=FuchsianDifferentialEquation|title=Fuchsian differential equation}}
* {{SpringerEOM|urlname=Fuchsian_equation|title=Fuchsian equation|author=Fedoryuk, M.V.}}
{{Mathanalysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:ふつくすかたひふんほうていしき}}
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