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{{要改訳}} '''フビニ・スタディ計量'''(Fubini–Study metric)は、[[ヒルベルト空間|射影ヒルベルト空間]]上の[[ケーラー多様体|ケーラー計量]]である。つまり、[[複素射影空間]] '''CP'''<sup>''n''</sup> が[[エルミート形式]]を持つことを言う。この[[計量]]は、もともとは1904年と1905年に[[グイド・フビニ]](Guido Fubini)と{{仮リンク|エドワード・スタディ|en|Eduard Study}}(Eduard Study)が記述したものであった。 ベクトル空間 '''C'''<sup>''n''+1</sup> の[[エルミート形式]]は、GL(''n''+1,'''C''') の中のユニタリ部分群 U(''n''+1) を定義する。フビニ・スタディ計量は、U(''n''+1) 作用の下での不変性（スケーリングに対して）により差異を同一視すると決定し、等質性を持つ。フビニ・スタディ計量を持つ '''CP'''<sup>''n''</sup> は、（スケーリングを渡る）{{仮リンク|対称空間|en|symmetric space}}(symmetric space)である。特に、計量の正規化は、スケーリングの適用に依存する。[[リーマン幾何学]]においては、正規化された計量を使うことができるので、[[超球面|(2''n'' + 1) 次元球面]]上のフビニ・スタディ計量は、単純に標準の計量と関連付けられる。[[代数幾何学]]では、正規化を使い、'''CP'''<sup>''n''</sup> を[[小平埋め込み定理|ホッジ多様体]]とすることができる。 <!--In [[mathematics]], the '''Fubini–Study metric''' is a [[Kähler metric]] on [[projective Hilbert space]], that is, [[complex projective space]] '''CP'''<sup>''n''</sup> endowed with a [[Hermitian form]]. This [[Metric (mathematics)|metric]] was originally described in 1904 and 1905 by [[Guido Fubini]] and [[Eduard Study]]. A [[Hermitian form]] in (the vector space) '''C'''<sup>''n''+1</sup> defines a unitary subgroup U(''n''+1) in GL(''n''+1,'''C'''). A Fubini–Study metric is determined up to homothety (overall scaling) by invariance under such a U(''n''+1) action; thus it is homogeneous. Equipped with a Fubini–Study metric, '''CP'''<sup>''n''</sup> is a [[symmetric space]]. The particular normalization on the metric depends on the application. In [[Riemannian geometry]], one uses a normalization so that the Fubini–Study metric simply relates to the standard metric on the [[N-sphere|(2''n''+1)-sphere]]. In [[algebraic geometry]], one uses a normalization making '''CP'''<sup>''n''</sup> a [[Hodge manifold]].--> ==構成== フビニ・スタディ計量は[[複素射影空間]]の[[商空間]]{{要曖昧さ回避|date=2023年7月}}の構成の中で自然に現れる。 特に、'''CP'''<sup>n</sup> を '''C'''<sup>n+1</sup> の中のすべての複素直線からなる空間として、つまり、各々の点に複素数を掛けること（スケーリング）を同一視することによる '''C'''<sup>n+1</sup><math>\setminus</math>{0} の商空間として定義される。これは、乗法群 '''C'''<sup>*</sup> = '''C''' <math>\setminus</math> {0} の対角的な[[群作用]]による商と一致する。 :<math>\mathbf{CP}^n = \left\{ \mathbf{Z} = [Z_0,Z_1,\ldots,Z_n] \in {\mathbf C}^{n+1}\setminus\{0\}\, \right\} / \{ \mathbf{Z} \sim c\mathbf{Z}, c \in \mathbf{C}^* \}.</math> この商は、基礎空間 '''CP'''<sup>n</sup> 上の複素[[ラインバンドル]]として '''C'''<sup>n+1</sup>\{0} として実現される。（実際、この商は '''CP'''<sup>n</sup> 上の{{仮リンク|トートロジーバンドル|en|tautological bundle}}(tautological bundle)である。）このようにして、'''CP'''<sup>n</sup> は、0 でない複素数によるリスケールを modulo とした (n + 1)-個の組 [Z<sub>0</sub>,...,Z<sub>n</sub>] の同値類と同一視される。Z<sub>i</sub> をその点での{{仮リンク|斉次座標|en|homogeneous coordinates}}(homogeneous coordinates)という。 さらに、2つのステップを経て、この商を得る。0 でない複素スカラー z = R e<sup>iθ</sup> による積は、一意的に原点を中心として反時計回りの角度 <math>\theta</math> の回転を modulus R による遅れの合成と考えることができ、商 '''C'''<sup>n+1</sup> → '''CP'''<sup>n</sup> は、次の 2つの部分へと分解する。 :<math>\mathbf{C}^{n+1}\setminus\{0\} \stackrel{(a)}\longrightarrow S^{2n+1} \stackrel{(b)}\longrightarrow \mathbf{CP}^n</math> ここに step (a) は遅れ R ∈ '''R'''<sup>+</sup>、つまり、正の実数による乗法に対する商 '''Z''' ~ R'''Z''' であり、step (b) は回転 '''Z''' ~ e<sup>iθ</sup>'''Z''' による商である。 <!--==Construction== The Fubini–Study metric arises naturally in the [[Quotient space (topology)|quotient space]] construction of [[complex projective space]]. Specifically, one may define '''CP'''<sup>''n''</sup> to be the space consisting of all complex lines in '''C'''<sup>''n''+1</sup>, i.e., the quotient of '''C'''<sup>''n''+1</sup>\{0} by the [[equivalence relation]] relating all complex multiples of each point together. This agrees with the quotient by the diagonal [[group action]] of the multiplicative group '''C'''<sup>*</sup> = '''C''' \ {0}: :<math>\mathbf{CP}^n = \left\{ \mathbf{Z} = [Z_0,Z_1,\ldots,Z_n] \in {\mathbf C}^{n+1}\setminus\{0\}\, \right\} / \{ \mathbf{Z} \sim c\mathbf{Z}, c \in \mathbf{C}^* \}.</math> This quotient realizes '''C'''<sup>''n''+1</sup>\{0} as a complex [[line bundle]] over the base space '''CP'''<sup>''n''</sup>. (In fact this is the so-called [[tautological bundle]] over '''CP'''<sup>''n''</sup>.) A point of '''CP'''<sup>''n''</sup> is thus identified with an equivalence class of (''n''+1)-tuples [''Z''<sub>0</sub>,...,''Z''<sub>''n''</sub>] modulo nonzero complex rescaling; the ''Z''<sub>''i''</sub> are called [[homogeneous coordinates]] of the point. Furthermore, one may realize this quotient in two steps: since multiplication by a nonzero complex scalar ''z'' = ''R'' ''e''<sup>iθ</sup> can be uniquely thought of as the composition of a dilation by the modulus ''R'' followed by a counterclockwise rotation about the origin by an angle <math>\theta</math>, the quotient '''C'''<sup>''n''+1</sup> → '''CP'''<sup>''n''</sup> splits into two pieces. :<math>\mathbf{C}^{n+1}\setminus\{0\} \stackrel{(a)}\longrightarrow S^{2n+1} \stackrel{(b)}\longrightarrow \mathbf{CP}^n</math> where step (a) is a quotient by the dilation '''Z''' ~ ''R'''''Z''' for ''R'' ∈ '''R'''<sup>+</sup>, the multiplicative group of positive real numbers, and step (b) is a quotient by the rotations '''Z''' ~ ''e''<sup>iθ</sup>'''Z'''.--> (a) での商の結果は、方程式 |'''Z'''|<sup>2</sup> = |Z<sub>0</sub>|<sup>2</sup> + ... + |Z<sub>n</sub>|<sup>2</sup> = 1 で定義される実超球面 S<sup>2n+1</sup> である。(b) の商は '''CP'''<sup>n</sup> = S<sup>2n+1</sup>/S<sup>1</sup> が実現される。ここに、S<sup>1</sup> は回転群を表現する。この商は、有名な{{仮リンク|ホップファイバー構造|en|Hopf fibration}}(Hopf fibration) S<sup>1</sup> → S<sup>2n+1</sup> → '''CP'''<sup>n</sup> により、明確に実現される。このファイバーは S<sup>2n+1</sup> の[[大圏コース|大円]]の中にある。 <!--The result of the quotient in (a) is the real hypersphere ''S''<sup>2''n''+1</sup> defined by the equation |'''Z'''|<sup>2</sup> = |''Z''<sub>0</sub>|<sup>2</sup> + ... + |''Z''<sub>''n''</sub>|<sup>2</sup> = 1. The quotient in (b) realizes '''CP'''<sup>''n''</sup> = ''S''<sup>2''n''+1</sup>/''S''<sup>1</sup>, where ''S''<sup>1</sup> represents the group of rotations. This quotient is realized explicitly by the famous [[Hopf fibration]] ''S''<sup>1</sup> → ''S''<sup>2''n''+1</sup> → '''CP'''<sup>''n''</sup>, the fibers of which are among the [[great circles]] of <math>S^{2n+1}</math>.--> ===計量の商として=== [[リーマン多様体]]（あるいは、一般に[[距離空間|計量空間]]でもよい）の商を考えると、商空間は well-defined な[[リーマン計量]]を持つことを確認する必要がある。たとえば、群 G がリーマン多様体 (X,g) 上へ作用していると、[[軌道空間]] X/G が誘導された計量を持つためには、<math>g</math> が G-軌道にそって定数である必要がある。このためには、任意の元 h ∈ G とベクトル場のペア X,Y に対し、g(Xh,Yh) = g(X,Y) でなければならない。 '''C'''<sup>n+1</sup> 上の標準[[エルミート計量]]は、 :<math>ds^2 = d\mathbf{Z} \otimes d\overline{\mathbf{Z}} = dZ_0 \otimes d\overline{Z_0} + \cdots + dZ_n \otimes d\overline{Z_n}</math> により標準基底の上で与えられる。このエルミート計量は、'''R'''<sup>2n+2</sup> 上の標準の[[ユークリッド計量]]として実現される。この計量は、'''C'''<sup>*</sup> 上の対角作用の下に'''不変ではない'''ので、直接、'''CP'''<sup>n</sup> の中の商として落とし込むことは不可能である。しかし、この計量は S<sup>1</sup> = U(1) 上の回転群の対角作用の下では'''不変である'''ので、上の構成 step (a) が完了れば step (b) が可能となる。 '''フビニ・スタディ計量'''(Fubini–Study metric)は、商 '''CP'''<sup>n</sup> = S<sup>2n+1</sup>/S<sup>1</sup> 上に誘導された計量であり、そこでは <math>S^{2n+1}</math> が標準のユークリッド計量の単位超球面上へ'''制限'''することにより、いわゆる「周囲の計量」(round metric)として与えられる。 <!--===As a metric quotient=== When a quotient is taken of a [[Riemannian manifold]] (or [[metric space]] in general), care must be taken to ensure that the quotient space is endowed with a [[Riemannian metric|metric]] that is well-defined. For instance, if a group ''G'' acts on a Riemannian manifold (''X'',''g''), then in order for the [[orbit space]] ''X''/''G'' to possess an induced metric, <math>g</math> must be constant along ''G''-orbits in the sense that for any element ''h'' ∈ ''G'' and pair of vector fields <math>X,Y</math> we must have ''g''(''Xh'',''Yh'') = ''g''(''X'',''Y''). The standard [[Hermitian metric]] on '''C'''<sup>''n''+1</sup> is given in the standard basis by :<math>ds^2 = d\mathbf{Z} \otimes d\overline{\mathbf{Z}} = dZ_0 \otimes d\overline{Z_0} + \cdots + dZ_n \otimes d\overline{Z_n}</math> whose realification is the standard [[Euclidean metric]] on '''R'''<sup>2''n''+2</sup>. This metric is ''not'' invariant under the diagonal action of '''C'''<sup>*</sup>, so we are unable to directly push it down to '''CP'''<sup>n</sup> in the quotient. However, this metric ''is'' invariant under the diagonal action of ''S''<sup>1</sup> = U(1), the group of rotations. Therefore, step (b) in the above construction is possible once step (a) is accomplished. The '''Fubini–Study metric''' is the metric induced on the quotient '''CP'''<sup>''n''</sup> = ''S''<sup>2''n''+1</sup>/''S''<sup>1</sup>, where <math>S^{2n+1}</math> carries the so-called "round metric" endowed upon it by ''restriction'' of the standard Euclidean metric to the unit hypersphere.--> ===局所アフィン座標の中では=== '''CP'''<sup>n</sup> の中で同次座標 (Z<sub>0</sub>,...,Z<sub>n</sub>) を持つ点に対して、Z<sub>0</sub> ≠ 0 であり、特に、z<sub>j</sub> = Z<sub>j</sub>/Z<sub>0</sub> とすると、一意に n 個の座標の組 (z<sub>1</sub>,…,z<sub>n</sub>) が存在し、 :<math>[Z_0,\dots,Z_n] {\sim} [1,z_1,\dots,z_n],</math> となる。すると、(z<sub>1</sub>,…,z<sub>n</sub>) は、座標の貼りあわせ U<sub>0</sub> = {Z<sub>0</sub> ≠ 0} での '''CP'''<sup>n</sup> の{{仮リンク|アフィン座標|label=アフィン座標系|en|affine coordinates}}(affine coordinate system)を形成する。アフィン座標は、明らかに、代わりに ''Z''<sub>''i''</sub> で割ることにより、任意の座標系での貼り合わせでの ''U''<sub>''i''</sub> = {''Z''<sub>''i''</sub> ≠ 0} としてアフィン座標系を得ることができる。n + 1 個の座標は、'''CP'''<sup>n</sup> を覆う被覆 U<sub>i</sub> を貼り合わせ、U<sub>i</sub> 上のアフィン座標 (z<sub>1</sub>,…,z<sub>n</sub>) の項として明確に計量を与えることが可能となる。この座標の微分は、'''CP'''<sup>n</sup> の正則接バンドルの標構 <math>\{\partial_1,\ldots,\partial_n\}</math> を定義し、フビニ・スタディ計量は、エルミート成分 :<math>h_{i\bar{j}} = h(\partial_i,\bar{\partial}_j) = \frac{(1+|\mathbf{z}|^2)\delta_{i\bar{j}} - \bar{z}_i z_j}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2}</math> として表すことができる。ここに |'''z'''|<sup>2</sup> = ''z''<sub>1</sub><sup>2</sup>+...+''z''<sub>''n''</sub><sup>2</sup> である。つまり、この標構でのフビニ・スタディの[[エルミート行列]]は、 :<math> \bigl(h_{i\bar{j}}\bigr) = \frac{1}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2} \left[ \begin{array}{cccc} 1+|\mathbf{z}|^2 - |z_1|^2 & -\bar{z}_1 z_2 & \cdots & -\bar{z}_1 z_n \\ -\bar{z}_2 z_1 & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_2|^2 & \cdots & -\bar{z}_2 z_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\bar{z}_n z_1 & -\bar{z}_n z_2 & \cdots & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_n|^2 \end{array} \right] </math> である。 各々の行列要素はユニタリ不変であることに注意すると、対角作用 <math>\mathbf{z} \mapsto e^{i\theta}\mathbf{z}</math> はこの行列を不変とする。 <!--===In local affine coordinates=== Corresponding to a point in '''CP'''<sup>''n''</sup> with homogeneous coordinates (''Z''<sub>0</sub>,...,''Z''<sub>''n''</sub>), there is a unique set of ''n'' coordinates (''z''<sub>1</sub>,…,''z''<sub>''n''</sub>) such that :<math>[Z_0,\dots,Z_n] {\sim} [1,z_1,\dots,z_n],</math> provided ''Z''<sub>0</sub> ≠ 0; specifically, ''z''<sub>''j''</sub> = ''Z''<sub>''j''</sub>/''Z''<sub>0</sub>. The (''z''<sub>1</sub>,…,''z''<sub>''n''</sub>) form an [[affine coordinates|affine coordinate system]] for '''CP'''<sup>''n''</sup> in the coordinate patch ''U''<sub>0</sub> = {''Z''<sub>0</sub> ≠ 0}. One can develop an affine coordinate system in any of the coordinate patches ''U''<sub>''i''</sub> = {''Z''<sub>''i''</sub> ≠ 0} by dividing instead by ''Z''<sub>''i''</sub> in the obvious manner. The ''n''+1 coordinate patches ''U''<sub>''i''</sub> cover '''CP'''<sup>''n''</sup>, and it is possible to give the metric explicitly in terms of the affine coordinates (''z''<sub>1</sub>,…,''z''<sub>''n''</sub>) on ''U''<sub>''i''</sub>. The coordinate derivatives define a frame <math>\{\partial_1,\ldots,\partial_n\}</math> of the holomorphic tangent bundle of '''CP'''<sup>''n''</sup>, in terms of which the Fubini–Study metric has Hermitian components :<math>h_{i\bar{j}} = h(\partial_i,\bar{\partial}_j) = \frac{(1+|\mathbf{z}|^2)\delta_{i\bar{j}} - \bar{z}_i z_j}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2}.</math> where |'''z'''|<sup>2</sup> = ''z''<sub>1</sub><sup>2</sup>+...+''z''<sub>''n''</sub><sup>2</sup>. That is, the [[Hermitian matrix]] of the Fubini–Study metric in this frame is :<math> \bigl(h_{i\bar{j}}\bigr) = \frac{1}{(1+|\mathbf{z}|^2)^2} \left[ \begin{array}{cccc} 1+|\mathbf{z}|^2 - |z_1|^2 & -\bar{z}_1 z_2 & \cdots & -\bar{z}_1 z_n \\ -\bar{z}_2 z_1 & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_2|^2 & \cdots & -\bar{z}_2 z_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -\bar{z}_n z_1 & -\bar{z}_n z_2 & \cdots & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_n|^2 \end{array} \right] </math> Note that each matrix element is unitary-invariant: the diagonal action <math>\mathbf{z} \mapsto e^{i\theta}\mathbf{z}</math> will leave this matrix unchanged.--> ===斉次座標=== 斉次座標 '''Z''' = [Z<sub>0</sub>,...,Z<sub>n</sub>] による表現も可能である。表現の意味をうまく解釈すると、 :<math>\begin{align} ds^2 &= \frac{|\mathbf{Z}|^2|d\mathbf{Z}|^2 - (\bar{\mathbf{Z}}\cdot d\mathbf{Z})(\mathbf{Z}\cdot d\bar{\mathbf{Z}})}{|\mathbf{Z}|^4}\\ &=\frac{Z_\alpha\bar{Z}^\alpha dZ_\beta d\bar{Z}^\beta - \bar{Z}^\alpha Z_\beta dZ_\alpha d\bar{Z}^\beta}{(Z_\alpha\bar{Z}^\alpha)^2}\\ &= \frac {2Z_{[\alpha}dZ_{\beta]} \overline{Z}^{[\alpha}\overline{dZ}^{\beta]}} {\left( Z_\alpha \overline{Z}^\alpha \right)^2}. \end{align}</math> を得る。ここに和は、ギリシャ文字のインデックス α β が 0 から n までを渡るようにとり、最後の等式は次のテンソル積の非対称部分の標準記法が使われる。 :<math>Z_{[\alpha}W_{\beta]} = \frac {1}{2} \left( Z_{\alpha} W_{\beta} - Z_{\beta} W_{\alpha} \right).</math> この ds<sup>2</sup> の表現は、全トートロジーバンドル <math>\mathbb{C}^{n+1}\backslash\{0\}</math> の全空間上のテンソルを定義するように一見、思われる。'''CP'''<sup>n</sup> のトートロジーバンドルの正則切断 σ にそって引き戻すことにより、'''CP'''<sup>n</sup> 上のテンソルであることが分かる。従って、この値は、引き戻しの値が切断の選択に独立であることが判明し、直接、計算することができる。 この計量のケーラー形式は、全体渡る定数正規化を、 :<math>\omega = i\partial\overline{\partial}\log |\mathbf{Z}|^2</math> とすると、正則切断の選択とは明らかに独立である引き戻しとなる。log|'''Z'''|<sup>2</sup> の値は、'''CP'''<sup>n</sup> のケーラースカラーである。 <!--===Homogeneous coordinates=== An expression is also possible in the homogeneous coordinates '''Z''' = [''Z''<sub>0</sub>,...,''Z''<sub>''n''</sub>]. Formally, subject to suitably interpreting the expressions involved, one has :<math>\begin{align} ds^2 &= \frac{|\mathbf{Z}|^2|d\mathbf{Z}|^2 - (\bar{\mathbf{Z}}\cdot d\mathbf{Z})(\mathbf{Z}\cdot d\bar{\mathbf{Z}})}{|\mathbf{Z}|^4}\\ &=\frac{Z_\alpha\bar{Z}^\alpha dZ_\beta d\bar{Z}^\beta - \bar{Z}^\alpha Z_\beta dZ_\alpha d\bar{Z}^\beta}{(Z_\alpha\bar{Z}^\alpha)^2}\\ &= \frac {2Z_{[\alpha}dZ_{\beta]} \overline{Z}^{[\alpha}\overline{dZ}^{\beta]}} {\left( Z_\alpha \overline{Z}^\alpha \right)^2}. \end{align}</math> Here the summation convention is used to sum over Greek indices α β ranging from 0 to ''n'', and in the last equality the standard notation for the skew part of a tensor is used: :<math>Z_{[\alpha}W_{\beta]} = \frac {1}{2} \left( Z_{\alpha} W_{\beta} - Z_{\beta} W_{\alpha} \right).</math> Now, this expression for d''s''<sup>2</sup> apparently defines a tensor on the total space of the tautological bundle '''C'''<sup>''n''+1</sup>\{0}. It is to be understood properly as a tensor on '''CP'''<sup>''n''</sup> by pulling it back along a holomorphic section σ of the tautological bundle of '''CP'''<sup>''n''</sup>. It remains then to verify that the value of the pullback is independent of the choice of section: this can be done by a direct calculation. The Kähler form of this metric is, up to an overall constant normalization, :<math>\omega = i\partial\overline{\partial}\log |\mathbf{Z}|^2</math> the pullback of which is clearly independent of the choice of holomorphic section. The quantity log|'''Z'''|<sup>2</sup> is the Kähler scalar of '''CP'''<sup>''n''</sup>.--> === n = 1 の場合 === n = 1 の場合は、[[立体射影]]により微分同相 <math>S^2\cong \mathbb{CP}^1</math> が存在する。この同相は、「特別な」ホップファイバー S<sup>1</sup> → S<sup>3</sup> → S<sup>2</sup> を導く。フビニ・スタディ計量が '''CP'''<sup>1</sup> 上の座標で記述されると、実接バンドルへの制限は、S<sup>2</sup> 上の半径 1/2 （[[ガウス曲率]]が 4 である）通常の「周りの」（球面上の）計量の表現となる。 すなわち、z = x + iy を[[リーマン球面]] '''CP'''<sup>1</sup> 上の標準的アフィン座標系とし、x = r cosθ, y = r sinθ が '''C''' 上の極座標系とすると、回転の計算は、 :<math>ds^2= \frac{\operatorname{Re}(dz \otimes d\overline{z})}{\left(1+|z|^2\right)^2} = \frac{dx^2+dy^2}{ \left(1+r^2\right)^2 } = \frac{1}{4}(d\phi^2 + \sin^2 \phi\,d\theta^2) = \frac{1}{4} ds^2_{us} </math> であることを示している。ここに、<math>ds^2_{us}</math> は単位 2-球面の上の回転する計量である。ここに φ, θ は数学で使う立体射影 r tan(φ/2) = 1, tanθ = y/x による S<sup>2</sup> 上の[[球面座標]]である（物理では、 φ と θ の役割が入れ替わることが多い）。 <!--===The ''n'' = 1 case === When ''n'' = 1, there is a diffeomorphism <math>S^2\cong \mathbb{CP}^1</math> given by [[stereographic projection]]. This leads to the "special" Hopf fibration ''S''<sup>1</sup> → ''S''<sup>3</sup> → ''S''<sup>2</sup>. When the Fubini–Study metric is written in coordinates on '''CP'''<sup>1</sup>, its restriction to the real tangent bundle yields an expression of the ordinary "round metric" of radius 1/2 (and [[Gaussian curvature]] 4) on ''S''<sup>2</sup>. Namely, if ''z'' = ''x'' + i''y'' is the standard affine coordinate chart on the [[Riemann sphere]] '''CP'''<sup>1</sup> and ''x'' = ''r'' cosθ, ''y'' = ''r'' sinθ are polar coordinates on '''C''', then a routine computation shows :<math>ds^2= \frac{\operatorname{Re}(dz \otimes d\overline{z})}{\left(1+|z|^2\right)^2} = \frac{dx^2+dy^2}{ \left(1+r^2\right)^2 } = \frac{1}{4}(d\phi^2 + \sin^2 \phi\,d\theta^2) = \frac{1}{4} ds^2_{us} </math> where <math>ds^2_{us}</math> is the round metric on the unit 2-sphere. Here φ, θ are "mathematician's [[spherical coordinates]]" on ''S''<sup>2</sup> coming from the stereographic projection ''r'' tan(φ/2) = 1, tanθ = ''y''/''x''. (Many physics references interchange the roles of φ and θ.)--> ==曲率の性質== n = 1 の特別な場合には、フビニ・スタディ計量は、2-球面の上の計量との同一性に従うと、4 である定数のスカラー曲率を持つ（このことは与えられた半径 R の球面はスカラー曲率 <math>1/R^2</math> を持つ）。しかし、n > 1 に対しては、フビニ・スタディ計量は定数曲率を持たない。その断面曲率は、代わりに、次の等式で与えられる<ref>Sakai, T. ''Riemannian Geometry'', Translations of Mathematical Monographs No. 149 (1995), American Mathematics Society.</ref>。 :<math>K(\sigma) = 1 + 3\langle JX,Y \rangle^2</math> ここに、<math>\{X,Y\} \in T_p \mathbf{CP}^n</math> は 2-平面 σ の直交基底であり、J : T'''CP'''<sup>n</sup> → T'''CP'''<sup>''n''</sup> は '''CP'''<sup>n</sup> 上の{{仮リンク|線型複素構造|en|linear complex structure}}(linear complex structure)であり、<math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> はフビニ・スタディ計量である。 この公式の結果、断面曲率はすべての 2-平面 <math>\sigma</math> に対し <math>1 \leq K(\sigma) \leq 4</math> を満たす。最大断面曲率 (4) は[[正則]] 2-平面で到達される。つまり、そこでは J(σ) ⊂ σ である。一方、最小断面曲率 (1) は J(σ) が σ に直交である 2-平面で達成される。フビニ・スタディ計量が 4 に等しい「定数」'''正則'''断面曲率であるとよく言われる理由である。 このことは、'''CP'''<sup>n</sup> を{{仮リンク|1/4ではられる球面定理|label=1/4ピンチ多様体|en|quarter-pinched sphere theorem}}(quarter pinched manifold)である。この優れた定理は、厳密な 1/4 ではられる[[単連結]]な n 次元多様体は、球に同相でなければならないことを示している。 フビニ・スタディ計量は、自分自身の[[リッチテンソル]]に比例する[[アインシュタイン計量]]でもある。すなわち、定数 λ が存在して、すべての i, j に対し、 :<math>Ric_{ij} = \lambda g_{ij}</math> である。このことは、なによりも、フビニ・スタディ計量が[[リッチフロー]]のスカラー倍に対しては不変のままであることを意味する。また、'''CP'''<sup>n</sup> のフビニ・スタディ計量は、[[アインシュタイン方程式|アインシュタインの場の方程式]]の非自明な真空解となっているので、[[一般相対論]]において不可欠なものとなっている。 <!--==Curvature properties== In the ''n'' = 1 special case, the Fubini–Study metric has constant scalar curvature identically equal to 4, according to the equivalence with the 2-sphere's round metric (which given a radius ''R'' has scalar curvature <math>1/R^2</math>). However, for ''n'' > 1, the Fubini–Study metric does not have constant curvature. Its sectional curvature is instead given by the equation<ref>Sakai, T. ''Riemannian Geometry'', Translations of Mathematical Monographs No. 149 (1995), American Mathematics Society.</ref> :<math>K(\sigma) = 1 + 3\langle JX,Y \rangle^2</math> where <math>\{X,Y\} \in T_p \mathbf{CP}^n</math> is an orthonormal basis of the 2-plane σ, ''J'' : ''T'''''CP'''<sup>''n''</sup> → ''T'''''CP'''<sup>''n''</sup> is the [[linear complex structure|complex structure]] on '''CP'''<sup>''n''</sup>, and <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> is the Fubini–Study metric. A consequence of this formula is that the sectional curvature satisfies <math>1 \leq K(\sigma) \leq 4</math> for all 2-planes <math>\sigma</math>. The maximum sectional curvature (4) is attained at a [[holomorphic]] 2-plane — one for which ''J''(σ) ⊂ σ — while the minimum sectional curvature (1) is attained at a 2-plane for which ''J''(σ) is orthogonal to σ. For this reason, the Fubini–Study metric is often said to have "constant ''holomorphic'' sectional curvature" equal to 4. This makes '''CP'''<sup>''n''</sup> a (non-strict) [[quarter-pinched sphere theorem|quarter pinched manifold]]; a celebrated theorem shows that a strictly quarter-pinched [[simply connected]] ''n''-manifold must be homeomorphic to a sphere. The Fubini–Study metric is also an [[Einstein metric]] in that it is proportional to its own [[Ricci tensor]]: there exists a constant λ such that for all ''i'',''j'' we have :<math>Ric_{ij} = \lambda g_{ij}</math>. This implies, among other things, that the Fubini–Study metric remains unchanged up to a scalar multiple under the [[Ricci flow]]. It also makes '''CP'''<sup>''n''</sup> indispensable to the theory of [[general relativity]], where it serves as a nontrivial solution to the vacuum [[Einstein field equations]].--> ==量子力学では== [[量子力学]]では、フビニ・スタディ計量は、{{仮リンク|ビューレス計量|en|Bures metric}}(Bures metric)としても知られている<ref name=facchi>Paolo Facchi, Ravi Kulkarni, V. I. Man'ko, Giuseppe Marmo, E. C. G. Sudarshan, Franco Ventriglia "[https://arxiv.org/abs/1009.5219 Classical and Quantum Fisher Information in the Geometrical Formulation of Quantum Mechanics]" (2010), ''Physics Letters'' '''A 374''' pp. 4801. DOI: 10.1016/j.physleta.2010.10.005</ref>。しかしながら、ビューレス計量は、典型的には[[混合状態]]の記法の中で定義される。一方、以下に示すことは[[純粋状態]]の項で記述されている。計量の実部は、{{仮リンク|フィッシャー情報計量|en|Fisher information metric}}(Fisher information metric)（の 4倍）である<ref name=facchi/>。 フビニ・スタディ計量は、[[量子力学]]で共通して使われている[[ブラ-ケット記法]](bra–ket notation)を使い書くこともできるし、[[代数幾何学]]の[[射影多様体]]の記法を使っても書くことができる。これら 2つのことばが明らかに同じであることを示すために、 :<math>\vert \psi \rangle = \sum_{k=0}^n Z_k \vert e_k \rangle = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]</math> とする。ここに、<math>\{\vert e_k \rangle\}</math> は[[ヒルベルト空間]]の[[直交]][[基底ベクトル]]の集合であり、<math>Z_k</math> は複素数で、<math>Z_\alpha = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]</math> は{{仮リンク|斉次座標|en|homogeneous coordinates}}(homogenous coordinates)での射影空間 <math>\mathbb{C}P^n</math> の標準的記法である。すると、2つの点 <math>\vert \psi \rangle = Z_\alpha</math> and <math>\vert \phi \rangle = W_\alpha</math> が空間内に与えられると、これらの間の距離は、 :<math>\gamma (\psi, \phi) = \arccos \sqrt \frac {\langle \psi \vert \phi \rangle \; \langle \phi \vert \psi \rangle } {\langle \psi \vert \psi \rangle \; \langle \phi \vert \phi \rangle} </math> あるいは、同じことであるが射影多様体の記法では、 :<math>\gamma (\psi, \phi) =\gamma (Z,W) = \arccos \sqrt {\frac {Z_\alpha \overline{W}^\alpha \; W_\beta \overline{Z}^\beta} {Z_\alpha \overline{Z}^\alpha \; W_\beta \overline{W}^\beta}}. </math> である。 <!--==In quantum mechanics== In [[quantum mechanics]], the Fubini–Study metric is also known as the [[Bures metric]].<ref name=facchi>Paolo Facchi, Ravi Kulkarni, V. I. Man'ko, Giuseppe Marmo, E. C. G. Sudarshan, Franco Ventriglia "[https://arxiv.org/abs/1009.5219 Classical and Quantum Fisher Information in the Geometrical Formulation of Quantum Mechanics]" (2010), ''Physics Letters'' '''A 374''' pp. 4801. DOI: 10.1016/j.physleta.2010.10.005</ref> However, the Bures metric is typically defined in the notation of [[mixed state (physics)|mixed states]], whereas the exposition below is written in terms of a [[pure state]]. The real part of the metric is (four times) the [[Fisher information metric]].<ref name=facchi/> The Fubini–Study metric may be written either using the [[bra–ket notation]] commonly used in [[quantum mechanics]], or the notation of [[projective varieties]] of [[algebraic geometry]]. To explicitly equate these two languages, let :<math>\vert \psi \rangle = \sum_{k=0}^n Z_k \vert e_k \rangle = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]</math> where <math>\{\vert e_k \rangle\}</math> is a set of [[orthonormal]] [[basis vector]]s for [[Hilbert space]], the <math>Z_k</math> are complex numbers, and <math>Z_\alpha = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]</math> is the standard notation for a point in the projective space <math>\mathbb{C}P^n</math> in [[homogeneous coordinates]]. Then, given two points <math>\vert \psi \rangle = Z_\alpha</math> and <math>\vert \phi \rangle = W_\alpha</math> in the space, the distance between them is :<math>\gamma (\psi, \phi) = \arccos \sqrt \frac {\langle \psi \vert \phi \rangle \; \langle \phi \vert \psi \rangle } {\langle \psi \vert \psi \rangle \; \langle \phi \vert \phi \rangle} </math> or, equivalently, in projective variety notation, :<math>\gamma (\psi, \phi) =\gamma (Z,W) = \arccos \sqrt {\frac {Z_\alpha \overline{W}^\alpha \; W_\beta \overline{Z}^\beta} {Z_\alpha \overline{Z}^\alpha \; W_\beta \overline{W}^\beta}}. </math>--> ここに、<math>\overline{Z}^\alpha</math> は <math>Z_\alpha</math> の[[複素共役]]である。分母に <math>\langle \psi \vert \psi \rangle</math> が現れたことは、<math>\vert \psi \rangle</math> と、同様に <math>\vert \phi \rangle</math> が単位長へ正規化されていないので正規化するためである。このように、正規化は明確になされる。ヒルベルト空間では、計量は 1つのベクトルの間の角度として、むしろ容易に解釈することができる。これが'''量子角度'''(quantum angle)と呼ばれるものである。角度は実数値で 0 から <math>\pi/2</math> まで変化することができる。 この計量の無限小形式は、<math>\phi = \psi+\delta\psi</math>、あるいは同じことであるが、<math>W_\alpha = Z_\alpha + dZ_\alpha</math> を取ることにより、直ちになされ、 :<math>ds^2 = \frac{\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle} {\langle \psi \vert \psi \rangle} - \frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \; \langle \psi \vert \delta \psi \rangle} {{\langle \psi \vert \psi \rangle}^2}. </math> を得る。 [[量子力学]]の脈絡では、'''CP'''<sup>1</sup> のことを[[ブロッホ球]]と呼ぶ。フビニ・スタディ計量は、量子力学の幾何学化への自然な[[距離函数|計量]]である。[[量子エンタングルメント]]や[[Berry位相|ベリー位相]]などの量子力学での特別な振る舞いの多くは、フビニ・スタディ計量の特別性に帰着することができる。 <!--Here, <math>\overline{Z}^\alpha</math> is the [[complex conjugate]] of <math>Z_\alpha</math>. The appearance of <math>\langle \psi \vert \psi \rangle</math> in the denominator is a reminder that <math>\vert \psi \rangle</math> and likewise <math>\vert \phi \rangle</math> were not normalized to unit length; thus the normalization is made explicit here. In Hilbert space, the metric can be rather trivially interpreted as the angle between two vectors; thus it is occasionally called the '''quantum angle'''. The angle is real-valued, and runs from zero to <math>\pi/2</math>. The infinitesimal form of this metric may be quickly obtained by taking <math>\phi = \psi+\delta\psi</math>, or equivalently, <math>W_\alpha = Z_\alpha + dZ_\alpha</math> to obtain :<math>ds^2 = \frac{\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle} {\langle \psi \vert \psi \rangle} - \frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \; \langle \psi \vert \delta \psi \rangle} {{\langle \psi \vert \psi \rangle}^2}. </math> In the context of [[quantum mechanics]], '''CP'''<sup>1</sup> is called the [[Bloch sphere]]; the Fubini–Study metric is the natural [[metric (mathematics)|metric]] for the geometrization of quantum mechanics. Much of the peculiar behaviour of quantum mechanics, including [[quantum entanglement]] and the [[Berry phase]] effect, can be attributed to the peculiarities of the Fubini–Study metric.--> ==積計量== 分離性の共通の考え方は、フビニ・スタディ計量にも適用される。さらに詳しくは、計量が射影空間の自然な積、{{仮リンク|セグレ埋め込み|en|Segre embedding}}(Segre embedding)で分離的である。すなわち、<math>\vert\psi\rangle</math> が{{仮リンク|分離的状態|en|separable state}}(separable state)<ref>エンタングルメントを持たない状態のことをいう。</ref>であるとき、従って、<math>\vert\psi\rangle=\vert\psi_A\rangle\otimes\vert\psi_B\rangle</math> とかけるときに、計量は部分空間の計量の和として書くことができる。 :<math>ds^2 = {ds_A}^2+{ds_B}^2 \ \ .</math> ここに <math>{ds_A}^2</math> と <math>{ds_B}^2</math> はそれぞれ部分空間 A と B 上の計量とする。 <!--==Product metric== The common notions of separability apply for the Fubini–Study metric. More precisely, the metric is separable on the natural product of projective spaces, the [[Segre embedding]]. That is, if <math>\vert\psi\rangle</math> is a [[separable state]], so that it can be written as <math>\vert\psi\rangle=\vert\psi_A\rangle\otimes\vert\psi_B\rangle</math>, then the metric is the sum of the metric on the subspaces: :<math>ds^2 = {ds_A}^2+{ds_B}^2</math> where <math>{ds_A}^2</math> and <math>{ds_B}^2</math> are the metrics, respectively, on the subspaces ''A'' and ''B''.--> == 脚注 == <references/> ==参照項目== * [[非線型シグマモデル]] * [[カルツァ・クライン理論]] * {{仮リンク|アラケロフの高さ|en|Arakelov height}}(Arakelov height) ==参考文献== {{reflist}} *{{Citation | authorlink=Arthur Besse |last1=Besse | first1=Arthur L. | title=Einstein manifolds | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10 | isbn=978-3-540-15279-8 | year=1987 | pages=xii+510}} * {{citation | first1=D.C.|last1=Brody |first2=L.P.|last2=Hughston | title=Geometric Quantum Mechanics| journal=Journal of Geometry and Physics | year=2001 | volume=38 | pages=19–53 | doi=10.1016/S0393-0440(00)00052-8 |arxiv = quant-ph/9906086 |bibcode = 2001JGP....38...19B }} * {{citation | first1=P. |last1=Griffiths | authorlink1=Phillip Griffiths | first2=J.|last2=Harris| authorlink2=Joe Harris (mathematician)|title=Principles of Algebraic Geometry | series=Wiley Classics Library | publisher=Wiley Interscience | year=1994 | isbn=0-471-05059-8 | pages=30–31 }} * {{SpringerEOM|title=Fubini–Study metric|last=Onishchik|first=A.L.|urlname=Fubini–Study_metric}}. {{DEFAULTSORT:ふひにすたていけいりよう}} [[Category:射影幾何学]] [[Category:複素多様体]] [[Category:シンプレクティック幾何学]] [[Category:多様体論]] [[Category:量子力学]] [[Category:数学のエポニム]] [[Category:数学に関する記事]]
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フビニ・スタディ計量
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