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'''フルビッツ行列'''は、ドイツの[[数学者]]の[[アドルフ・フルヴィッツ|アドルフ・フルビッツ]]の名にちなむ[[行列]]のこと。

==フルビッツ行列とフルビッツの安定判別法==
[[数学]]の分野におけるフルビッツ行列とは、実[[多項式]]の係数から構成される実構造化[[正方行列]]のことである。すなわち、実多項式
:<math>p(z)=a_0z^n+a_{1}z^{n-1}+\cdots+a_{n-1}z+a_n</math>
に対して得られる <math>n</math> 次正方行列
:<math> H(p) := \begin{bmatrix}
a_1 & a_3 & a_5 & a_7 & \ldots & 0\\
a_0 & a_2 & a_4 & a_6& \ldots & 0\\
0 & a_1 & a_3 & a_5& \ldots & 0\\
0 & a_0 & a_2 & a_4& \ldots & 0\\
0 & 0 & a_1 & a_3& \ldots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\
0 & 0 & 0 & 0& \ldots& a_n\\
\end{bmatrix}</math>
を多項式 <math>p</math> に対するフルビッツ行列と呼ぶ。1895年にアドルフ・フルビッツは、実多項式 <math>p</math> が安定であること（すなわちその全ての根が複素平面の開左半平面に存在すること）の必要十分条件として、そのフルビッツ行列 <math>H(p)</math> の[[行列式|主座小行列式]]すべてが正であること（たとえば
:<math>
\begin{align}
\Delta_1(p) &= \begin{vmatrix} a_{1} \end{vmatrix} &&=a_{1} > 0 \\[2mm]
\Delta_2(p) &= \begin{vmatrix}
   a_{1} & a_{3} \\
   a_{0} & a_{2} \\
   \end{vmatrix} &&= a_2 a_1 - a_0 a_3 > 0\\[2mm]
\Delta_3(p) &= \begin{vmatrix}
   a_{1} & a_{3} & a_{5} \\
   a_{0} & a_{2} & a_{4} \\
   0     & a_{1} & a_{3} \\
\end{vmatrix} &&= a_3 \Delta_2 - a_1 (a_1 a_4 - a_0 a_5 ) > 0
\end{align}
</math>
が成立することなど）を得た。各小行列式 <math>\Delta_k(p)</math> <math>(k=1,2,\cdots)</math> は[[フルビッツ行列式]]と呼ばれる。

==フルビッツ安定行列==
[[工学]]の分野や[[安定性理論]]において、正方行列 <math>A</math> が'''安定行列'''であるとは、その全ての[[固有値]]の[[実部]]が[[正の数と負の数|負]]であること、すなわち
:<math>\mathop{\mathrm{Re}}[\lambda_i] < 0\,</math> 
が行列 <math>A</math> の各固有値 <math>\lambda_i</math> に対して成立することを言う。そのような行列 <math>A</math> は'''安定性行列'''とも呼ばれる。その理由は、そのような行列 <math> A </math> に対する[[微分方程式]]
:<math>\dot x = A x</math>
が[[漸近安定]]（すなわち <math>x(t)\to 0</math> <math>(t\to\infty)</math> が成立）となるからである。

（行列値）[[伝達関数法|伝達関数]] <math>G(s)</math> が'''フルビッツ'''であるとは、その全ての成分の[[特異点|極]]の実部が負であることを言う。ここでそのような <math>G(s)</math> は、必ずしもフルビッツ行列である必要はなく、また正方行列である必要もないことに注意されたい。この概念とフルビッツ行列との関係として、もし行列 <math>A</math> がフルビッツ行列であるなら、[[力学系]]
:<math>\dot x(t)=A x(t) + B u(t)</math> 	 
:<!-- y にドットが無いのはタイプミスではありません --><math>y(t)=C x(t) + D u(t)\,</math>
にはフルビッツ伝達関数が存在する、というものが挙げられる。

連続的な力学系の任意の双曲型[[不動点]]（あるいは'''平衡点'''）が局所的に漸近安定であることと、その力学系の[[ヤコビ行列]]がその不動点においてフルビッツ安定であることは、必要十分である。

フルビッツ安定行列の概念は[[制御理論]]において重要な位置を占める。システムは、その制御行列がフルビッツ行列であるなら、'''安定'''となる。その行列の固有値の負の実成分は[[フィードバック|ネガティブフィードバック]]を表す。同様に、どの固有値も正の実成分を持つようなシステムは不安定となり、これは[[ポジティブフィードバック]]を表す。

==参考文献==
* {{cite journal
 | author = Hurwitz, A.
 | year = 1895
 | title = Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt
 | journal = [http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN235181684_0046 ''Mathematische Annalen Nr. 46''], Leipzig
 | pages = 273–284
}}
*{{cite journal
 | author = Gantmacher, F.R.
 | year = 1959
 | title = Applications of the Theory of Matrices
 | journal = Interscience, New York
 | volume = 641
 | issue = 9
 | pages = 1–8
}}
* Hassan K. Khalil (2002). ''Nonlinear Systems''. Prentice Hall.
* Siegfried H. Lehnigk, [http://www.springerlink.com/content/h192106tq8nl2274/ ''On the Hurwitz matrix''], ''Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP)'', May 1970
* Bernard A. Asner, Jr., ''On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix'', SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 18, No. 2 (Mar., 1970)
*Dimitar K. Dimitrov and Juan Manuel Peña,  [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1063186.1063190 ''Almost strict total positivity and a class of Hurwitz polynomials''], Journal of Approximation Theory,  Volume 132, Issue 2 (February 2005)

== 関連項目 ==
* [[ラウス・フルビッツの安定判別法 ]]

== 外部リンク ==
*{{planetmath reference|id=5395|title=Hurwitz matrix}}
{{PlanetMath attribution|title=Hurwitz matrix|id=35395}}

{{Linear-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:ふるひつつきようれつ}}
[[Category:行列]]
[[Category:制御理論]]
[[Category:数学に関する記事]]