フルーリーの多重複素数のソースを表示

{{for||多重複素数}}
[[数学]]における'''多重複素数'''（たじゅうふくそすう、{{lang-en-short|''multi&shy;complex number''}}）{{math|{{mathcal|𝓜}}{{mathbf|ℂ}}{{sub|''n''}}}} は、Norbert Fleury が {{harv|Fleury|Rausch de Traubenberg|Yamaleev|1993}} で導入した、任意の自然数（{{math|0}} を含まない）{{math|''n'' ∈ '''ℕ'''{{Exp|*}}}} に対して定義される[[超複素数系]]の系列で、それぞれ {{mathbf|ℝ}} 上 {{mvar|n}}-次元の[[可換]][[結合多元環|結合]][[体上の多元環|多元環]]を成す。

== 定義 ==
一つの元 {{mvar|e}}{{efn|[[ネイピア数]]ではない}} は {{math|1=''e{{Exp|n}}'' = −1}} を満たし、かつその冪からなる有限列 {{math|(1, ''e'', ''e''{{Exp|2}}, …, ''e''{{Exp|''n''−1}})}} は[[線型独立]]とする。このとき、{{math|𝓜'''ℂ'''{{Ind|''n''}}}} は、この列を[[生成 (数学)|生成系]]とする実多元環として定義される{{efn|定義により、この列が生成する超複素数系の[[基底 (線型代数学)|基底]]となる}}{{sfn|Fleury|Rausch de Traubenberg|Yamaleev|1993|p=433}}{{sfn|Fleury|Rausch de Traubenberg|Yamaleev|1995|p=120}}。

== 代数的性質 ==
* 各代数 {{math|𝓜'''ℂ'''{{Ind|''n''}}}} は{{ill2|一般化クリフォード代数|en|Generalized Clifford algebra}}の例になっている{{sfn|Rausch de Traubenberg|1997|p=21}}。
* {{math|1=''e''{{Exp|''n''}} + 1 = 0}} であるから、各代数 {{math|𝓜'''ℂ'''{{Ind|''n''}}}} は[[商多元環]] {{math|'''ℝ'''[''X'']/(''X''{{Exp|''n''}}+1)}} に自然同型である。
* {{ill2|擬ノルム|de|Pseudonorm}}が非零となる任意の多重複素数は極形式 <math display="inline">x = \rho \exp(\sum_{i=1}^{n-1} \phi_i e^i)</math> に書ける{{sfn|Fleury|Rausch de Traubenberg|Yamaleev|1993|p=438–441}}。

=== 直和およびテンソル積 ===
* 各代数 {{math|𝓜'''ℂ'''{{Ind|''n''}}}} は {{mathbf|ℝ}} および {{mathbf|ℂ}} からなる[[代数の直和]]{{efn|直和因子の数は有限個だから、直和 {{math|⊕}} は[[環の直積|代数の直積]] {{math|×}} と同値}} になる{{sfn|Rausch de Traubenberg|1997|p=21}}{{efn|この参考文献では {{mvar|n}} が奇数のときの説明に誤りがある}}:
** {{mvar|n}} が偶数のとき:
**: <math>\mathcal{M}\Complex_n \cong \underbrace{ \Complex \oplus \Complex \oplus \cdots \oplus \Complex }_{\frac{n}{2} \text{ summands}} = \bigoplus^\frac{n}{2} \Complex = \Complex^\frac{n}{2};</math>
** {{mvar|n}} が奇数のとき:
**: <math>\mathcal{M}\Complex_n \cong \R \oplus \underbrace{ \Complex \oplus \Complex \oplus \cdots \oplus \Complex }_{\frac{n-1}{2} \text{ summands}} = \R \oplus \bigoplus^\frac{n-1}{2} \Complex = \R \times \Complex^\frac{n-1}{2} = \R \oplus \mathcal{M}\Complex_{n-1};</math>
** あるいはまとめて: {{math|𝓜'''ℂ'''{{Ind|''n''}} ≅ '''ℝ'''{{Exp|''n'' mod 2}} × '''ℂ'''{{Exp|⌊''n''/2⌋}}}}.
* ここから直ちに従うこととして:
** {{mvar|m ,n}} が何れか奇数でないならば {{math|𝓜'''ℂ'''{{Ind|''m''}} ⊕ 𝓜'''ℂ'''{{Ind|''n''}} ≅ 𝓜'''ℂ'''{{Ind|''m''+''n''}}}};
** {{mvar|m, n}} がともに奇数のとき <math display="inline">\mathcal{M}\mathbb{C}_m \oplus \mathcal{M}\mathbb{C}_n \cong \mathcal{M}\mathbb{C}_{m+n-2} \oplus \mathbb{C}\!\!\!\!\diagdown</math>{{efn|<math display="inline">\Complex\!\!\!\!\diagdown \cong \mathbb{R}\otimes\mathbb{R}</math> は[[分解型複素数]]を表す}}。
* 上記の性質を利用して、[[代数のテンソル積]] {{math|⊗{{Ind|ℝ}}}} が代数の直和 {{math|⊕}} の上に[[分配法則|分配的]]であること、および同型{{efn|ここでは証明しない}} {{math|𝓜'''ℂ'''{{Ind|4}} ≅ '''ℂ''' ⊗{{Ind|'''ℝ'''}} '''ℂ'''}} がわかる。そこから {{math|𝓜'''ℂ'''{{Ind|''m''}} ⊗{{Ind|'''ℝ'''}} 𝓜'''ℂ'''{{Ind|''n''}} ≅ 𝓜'''ℂ'''{{Ind|''mn''}}}} を示すのは容易。

=== {{math|'''ℂ'''{{Ind|''n''}}}} との関係 ===

* {{math|𝓜'''ℂ'''{{Ind|2{{Exp|''n''}}}} ≅ [[セグレの多重複素数|'''ℂ'''{{Ind|''n''}}]]}}.

=== 部分環 ===

* {{math|𝓜ℂ{{Ind|''n''−1}} ⊂ 𝓜ℂ{{Ind|''n''}}}}.
* {{math|ℝ{{Exp|⌈''n''/2⌉}} ⊂ 𝓜ℂ{{Ind|''n''}}}}.
* D’où {{math|<math>\textstyle\Complex\!\!\!\!\diagdown</math>{{Exp|⌊(''n''+1)/4⌋}} ⊂ 𝓜ℂ{{Ind|''n''}}}}.
* {{math|ℂ{{Exp|⌊''n''/2⌋}} ⊂ 𝓜ℂ{{Ind|''n''}}}}.

== 特に 𝓜ℂ{{Ind|3}} に関して ==

19世紀に複素数を[[複素数平面|二次元の平面]]という幾何学的な形に表す考えが優位となったのち、数学者はこれを三次元の空間に対応する[[超複素数系]]に拡張しようと試みたがことごとく失敗に終わった。最終的には、超複素数の代数の成す次元とそれが表す幾何学的空間の次元が等しいという仮定を捨て去って、四次元の数である[[四元数]]が、そしてその{{ill2|空間回転|fr|rotation dans l'espace|label=三次元空間における回転}}との{{ill2|四元数と空間回転|en|Quaternions and spatial rotation|label=関係}}が発見されることとなる。そのような四元数の成功にもかかわらず、空間における幾何学的操作に相同する性質を示す次元数 {{math|3}} の超複素数系を探索する者たちが引き続き存在しており、そのうちの幾人かはそれぞれ独立に {{math|𝓜'''ℂ'''{{Ind|3}}}}{{sfn|Jacobi|2015}} またはそれに自明な{{sfn|Olariu|2000}}{{efn|単に基底を {{math|1=(1, ''h'', ''k'') = (1, −''e'', ''e''{{Exp|2}}}}) と置きかえる}}同型を持つ代数にたどり着いている。

== 注 ==
=== 注釈 ===
{{Notelist|30em}}
=== 参考文献 ===
{{Reflist|30em}}

== 参考文献 ==
* {{en icon}} {{cite journal|first1=Norbert |last1= Fleury | first2= Michel | last2= Rausch de Traubenberg | first=Robert Masgutovich|last3= Yamaleev | title= Commutative Extended Complex Numbers and Connected Trigonometry | journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications | issn=0022-247X | volume=180 | edition=2 | mouth=dec. | year=1993 | pages=431–457|doi=10.1006/jmaa.1993.1410|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X83714101/pdf?md5=99c473b97d70da5a165a55850a33d7ea&pid=1-s2.0-S0022247X83714101-main.pdf|format=pdf|consulté le=9 mars 2016|ref=harv}}
* {{en icon}} {{cite journal|first1=Norbert |last1= Fleury|first2=Michel |last2= Rausch de Traubenberg|first3=Robert Masgutovich|last3=Yamaleev|title=Extended Complex Number Analysis and Conformal-like Transformations|journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications|issn=0022-247X|volume=191|edition=1|issue=1|mounth=Apr.|year=1995|pages=118–136|doi=10.1006/jmaa.1995.1123| url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X85711237/pdf?md5=ac6d716df36bd8f8fa10e055b4412b92&pid=1-s2.0-S0022247X85711237-main.pdf|format=pdf|consulté le=9 mars 2016}}
* {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Michel | nom1=Rausch de Traubenberg|titre=Algèbres de Clifford, Supersymétrie et Symétries ℤ{{Ind|''n''}}, Applications en Théorie des Champs|nature ouvrage=habilitation à diriger des recherches|éditeur=Université Louis Pasteur|lieu=Strasbourg|jour=23|mois=octobre|année=1997|arxiv=hep-th/9802141|consulté le=1 avril 2010|numéro chapitre=1.2|titre chapitre=Extension des nombres complexes|passage=20–29}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Silviu |nom1=Olariu|titre=Complex Numbers in Three Dimensions|jour=4|mois=août|année=2000|arxiv=math/0008120|consulté le=3 mars 2016|id={{sfnref|Olariu|2000}}}}{{efn|この本では、研究対象である {{math|{{mathcal|𝓜}}{{mathbf|ℂ}}{{Ind|3}}}} に同型なものを « nombres tricomplexes »（「三重複素数」）と呼んでいるが、歴史的に[[セグレの多重複素数]]のひとつ {{math|{{mathbf|ℂ}}{{Ind|3}}}} のことを « nombres tricomplexes » 言うのと混同してはならない}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Shlomo |nom1=Jacobi|titre=On a novel 3D hypercomplex number system|jour=7|mois=septembre|année=2015|arxiv=1509.01459|consulté le=3 mars 2016|id={{sfnref|Jacobi|2015}}}}

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{{notelist}}

== 関連項目 ==
{{Portal|数学}}
* [[巡回多元環]]

{{Number systems}}<!--{{Palette|Notion de nombre|Nombres hypercomplexes}}-->
{{DEFAULTSORT:たちゆうふくそすう}}
[[Category:超複素数系]]
[[Category:数学に関する記事]]