フリードリヒの不等式のソースを表示

[[数学]]における'''フリードリヒの不等式'''（フリードリヒのふとうしき、{{Lang-en-short|Friedrichs' inequality}}）とは、{{仮リンク|カート・オットー・フリードリヒ|label=カート・フリードリヒ|en|Kurt O. Friedrichs}}による[[函数解析学]]の一[[定理]]である。函数の[[弱微分]]に対する ''L<sup>p</sup>'' 評価と、その[[定義域]]の形状を利用することで、その函数の[[Lp空間|''L<sup>p</sup>'' ノルム]]に対する評価を与えるものである。[[ソボレフ空間]]上のいくつかの[[ノルム]]が同値であることを示すために利用することが出来る。

== 不等式の内容 ==

&Omega; は[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> の[[有界|有界部分集合]]で、その[[径]]は ''d'' とする。''u'' : &Omega; &rarr; '''R''' はソボレフ空間 <math>W_{0}^{k, p} (\Omega)</math> に属するものとする（すなわち、''u'' は ''W''<sup>''k'',''p''</sup>(&Omega;) に属し、その[[ソボレフ空間#トレース|トレース]]はゼロ）。このとき、次が成り立つ。

:<math>\| u \|_{L^{p} (\Omega)} \leq d^{k} \left( \sum_{| \alpha | = k} \| \mathrm{D}^{\alpha} u \|_{L^{p} (\Omega)}^{p} \right)^{1/p}.</math>

この評価式において
* <math>\| \cdot \|_{L^{p} (\Omega)}</math> は[[Lp空間|''L<sup>p</sup>'' ノルム]]を表す；
* ''&alpha;'' = (''&alpha;''<sub>1</sub>, ..., ''&alpha;''<sub>''n''</sub>) は[[多重指数]]で、そのノルムは |''&alpha;''| = ''&alpha;''<sub>1</sub> + ... + ''&alpha;''<sub>''n''</sub> である；
* D<sup>&alpha;</sup>''u'' は次の混合[[偏微分|偏導函数]]である。
::<math>\mathrm{D}^{\alpha} u = \frac{\partial^{| \alpha |} u}{\partial_{x_{1}}^{\alpha_{1}} \cdots \partial_{x_{n}}^{\alpha_{n}} }.</math>

== 関連項目 ==
* [[ポアンカレ不等式]]

{{DEFAULTSORT:ふりいとりひのふとうしき}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:ソボレフ空間]]
[[Category:不等式]]
[[Category:数学に関する記事]]

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