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'''フリードマン方程式'''（フリードマンほうていしき、{{en|Friedmann equations}}<!--複数形のsが付く-->）は、[[一般相対性理論]]の[[アインシュタイン方程式]]の厳密解の一つである[[フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量]]（FLRW計量）から得られる時空の[[運動方程式]]である。標準[[ビッグバン]]宇宙モデルでの[[宇宙膨張]]を表す方程式であり、[[観測的宇宙論]]における[[宇宙論パラメータ]]は、フリードマン方程式を元に導出される。1922年に、[[アレクサンドル・フリードマン]]が、宇宙モデルとして提出したものである。本稿では、宇宙項を含めて方程式を示す。

== 方程式 ==
# 一様で等方な時空であるFLRW計量を仮定する；
#:<math>ds^2 = -c^2 dt^2+a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1-kr^2}+{r}^2 \! \left( d\theta^2+\sin^2\!\theta \, d\phi^2 \right) \right]</math>
#* <math>a(t)</math> は、宇宙の[[スケール因子 (宇宙論)|スケール因子]]（膨張因子）と呼ばれる量で、時刻 <math>t</math> での宇宙の大きさを相対的に示す量である。
#* <math>k</math> は、時空に仮定する曲率で、曲率の正・負・ゼロに対応して、<math>k {=} +1,\, -1,\, 0</math> の値を取る。
# 物質分布は完全流体であると仮定する。すなわち、[[エネルギー・運動量テンソル]]を以下のように仮定する；
#: <math> T_{\mu\, \nu}=P g_{\mu\, \nu} + (P + \rho c^2)\, u_\mu u_\nu \,</math>
#* <math>P</math> は圧力、<math>\rho</math> は密度。
#* <math>u_\mu</math>は観測者の4元速度ベクトル（共動座標系ならば <math>u_\mu=(c,0,0,0)</math>）である。

以上の仮定のもとに、宇宙項（[[宇宙定数]]<math>\Lambda</math>）を持つ[[アインシュタイン方程式]]を書き下すと、次のフリードマン方程式が得られる。
: <math>\left(\frac{\,\dot{a}\,}{a}\right)^2 +\frac{k c^2}{a^2}-\frac{\Lambda c^2}{3}= \frac{8 \pi G}{3} \rho</math>
: <math>2\frac{\,\ddot{a}\,}{a} + \left(\frac{\,\dot{a}\,}{a}\right)^2 +\frac{k c^2}{a^2}-\Lambda c^2=- \frac{8 \pi G}{c^2} P</math>

第2式はエネルギー・運動量保存則を仮定すれば、第1式より導出されるので、実質的に宇宙のダイナミクス（力学的ふるまい）は第1式で与えられる。

== 宇宙論パラメータ ==
フリードマン方程式の描く宇宙のダイナミクスは、
* [[状態方程式 (宇宙論)|状態方程式]]（<math>p</math> と <math>\rho</math> の関係式）
* 宇宙の曲率 <math>k</math>
* [[宇宙定数|宇宙項]]の有無 <math>\Lambda</math>
を指定すれば、スケールファクタ <math>a(t)</math> の振る舞いとして与えられる。

宇宙項がなく宇宙の曲率をゼロとしたときの物質密度を臨界密度 <math>\rho_c\equiv \frac{3H^2}{8 \pi G}</math>といい、これを用いて、[[宇宙論パラメータ|宇宙の密度パラメータ]]を
: <math>\Omega \equiv \frac{\rho}{\rho_c} = \frac{8 \pi G}{3 H^2}\rho</math>
と定義する。ただし <math>H \equiv \frac{\,\dot{a}\,}{a}</math> は[[ハッブル定数]]。

観測的宇宙論では、以上で得られる <math>\left( H, \Omega, k, \Lambda \right)</math> が宇宙モデルを決定する基本的なパラメータになり、これらを宇宙論パラメータと呼ぶ。観測値などは[[宇宙論パラメータ]]の項参照。

== 関連項目 ==
* [[一般相対性理論]] | [[アインシュタイン方程式]]
* [[宇宙論]] - [[フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量]] - [[ビッグバン]]
* [[宇宙論パラメータ]]
* [[宇宙の大規模構造]]
* [[スケール因子 (宇宙論)]]
* [[宇宙原理]]

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[[Category:一般相対性理論]]
[[Category:物理学の方程式]]
[[Category:微分方程式]]
[[Category:人名を冠した数式]]
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