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{{要改訳}}
数学において、'''フレアーホモロジー'''(Floer homology)は、[[シンプレクティック幾何学]]や[[低次元トポロジー]]の研究に使用される有用なツールである。フレアーホモロジーは、有限次元の[[モース理論]]の無限次元の類似として発生した高級な不変量である。[[アンドレアス・フレアー]](Andreas Floer)は、現在はハミルトニアンフレアーホモロジーと呼ばれているフレアーホモロジーの最初のバージョンを導入し、シンプレクティック幾何学の[[シンプレクティック同相写像#アーノルド予想|アーノルド予想]]の証明に使った。フレアーは、これと密接に関連するシンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体の理論を開発した。フレアーは、また、シンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体に密接に関連する理論も開発した。フレアーが第三番目に構成したことは、ヤン・ミルズ汎函数を使い、ホモロジー群を閉 3次元多様体へ関連付けた。これらの理論とそれの適用は、3次元や 4次元トポロジーと同様に、シンプレクティック多様体や接触多様体の現在の研究で、基本的な役割を果たしている。
<!--In [[mathematics]], '''Floer homology''' is a mathematical tool used in the study of [[symplectic geometry]] and low-dimensional [[topology]].  Floer homology is a novel invariant arising as an infinite-dimensional analog of finite-dimensional [[Morse homology]].  [[Andreas Floer]] introduced the first version of Floer homology, now called Hamiltonian Floer homology, in his proof of the [[Arnold conjecture]] in symplectic geometry.  Floer also developed a closely related theory for Lagrangian submanifolds of a symplectic manifold. A third construction, also due to Floer, associates homology groups to closed three-dimensional [[manifold (mathematics)|manifold]]s using the Yang-Mills functional.  These constructions and their descendants play a fundamental role in current investigations into the topology of symplectic and contact manifolds as well as (smooth) three- and four-dimensional manifolds.-->

フレアーホモロジーは、無限次元多様体とその上の実数値函数をある興味深い対象へ結び付けることにより定義される。例えば、シンプレクティック幾何学のバージョンでは、フレアーホモロジーは、シンプレクティック作用汎函数をシンプレクティック多様体の自由ループ空間へ結び付ける。3次元多様体の（{{仮リンク|インスタントン|en|instanton}}(instanton)）バージョンでは、3次元多様体上の[[接続 (幾何学)|SU(2)-接続]]の空間へ結び付ける。おまかに言うと、フレアーホモロジーは、無限次元多様体の上の自然な函数から計算されるモースホモロジーである。この自然な函数は、シンプレクティックな場合は、シンプレクティック作用を持つ[[シンプレクティック多様体]]の自由ループ空間であり、3次元多様体の場合は、[[チャーン・サイモンズ理論|チャーン-サイモンズ]]汎函数を持つ 3次元多様体上の SU(2)-接続の空間である。大まかには、フレアーホモロジーは、無限次元多様体上の函数のモースホモロジーである。フレアー[[鎖複体|チェーン複体]]は、函数の[[臨界点 (数学)|臨界点]](critical point)（もしくは、臨界点のある集まりでもよい）で張られる[[アーベル群]]から構成される。チェーン複体の微分は、臨界点と臨界点と（従って、臨界点の集まり）を結ぶ函数の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]の力線の数を数えることにより定義される。このベクトル空間の線型な[[自己準同型]]は、2つの臨界点を結ぶ函数の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]の力線を数えることで定義される。フレアーホモロジーは、このチェーン複体の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]である。
<!--Floer homology is typically defined by associating to the object of interest an infinite-dimensional manifold and a real valued function on it.  In the symplectic version, this is the free [[loop space]] of a [[symplectic manifold]] with the symplectic action functional. For the ([[instanton]]) version for three-manifolds, it is the space of SU(2)-[[connection (mathematics)|connections]] on a three-dimensional manifold with the [[Chern-Simons]] functional.  Loosely speaking, Floer homology is the Morse homology of the function on the infinite-dimensional manifold.   A Floer [[chain complex]] is formed from the [[abelian group]] spanned by the [[critical point (mathematics)|critical points]] of the function (or possibly certain collections of critical points).  The [[differential]] of the chain complex is defined by counting the function's [[gradient]] [[flow lines]] connecting certain pairs of critical points (or collections thereof).  Floer homology is the [[homology (mathematics)|homology]] of this chain complex.-->

フレアーのアイデアをうまく適用できる状況では、勾配の力線の方程式が、幾何学的解析的に扱いやすい典型的な方程式である。シンプレクティックフレアーホモロジーに対し、ループ空間の中の経路の勾配の力線の方程式は、注目しているシンプレクティック多様体への円筒形(cylinder)（ループの経路の全空間）からの写像の[[コーシー・リーマンの方程式]]（の摂動バージョン）であり、解は{{仮リンク|擬正則曲線|en|pseudoholomorphic curves}}(pseudoholomorphic curves)として知られている。従って、{{仮リンク|グロモフのコンパクト性定理|en|Gromov's compactness theorem (topology)}}(Gromov compactness theorem)は、微分が well-defined で、二乗が 0 となるので、フレアーホモロジーを定義することができることを示した。インスタントンフレアーホモロジーに対し、勾配の力線の方程式はまさに、実直線と交差する 3次元多様体上のヤン・ミルズ方程式である。
<!--The gradient flow line equation, in a situation where Floer's ideas can be successfully applied, is typically a  geometrically meaningful and analytically tractable equation.  For symplectic Floer homology,
the gradient flow equation for a path in the loopspace is (a perturbed version of) the [[Cauchy-Riemann equation]] for a map of a cylinder (the total space of the path of loops) to the symplectic manifold of interest; solutions are known as [[pseudoholomorphic curves]].  The [[Gromov compactness theorem]] is then used to show that the differential is well-defined and squares to zero, so that the Floer homology is defined.  For instanton Floer homology, the gradient flow equations is exactly the Yang-Mills equation on the three-manifold crossed with the real line.-->

==シンプレクティックフレアーホモロジー==

シンプレクティックフレアーホモロジー (SFHと略記する) は、[[シンプレクティック多様体]]とその上の非退化な[[シンプレクティック同相写像|シンプレクティック写像]]と結びついたホモロジー論である。シンプレクティック写像が[[ハミルトニアン]]であれば、ホモロジーはシンプレクティック多様体のループ空間（の普遍被覆）の上の{{仮リンク|シンプレクティック作用|en|Symplectic_action#Abbreviated_action_.28functional.29}}の研究から出て来る。SFH はシンプレクティック写像の{{仮リンク|ハミルトニアンイソトピー|en|Hamiltonian_isotopy#_Flows}}では不変である。

ここで、非退化とは、どの固定点でもシンプレクティック写像の微分の固有値には1がないことを意味し、この条件は固定点が孤立していないことを意味する。SFH はそのようなシンプレクティック写像の[[固定点]]によって生成される[[鎖複体]]のホモロジーである。そこでは微分（写像）が、実直線とシンプレクティック写像の{{仮リンク|トーラス写像|en|Mapping_torus}}(mapping torus)の直積の中のある{{仮リンク|擬正則曲線|en|Pseudoholomorphic_curve}}を数え上げる。これ自体は元の多様体よりも2次元大きな次元のシンプレクティック多様体で、[[概複素構造]]を適当に選ぶと、その中の穴のあいた（有限エネルギーの）正則曲線は、シンプレクティック写像の固定点に対応する写像トーラスの中のループに漸近的に近づく円筒形の端点を持っている。相対インデックスは固定点のペア毎に定義され、微分（写像）は相対インデックス&nbsp;1 を持つ正則シリンダーの数を数える。
<!---Symplectic Floer Homology (SFH) is a homology theory associated to a [[symplectic manifold]] and a nondegenerate [[symplectomorphism]] of it.  If the symplectomorphism is [[Hamiltonian symplectomorphism|Hamiltonian]], the homology arises from studying the [[symplectic action]] functional on the (universal cover of the) free loop space of a symplectic manifold.  SFH is invariant under [[Hamiltonian isotopy]] of the symplectomorphism.

Here, nondegeneracy means that 1 is not an eigenvalue of the derivative of the symplectomorphism at any of its fixed points.  This condition implies that the fixed points will be isolated.  SFH is the homology of the chain complex generated by the [[Fixed point (mathematics)|fixed points]] of such a symplectomorphism, where the differential counts certain [[pseudoholomorphic curve]]s in the product of the real line and the [[mapping torus]] of the symplectomorphism.  This  itself is a symplectic manifold of dimension two greater than the original manifold.  For an appropriate choice of [[almost complex structure]], punctured holomorphic curves (of finite energy) in it have cylindrical ends asymptotic to the loops in the mapping torus corresponding to fixed points of the symplectomorphism.  A relative index may be defined between pairs of fixed points, and the differential counts the number of holomorphic cylinders with relative index&nbsp;1.-->

コンパクト多様体のハミルトニアンシンプレクティック写像のシンプレクティック フレアーホモロジーは、基礎となっている多様体の特異ホモロジーと同型である。このようにして、その多様体の[[ベッチ数]]の和が、非退化なシンプレクティック写像の固定点の数に対する[[シンプレクティック幾何学#アーノルド予想とフレアーホモロジー|アーノルド予想]]の一つのバージョンで予想される下界を意味する。ハミルトニアンシンプレクティック写像の SFH もまた、[[量子コホモロジー]]と同値な変形された[[カップ積]]である[[ズボン|パンツペア]]<!-- ズボンとは言わない -->の積<ref>コボルディズムのパンツ分解の積のことであり、位相的場の理論の公理的な取り扱いで重要な役割を果たします</ref>を持っている。積のバージョンでは、完全でないハミルトニアンシンプレクティック写像に対しても存在する。

多様体 M の余接バンドルについて、フレアーホモロジーは非コンパクトであるために、ハミルトニアンの選択に依存している。無限遠点で二乗になっているハミルトニアンに対して、フレアーホモロジーは M の自由ループ空間の特異ホモロジーになっている(このステートメントに対しては、様々なバージョンの証明がある。Viterboによるもの、Salamon-Weberによるもの、Abbondandolo-Schwarzによるもの、Cohenによるもの)。基礎となる多様体のループ空間のホモロジー上の[[位相的弦理論]]に対応する余接バンドルのフレアーホモロジーの上の作用素は、さらに複雑になっている。

フレアーホモロジーのシンプレクティックバージョンは、[[ホモロジカルミラー対称性予想]]の定式化の中で決定的な方法となっている。
<!---The symplectic Floer homology of a Hamiltonian symplectomorphism of a compact manifold is isomorphic to the singular homology of the underlying manifold.  Thus, the sum of the Betti numbers of that manifold yields the lower bound predicted by one version of the [[Arnold conjecture]] for the number of fixed points for a nondegenerate symplectomorphism.  The SFH of a Hamiltonian symplectomorphism also has a [[pair of pants (mathematics)|pair of pants]] product which is a deformed [[cup product]] equivalent to [[quantum cohomology]].  A version of the product also exists for non-exact symplectomorphisms.

For the cotangent bundle of a manifold M, the Floer homology depends on the choice of Hamiltonian due to its noncompactness.  For Hamiltonians that are quadratic at infinity, the Floer homology is the singular homology of the free loop space of M (proofs of various versions of this statement are due to Viterbo, Salamon–Weber, Abbondandolo–Schwarz, and Cohen). There are more complicated  operations on the Floer homology of a cotangent bundle that correspond to the [[string topology]] operations on the homology of the loop space of the underlying manifold.

The symplectic version of Floer homology figures in a crucial way in the formulation of the homological mirror symmetry conjecture.-->

===PSS同型===
1996年、S. Piunikhin、D. Salamon、M. Schwarzは、フレアーホモロジーと[[量子コホモロジー|量子コホモロジー環]]との間の関係についての結果をまとめ、次のように定式化した。{{harvtxt|Piunikhin|Salamon|Schwarz|1996}}

:*'''半正'''なシンプレクティック多様体 (''M'',ω) のループ空間のフレアーコホモロジー群は、''M'' の通常のコホモロジーと自然に同型となる。ただし、[[被覆空間#被覆変換|被覆変換]]に関する適当なノビコフ環とのテンソル積を取るものとする。
:*この同型は、フレアーホモロジー上のパンツペアの積を持つ ''M'' のコホモロジーの量子カップ積構造と密接に関連する。
<!---In 1996 S. Piunikhin, D. Salamon and M. Schwarz summarized the results about the relation between Floer homology and [[quantum cohomology ring|quantum cohomology]] and formulated as the following.{{harvtxt|Piunikhin|Salamon|Schwarz|1996}}

:*The Floer cohomology groups of the loop space of a ''semi-positive'' symplectic manifold (''M'',ω) are naturally isomorphic to the ordinary cohomology of ''M'', tensored by a suitable Novikov ring associated the group of [[deck transformation|covering tranformations]].
:*This isomorphism intertwines the quantum cup product structure on the cohomology of M with the pair-of-pants product on Floer homology.-->

上記の'''半正'''という条件とシンプレクティック多様体 ''M'' がコンパクトであるという条件は、[[量子コホモロジー環#ノビコフ環|ノビコフ環]]と、フレアーホモロジーと量子コホモロジーの定義の双方を得るために必要となる。'''半正'''という条件は次の3点のことを言う。

:*すべてのπ<sub>2</sub>(''M'')に属する ''A'' と λ ≥ 0 に対して <math>\langle [\omega],A\rangle=\lambda\langle c_1,A\rangle</math> が成立する (''M'' は''単調''という)。
:*すべてのπ<sub>2</sub>(''M'')に属する ''A'' に対し、<math>\langle c_1,A\rangle=0</math> が成立する。
:*<c<sub>1</sub>,π<sub>2</sub>(''M'')>=''N'''''Z'''により定義される''最小チャーン数'' ''N'' ≥ 0 が ''n - 2'' に等しいかまたは大きい.

シンプレクティック多様体 ''M'' の量子コホモロジー群は、通常のコホモロジーとノビコフ環 Λ のテンソル積、つまり、

::<math>QH_*(M)=H_*(M)\otimes\Lambda</math>.

と定義できる。このフレアーホモロジーの構成は、''M'' 上の[[概複素構造]]の選択とは独立であることも説明するし、[[モース理論]]や{{仮リンク|擬正則曲線|en|Pseudoholomorphic_curve}}の考え方から得られたフレアーホモロジーとの同型も説明できる。ここで、背景としてホモロジーとコホモロジーの間の[[ポアンカレ双対]]があることに注意が必要である。
<!---The above condition of semi-positive and the compactness of symplectic manifold ''M'' is required for us to obtain [[quantum cohomology#Novikov ring|Novikov ring]] and for the definition of both Floer homology and quantum cohomology. The semi-positive condition means

:*<math>\langle [\omega],A\rangle=\lambda\langle c_1,A\rangle</math> for every ''A'' in π<sub>2</sub>(''M'') where λ≥0 (''M'' is ''monotone'').
:*<math>\langle c_1,A\rangle=0</math> for every ''A'' in π<sub>2</sub>(''M'').
:*The ''minimal Chern Number'' ''N''≥0 defined by <math>\langle c_1,\pi_2(M)\rangle=N\mathbb{Z}</math> is greater than or equal to ''n-2''.

The quantum cohomology group of symplectic manifold ''M'' can be defined as the tensor products of the ordinary cohomology with Novikov ring Λ, i.e.

::<math>QH_*(M)=H_*(M)\otimes\Lambda</math>.

This construction of Floer homology explains the independence on the choice of the [[almost complex structure]] on ''M'' and the isomorphism to Floer homology provided from the ideas of [[Morse theory]] and [[pseudoholomorphic curves]], where we must recognize the [[Poincaré duality]] between homology and cohomology as the background.-->

==3次元多様体のフレアーホモロジー==

閉じた{{仮リンク|3次元多様体|en|Three-manifolds}}についての複数のフレアーホモロジーの間には、同値関係があると予想されている。3つのタイプのホモロジー群が互いに同値であり、[[ホモロジー (数学)|完全三角性]]を形成すると予想されている。3次元多様体の[[結び目理論|結び目]]は、それぞれの理論のチェイン複体のフィルトレーションを引き起こし、チェインのホモトピータイプが結び目不変量となる。（それらのホモロジーは、組み合わせ的に定義された[[コバノフホモロジー]]と同じような公式の性質を満たす。）

これらのホモロジーは、4次元シンプレクティック多様体のタウベスによるグロモフ不変量と同じように、[[4次元多様体]]の[[ドナルドソン・トーマス不変量|ドナルドソン不変量]]やサイバーグ不変量と密接に関連している。3次元ホモロジーをこれらの理論に対応させる微分（写像）は、3次元多様体の交叉 '''R''' 上の微分方程式である[[ヤン＝ミルズ理論|ヤン・ミルズ理論]]や{{仮リンク|サイバーグ・ウィッテン理論|en|Seiberg–Witten theory}}<ref>{{仮リンク|サイバーグ・ウィッテン理論|en|Seiberg–Witten gauge theory|label=サイバーグ・ウィッテン・ゲージ理論}}</ref>や[[正則函数#コーシー・リーマンの方程式|コーシー-リーマン方程式]]<ref>コーシー-リーマン方程式と擬正則曲線の定義式との関係は、古典的擬正則曲線のコーシー-リーマンの方程式との類似(Analogy with the classical Cauchy-Riemann equations)に、{{仮リンク|擬正則曲線|en|Pseudoholomorphic_curve}}の記載がある。</ref>、をそれぞれの解を考えることであることが分かる。3次元多様体のフレアーホモロジーも境界を持つ 4次元多様体の相対的な不変量の対象となるべきで、3次元多様体を境界として張り合わせることで得られる閉 4次元多様体の不変量と、張り合わせる構成により関連付けられる。(これは[[位相的場の理論]]の概念と密接に関連する。) ヒーガードフレアーホモロジーに対し、3次元多様体のホモロジーが最初に定義され、後日、閉 4次元多様体の不変量がこの方法で定義された。
<!---There are several conjecturally equivalent Floer homologies associated to [[Closed manifold|closed]] [[three-manifolds]].  Each yields three types of homology groups, which fit into an [[exact triangle]].  A knot in a three-manifold induces a filtration on the chain complex of each theory, whose chain homotopy type is a knot invariant.  (Their homologies satisfy similar formal properties to the combinatorially-defined [[Khovanov homology]].)

These homologies are closely related to the Donaldson and Seiberg invariants of 4-manifolds, as well as to  Taubes's Gromov invariant of symplectic 4-manifolds; the differentials of the corresponding three-manifold homologies to these theories are studied by considering solutions to the relevant differential equations ([[Yang–Mills theory|Yang–Mills]], [[Seiberg–Witten gauge theory|Seiberg–Witten]], and [[Cauchy–Riemann equations|Cauchy–Riemann]], respectively) on the 3-manifold cross&nbsp;'''R'''.  The 3-manifold Floer homologies should also be the targets of relative invariants for four-manifolds with boundary, related by gluing constructions to the invariants of a closed 4-manifold obtained by gluing together bounded 3-manifolds along their boundaries.  (This is closely related to the notion of a [[topological quantum field theory]].)  For Heegaard Floer homology, the 3-manifold homology was defined first, and an invariant for closed 4-manifolds was later defined in terms of it.-->

3次元多様体のホモロジーの境界を持った 3次元多様体への拡張も存在していて：縫い合わせフレアーホモロジー{{harv|Juhasz|2008}} や境界を持つフレアーホモロジー{{harv|Lipshitz|Ozsvath|Thurston|2008}}がある. これらは 2つの境界を持つ3次元多様体の境界に沿った併合として記述される 3次元多様体のフレアーホモロジーの張り合わせ公式により、閉3次元多様体の不変量に関連していると期待されている。

{{仮リンク|3次元多様体|en|Three-manifolds}}がサイバーグ-ウィッテンの場合に、クロンハイマー(Kronheimer)とムロフカ(Mrowka)の始めた{{仮リンク|接触構造|en|Contact_structure}}を持っているとき、3次元多様体のフレアーホモロジーは別なホモロジーの要素を持つことになる。(一つの接触構造を選択すると、埋め込まれた接触ホモロジー(embedded contact homology)<ref>英語版では、"Floer Homology"にリンクが張られてるが記載がないので、記載のある文献を上げる。</ref>（ECHと省略する）が定義される。埋め込まれた接触ホモロジーは、{{harvtxt|Hutchings|2009}}に解説されているので、参照）

これらの理論はすべて、もともと相対的次数を持っていることになり；これらは、SWFについては（2-平面の場のホモトピークラスを割り当てることで）絶対的次数へ持ち上げられ、また ECH については SWF-ECH の同型を使い持ち上げる。
<!---There are also extensions of the 3-manifold homologies to 3-manifolds with boundary: sutured Floer homology {{harv|Juhász|2008}} and bordered Floer homology {{harv|Lipshitz|Ozsváth|Thurston|2008}}.  These are related to the invariants for closed 3-manifolds by gluing formulas for the Floer homology of a 3-manifold described as the union along the boundary of two 3-manifolds with boundary.

The [[three-manifold]] Floer homologies also come equipped with a distinguished element of the homology if the [[three-manifold]] is equipped with a [[contact structure]] beginning with Kronheimer and Mrowka in the Seiberg–Witten case.  (A choice of contact structure is required to define embedded contact homology but not the others.　For embedded contact homology see {{harvtxt|Hutchings|2009}})

These theories all come equipped with a priori relative gradings; these have been lifted to absolute gradings (by homotopy classes of oriented 2-plane fields) by Kronheimer and Mrowka (for SWF), Gripp and Huang (for HF), and Hutchings (for ECH).  Cristofaro-Gardiner has shown that Taubes' isomorphism between ECH and Seiberg-Witten Floer cohomology preserves these absolute gradings.-->

===インスタントンフレアーホモロジー===
インスタントンフレアーホモロジーは、フレアー自身により導入され、[[ドナルドソン理論]]と結ばれた 3次元多様体の不変量である。これは、3次元多様体の[[特殊ユニタリ群|SU(2)]]-[[主束|主バンドル]]の[[接続 (幾何学)|接続]]の空間上の[[チャーン・サイモンズ理論|チャーン・サイモンズ]]汎函数を使って得られる。チャーン-サイモンズ汎函数の臨界点では、接続が[[平坦接続]]となり、力線が{{仮リンク|インスタントン|en|Instanton}}(Instanton)、つまり実直線と 3次元多様体の交点の上の反自己双対接続となる。フレアーホモロジーの[[オイラー標数]]が[[キャッソン不変量]]に一致するので、インスタントンフレアーホモロジーはキャッソン不変量の一般化とも考えられる。

フレアーがフレアーホモロジーを導入すると、すぐにドナルドソンは[[コボルディズム]](Cobordism)がこれらの写像を導くということを示した。これが[[位相的場の理論]]として知られるようになった構造の最初の例であった。
<!--===Instanton Floer homology===
This is a three-manifold invariant connected to [[Donaldson theory]] introduced by Floer himself.  It is obtained using the [[Chern–Simons theory|Chern–Simons]] functional on the space of [[Connection (mathematics)|connections]] on a [[principal bundle|principal]] [[SU(2)]]-bundle over the three-manifold.  Its critical points are [[flat connection]]s and its flow lines are [[instanton]]s, i.e. anti-self-dual connections on the three-manifold crossed with the real line.  Instanton Floer homology may be viewed as a generalization of the [[Casson invariant]] because the [[Euler characteristic]] of Floer homology agrees with the Casson invariant.

Soon after Floer's introduction of Floer homology, Donaldson realized that cobordisms induce maps.  This was the first instance of the structure that came to be known as a Topological Quantum Field Theory.-->

===サイバーグ-ウィッテンフレアーホモロジー===
'''サイバーグ-ウィッテンフレアーホモロジー'''、あるいは、'''モノポールフレアーホモロジー'''は、[[スピン構造|spin<sup>c</sup>構造]]をもつ 3次元多様体のホモロジー論で、3次元多様体の U(1) 接続を持つサイバーグ-ウィッテン-ディラック方程式のモースホモロジー論とみなすことができる。付帯する勾配の力線の方程式は、実直線と交わる 2次元多様体上のサイバーグ・ウィッテン方程式に対応する。同じことであるが、鎖複体の生成子は、実直線と 3次元多様体の積上の（モノポールと呼ばれる）サイバーグ・ウィッテン方程式の変換不変な解であり、微分はこの 3次元多様体と実直線の積上のサイバーグ・ウィッテン方程式の解の数を数える（解は正と負の無限遠点で不変解へ漸近する）。

サイバーグ-ウィッテンフレアーホモロジーのひとつのバージョンは、厳密に{{仮リンク|ピーター・クロンハイマー|en|Peter_B._Kronheimer}}と{{仮リンク|トーマス・ムロフカ|en|Tomasz_Mrowka}}の単行本 [[:en:Monopoles and Three-manifolds|Monopoles and Three-manifolds]] により厳密に構成された。そこではモノポールフレアーホモロジーであることが分かる。{{仮リンク|クリフォード・タウベス|en|Clifford_Taubes}}は、これが埋め込み接触ホモロジーと同型であることを示した。有理数係数ホモロジー 3-球面上のサイバーグ-ウィッテンフレアーホモロジーのもう一つの構成は、{{harvtxt|Manolescu|2003}}と{{harvtxt|Froyshov|2010}}により与えられた。サイバーグ-ウィッテンフレアーホモロジーとモノポールフレアーホモロジーとは、一致すると予想されているが、証明されてはいない。
<!---===Seiberg–Witten Floer homology===
'''Seiberg–Witten Floer homology''' or '''monopole Floer homology''' is a homology theory of smooth [[3-manifold]]s (equipped with a [[spin-c structure|spin<sup>''c''</sup> structure]]).  It may be viewed as the Morse homology of the Chern-Simons-Dirac functional on U(1) connections on the three-manifold.  The associated gradient flow equation corresponds to the Seiberg-Witten equations on the three-manifold crossed with the real line.  Equivalently, the generators of the chain complex are translation-invariant solutions to Seiberg–Witten equations (known as monopoles) on the product of a 3-manifold and the real line, and the differential counts solutions to the Seiberg–Witten equations on the product of a 3-manifold and the real line which are asymptotic to invariant solutions at infinity and negative infinity.

One version of Seiberg-Witten-Floer homology was constructed rigorously in the monograph [[Monopoles and Three-manifolds]] by [[Peter Kronheimer]] and [[Tomasz Mrowka]], where it is known as monopole Floer homology.  Taubes has shown that it is isomorphic to embedded contact homology.   Alternate constructions of SWF for rational homology 3-spheres have been given by {{harvtxt|Manolescu|2003}} and {{harvtxt|Frøyshov|2010}}; they are presumed but not known to agree with monopole Floer homology.-->

===ヒーガードフレアーホモロジー===<!-- This section is linked from [[Knot invariant]] -->
'''ヒーガードフレアーホモロジー''' は、{{仮リンク|ピーター・オズバス|en|Peter_Ozsvath}}と[[ゾルターン・サボー|ゾルタン・ザボー]](Zoltan_Szabo)によるspin<sup>c</sup> 構造を持つ閉3次元多様体の不変量です。ラグランジアンフレアーホモロジー（後出）と類似した構成を経て、多様体の{{仮リンク|ヒーガード分解|en|Heegaard_splitting}}と使って構成された。{{harvtxt|Kutluhan|Lee|Taubes|2010}}では、ヒーガードフレアーホモロジーとサイバーグ-ウィッテンフレアーホモロジーが同型であるという証明がアナウンスされた。また{{harvtxt|Colin|Ghiggini|Honda|2011}} では、ヒーガードフレアーホモロジーに（逆の向きづけを）プラスしたバージョンと、埋め込まれた接触ホモロジーが同型であることを証明したことがアナウンスされた。

3次元多様体の中の結び目は、ヒーガードフレアーホモロジー群のフィルトレーションを導き、フィルトレーションされたホモとピータイプは強力な[[結び目理論|結び目不変量]]で、結び目フレアーホモロジーと呼ばれる。これは[[アレクサンダー多項式]]を{{仮リンク|カテゴリ化|en|Categorification}}(categorification)する。結び目フレアーホモロジーは{{harvtxt|Ozsvath|Szabo|2003}}で定義され、またこれとは独立に{{harvtxt|Rasmussen|2003}}によっても定義された. 結び目フレアーホモロジーは、結び目種数を識別することがしられている。{{harvtxt|Manolescu|Ozsvath|Sarkar|2009}}は、ヒーガード分解のグリッド図式<ref>2次元平面上へ結び目を射影して、平面の上で格子を描き、格子との交点に符号を与えて、結び目不変量を求める組み合わせ的手法のこと</ref>を用いて、結び目フレアーホモロジーを組み合わせ的に構成した。

結び目上で分岐するS^3の[[被覆空間|二重被覆]]のヒーガードフレアーホモロジーは、[[コバノフホモロジー]]の[[スペクトル系列]]によって、関連付けられる。{{harv|Ozsvath|Szabo|2005}}.

上に｢ハット｣のついたヒーガードフレアーホモロジーは、{{harvtxt|Sarkar|Wang|2010}}で導入された. ｢プラス｣と｢マイナス｣のついたヒーガードフレアーホモロジーと関連するオズバス-ザボー(Ozsvath-Szabo)の4次元多様体不変量は、{{harv|Manolescu|Ozsvath|Thurston|2009}}に示されているように、組み合わせ的に記述することができる.
<!---'''Heegaard Floer homology''' is an invariant due to [[Peter Ozsváth]] and [[ゾルターン・サボー|Zoltán Szabó]] of a closed 3-manifold equipped with a spin<sup>''c''</sup> structure.  It is computed using a [[Heegaard splitting|Heegaard diagram]] of the space via a construction analogous to Lagrangian Floer homology. {{harvtxt|Kutluhan|Lee|Taubes|2010}} announced a proof that Heegaard Floer homology is isomorphic to Seiberg-Witten Floer homology, and {{harvtxt|Colin|Ghiggini|Honda|2011}} announced a proof that the plus-version of Heegaard Floer homology (with reverse orientation) is isomorphic to embedded contact homology.

A knot in a three-manifold induces a filtration on the Heegaard Floer homology groups, and the filtered homotopy type is a powerful [[knot invariant]], called knot Floer homology. It [[categorification|categorifies]] the [[Alexander polynomial]]. Knot Floer homology was defined by {{Harvtxt|Ozsváth|Szabó|2003}} and independently by {{harvtxt|Rasmussen|2003}}.  It is known to detect knot genus. Using [[grid diagrams]] for the Heegaard splittings, knot Floer homology was given a combinatorial construction by {{harvtxt|Manolescu|Ozsváth|Sarkar|2009}}.

The Heegaard Floer homology of the [[Double cover (topology)|double cover]] of S^3 branched over a knot is related by a spectral sequence to [[Khovanov homology]] {{harv|Ozsváth|Szabó|2005}}.

The "hat" version of Heegaard Floer homology was described combinatorially by {{harvtxt|Sarkar|Wang|2010}}. The "plus" and "minus" versions of Heegaard Floer homology, and the related Ozsváth-Szabó four-manifold invariants, can be described combinatorially as well {{harv|Manolescu|Ozsváth|Thurston|2009}}.-->

===埋め込まれた接触ホモロジー===
ミカエル・ハッチングスによれば、'''埋め込まれた接触ホモロジー'''は、({{仮リンク|クリフォード・タウベス|en|Clifford_Taubes}}の仕事である)サイバーグ-ウィッテンフレアーホモロジーの中のとspin<sup>c</sup>構造の選択に対応する第二ホモロジークラスを持つ3次元多様体の不変量に同型である。また結果として({{harvnb|Kutluhan|Lee|Taubes|2010}} と {{harvnb|Colin|Ghiggini|Honda|2011}}) でアナウンスされているが)（向きを逆にした）ヒーガードフレアーホモロジーのプラスバージョンに同型である。{{仮リンク|タウベスのグロモフ不変量|en|Taubes%27s_Gromov_invariant}}の拡張としてみることが可能でもあるので、この不変量は[[サイバーグ・ウィッテン不変量]]と同値であることが知られている。このことは閉じた 4次元シンプレクティック[[4次元多様体|多様体]]からある非コンパクトなシンプレクティック4次元多様体 (つまり、接触3次元多様体と R との積)へ拡張される. この構成はシンプレクティック場の理論の類似で、閉じた{{仮リンク|レーブ軌道|en|Reeb_orbits}}のある集合により生成され、この微分（写像）がレーブ軌道のある集まりに端点を持つ正則曲線の数を数える；SFT と異なるところは、生成するレーブ軌道の集まりについての技術的な条件と、端点で[[フレドホルム作用素|フレドホルム指数]] 1 を持つすべての正則曲線を数えないが、「ECH指数」により与えられる移動的な条件も満たすもののみ数える。このことは特に考えている曲線が埋め込まれていることを意味する。

3次元接触多様体は任意の接触形式に対して閉じたレーブ軌道を持つであろうという{{仮リンク|ワインシュタイン予想|en|Weinstein_conjecture}}が、ECH が非自明な多様体で成立する。このことはタウベスにより、ECH 密接に関連するテクニックを使い証明された；この仕事を拡張すると、ECH と SWF の間の同型が得られる。ECH の（うまく定義できる）多くの構成は、この同型に依拠している。{{harv|Taubes|2007}}.
<!---'''Embedded contact homology''', due to [[Michael Hutchings (mathematician)|Michael Hutchings]], is an invariant of 3-manifolds (with a distinguished second homology class, corresponding to the choice of a spin<sup>''c''</sup> structure in Seiberg–Witten Floer homology) isomorphic (by work of [[Clifford Taubes]]) to Seiberg–Witten Floer cohomology and consequently (by work announced by {{harvnb|Kutluhan|Lee|Taubes|2010}} and {{harvnb|Colin|Ghiggini|Honda|2011}}) to the plus-version of Heegaard Floer homology (with reverse orientation).  It may be seen as an extension of [[Taubes's Gromov invariant]], known to be equivalent to the [[Seiberg–Witten invariant]], from closed symplectic [[4-manifold]]s to certain non-compact symplectic 4-manifolds (namely, a contact three-manifold cross R).  Its construction is analogous to symplectic field theory, in that it is generated by certain collections of closed [[Reeb orbits]] and its differential counts certain holomorphic curves with ends at certain collections of Reeb orbits; it differs from SFT in technical conditions on the collections of Reeb orbits that generate it and in not counting all holomorphic curves with [[Fredholm index]] 1 with given ends, but only those which also satisfy a topological condition given by the "ECH index", which in particular implies that the curves considered are (mainly) embedded.

The [[Weinstein conjecture]] that a contact 3-manifold has a closed Reeb orbit for any contact form holds on any manifold whose ECH is nontrivial, and was proved by Taubes using techniques closely related to ECH; extensions of this work yielded the isomorphism between ECH and SWF.  Many constructions in ECH (including its well-definedness) rely upon this isomorphism {{harv|Taubes|2007}}.-->

ECH の接触要素は、特に素晴らしい形をしていて：レーブ軌道の空集合に付随するサイクルである。

埋め込まれた接触ホモロジーは、（境界があってもよい）曲面のシンプレクティック写像のトーラス写像を定義するかもしれず、周期フレアーホモロジーとして知られている。ECH は、曲面のシンプレクティック写像のシンプレクティックフレアーホモロジーを一般化する。より一般的には、3次元多様体の{{仮リンク|安定ハミルトニアン構造|en|stable Hamiltonian structure}}の観点から定義されるかもしれない。このことは、接触構造、安定ハミルトニアン構造がゼロにならないベクトル場（レーブベクトル場）を定義することと似ている。ハッチングスとタウベスは、これらに対するワインシュタイン予想の類似、つまりいつでもこれらが閉軌道を持っていることを証明した（ただし、2-トーラスの写像トーラスではない場合とする）。
<!---The contact element of ECH has a particularly nice form: it is the cycle associated to the empty collection of Reeb orbits.

An analog of embedded contact homology may be defined for mapping tori of symplectomorphisms of a surface (possibly with boundary) and is known as periodic Floer homology, generalizing the symplectic Floer homology of surface symplectomorphisms.  More generally, it may be defined with respect to any [[stable Hamiltonian structure]] on the 3-manifold; like contact structures, stable Hamiltonian structures define a nonvanishing vector field (the Reeb vector field), and Hutchings and Taubes have proven an analogue of the Weinstein conjecture for them, namely that they always have closed orbits (unless they are mapping tori of a 2-torus).-->

==ラグランジアン交叉フレアーホモロジー==

シンプレクティック多様体の 2つの横断的に交差する[[シンプレクティック多様体#ラグランジアン部分多様体、あるいはその他の部分多様体|ラグラジェ部分多様体]]のラグラジアンフレアーホモロジーは、2つの部分多様体の交叉する点により生成される鎖複体のホモロジーで、その微分は{{仮リンク|擬正則的|en|Pseudoholomorphic}}な{{仮リンク|ホイットニーディスク|en|Whitney_discs}}の数を数える.

シンプレクティック多様体の3つのラグランジュ部分多様体 ''L''<sub>0</sub>, ''L''<sub>1</sub>, と ''L''<sub>2</sub> が与えられると、ラグラジアンフレアーホモロジー上の積構造があり：

:<math>HF(L_0, L_1) \otimes HF(L_1,L_2) \rightarrow HF(L_0,L_2), </math>

これが正則三角形を数えることで定義される(すなわち、頂点と辺をもつ三角形の正則写像は、適当な交叉点とラグランジュ部分多様体へ写像される）。

この問題についての論文は、深谷, Oh, 小野, と太田によっていて；最近のラロンデとコルニートの｢クラスタホモロジー｣<ref>クラスタホモロジーとは、ディスクが非局所的に余次元1でバブルになるので、代数的にモデリングすることが困難になる点を、モースフローを次のように拡張することで、克服する方法です。擬正則ディスクの[[モジュライ空間]]をラグランジュ部分多様体の上のモース函数を、負のグラジエントフローまで拡張すると、クラスタ化されたモジュライ空間ができます。これらをコンパクト化すると、次数付きの可換微分代数ができ、このホモロジーがクラスタホモロジーと呼ばれている。</ref>が別のアプローチを提供しています。ラグランジュ部分多様体のペアに対していつでもこの方法が適用でないが、ハミルトニアンイソトピーを使うと、この問題を解消することができる。

フレアーホモロジーのいくつかの種類は、ラグランジアンフレアーホモロジーの特別な場合である。Μ のシンプレクティック同相のシンプレクティックフレアーホモロジーは、ラグランジアンフレアーホモロジーの一種と考えることができる。そこでは、周囲の多様体が M であり M と交差し、ラグランジアン部分多様体はシンプレクティック同相の対角とグラフである。ヒーガードフレアーホモロジーは、3次元多様体のヒーガード分解を使い定義された総実部分多様体のラグランジアンフレアーホモロジーの変形を基礎としている。ザイデル・スミスとマノレスクは絡み目不変量をラグランジアンフレアーホモロジーとして構成し、[[コバノフホモロジー]]が組み合わせ的に定義された絡み目不変量に一致すると予想した。
<!---The Lagrangian Floer homology of two transversely intersecting [[Lagrangian submanifold]]s of a symplectic manifold is the homology of a chain complex which is generated by the intersection points of the two submanifolds and whose differential counts [[pseudoholomorphic]] [[Whitney discs]].

Given three Lagrangian submanifolds ''L''<sub>0</sub>, ''L''<sub>1</sub>, and ''L''<sub>2</sub> of a symplectic manifold, there is a product structure on the Lagrangian Floer homology:

:<math>HF(L_0, L_1) \otimes HF(L_1,L_2) \rightarrow HF(L_0,L_2), </math>

which is defined by counting holomorphic triangles (that is, holomorphic maps of a triangle whose vertices and edges map to the appropriate intersection points and Lagrangian submanifolds).

Papers on this subject are due to Fukaya, Oh, Ono, and Ohta; the recent work on "[[cluster homology]]" of Lalonde and Cornea offer a different approach to it.  The Floer homology of a pair of Lagrangian submanifolds may not always exist; when it does, it provides an obstruction to isotoping one Lagrangian away from the other using a [[Hamiltonian isotopy]].

Several kinds of Floer homology are special cases of Lagrangian Floer homology.  The symplectic Floer homology of a symplectomorphism of M can be thought of as a case of Lagrangian Floer homology in which the ambient manifold is M crossed with M and the Lagrangian submanifolds are the diagonal and the graph of the symplectomorphism.  The construction of Heegaard Floer homology is based on a variant of Lagrangian Floer homology for totally real submanifolds defined using a Heegaard splitting of a three-manifold.  Seidel-Smith and Manolescu constructed a link invariant as a certain case of Lagrangian Floer homology, which conjecturally agrees with [[Khovanov homology]], a combinatorially-defined link invariant.-->

===アティヤ-フレアー予想===
'''アティヤ-フレアー予想'''はインスタントンフレアーホモロジーとラグラジアン交叉フレアーホモロジーを結び付けます：[[曲面]] <math>\Sigma</math> に沿って{{仮リンク|ヒーガード分解|en|Heegaard_splitting}}を持つ3次元多様体 Y を考えます。すると[[ゲージ同値]]<ref>[[ゲージ理論]]。</ref>を法とした[[平坦接続]]の空間は、次元が6''g''&nbsp;&minus;&nbsp;6のシンプレクティック多様体である。ここの ''g'' は曲面 <math>\Sigma</math>の[[種数]]である. ヒーガード分解では、<math>\Sigma</math> は2つの異なる3次元多様体の共通の境界で；境界をもった3次元多様体の上のゲージ同値を法とした平坦接続の空間 (同じことだが、各々の3次元多様体へ拡張した <math>\Sigma</math> の上の接続の空間) が <math>\Sigma</math>の上の接続の空間のラグランジュ部分多様体である。このようにして、これらのラグラジアンフレアーホモロジーができる。代わりに、3次元多様体 Y のインスタントンフレアーホモロジーを考えることもできる。アティヤ-フレアー予想とは、これら2つが同型であろうということを述べている。{{harvtxt|Salamon|Wehrheim|2008}} はこの予想を証明するためのプログラムを提示している。
<!---The '''Atiyah–Floer conjecture''' connects the instanton Floer homology with the Lagrangian intersection Floer homology:  Consider a 3-manifold Y with a [[Heegaard splitting]] along a [[surface]] <math>\Sigma</math>. Then the space of [[flat connection]]s on <math>\Sigma</math> modulo [[gauge equivalence]] is a symplectic manifold of dimension 6''g''&nbsp;&minus;&nbsp;6, where ''g'' is the [[genus (mathematics)|genus]] of the surface <math>\Sigma</math>. In the Heegaard splitting, <math>\Sigma</math> bounds two different 3-manifolds; the space of flat connections modulo gauge equivalence on each 3-manifold with boundary (equivalently, the space of connections on <math>\Sigma</math> that extend over each three manifold) is a Lagrangian submanifold of the space of connections on <math>\Sigma</math>.  We may thus consider their Lagrangian intersection Floer homology.  Alternately, we can consider the Instanton Floer homology of the 3-manifold Y. The Atiyah–Floer conjecture asserts that these two invariants are isomorphic. {{harvtxt|Salamon|Wehrheim|2008}} are working on a program to prove this conjecture.-->

===ミラー対称性との関係===
[[マキシム・コンツェビッチ]]の提出した[[ホモロジカルミラー対称性予想]]は、[[カラビ-ヤウ多様体]] <math>X</math> のラグランジュ部分多様体のフレアーホモロジーと、ミラーとなっているカラビ-ヤウ多様体の上の[[連接層]]の [[Ext群]]との間の同値性を予想する。この状況下では、フレアーホモロジーではなく、フレアーチェーン群が焦点化される。同様にパンツペアの積へ、擬正則的な''n''-面体を使い多重な複体に構成することができる。これらの複体は <math>A_\infty</math>-関係を満たし、シンプレクティック多様体の中のすべての（障害のない）ラグランジュ部分多様体のカテゴリから、<math>A_\infty</math>-カテゴリへの写像がある。これは{{仮リンク|深谷圏|en|Fukaya_category}}と呼ばれる。

さらに詳しくは、ラグラジアンというとき、次数付きであることと[[スピン構造|spin構造]]をデータとして加える必要がある。これらの構造を選んだラグラジアンは、元となっている物理へ敬意を表して、{{仮リンク|メンブレーン (M-理論)|en|Membrane_%28M-theory%29}}と呼ばれる。ホモロジカルミラー対称性予想は、カラビ-ヤウ多様体 <math>X</math> の深谷圏と、ミラーペアの連接層の[[導来圏]]の{{仮リンク|DG-圏|en|Dg_category}}<ref>DG-圏は、Differentail Graded Categoryの訳語である。</ref>の間に、互いに[[森田同値]]があることを言っている。
<!---The [[homological mirror symmetry]] conjecture of [[Maxim Kontsevich]] predicts an equality between the Lagrangian Floer homology of Lagrangians in a [[Calabi–Yau manifold]] <math>X</math> and the [[Ext group]]s of [[coherent sheaves]] on the mirror Calabi–Yau manifold. In this situation, one should not focus on the Floer homology groups but on the Floer chain groups. Similar to the pair-of-pants product, one can construct multi-compositions using pseudo-holomorphic ''n''-gons. These compositions satisfy the <math>A_\infty</math>-relations making the category of all (unobstructed) Lagrangian submanifolds in a symplectic manifold into an <math>A_\infty</math>-category, called the [[Fukaya category]].

To be more precise, one must add additional data to the Lagrangian – a grading and a [[spin structure]]. A Lagrangian with a choice of these structures is often called a [[Membrane (M-theory)|brane]] in homage to the underlying physics. The Homological Mirror Symmetry conjecture states there is a type of derived [[Morita equivalence]] between the Fukaya category of the Calabi–Yau <math>X</math> and a [[dg category]] underlying the bounded [[derived category]] of coherent sheaves of the mirror, and vice-versa.-->

==シンプレクティック場の理論 (SFT)==
シンプレクティック場の理論（SFTと略す）は、{{仮リンク|接触多様体|en|Contact_manifold}}とそれらの間のシンプレクティック[[コボルディズム]]で、元は[[ヤコフ・エリアシュバーグ]], {{仮リンク|アレクサンダー・ギベンタール|en|Alexander_Givental}}と{{仮リンク|ヘルムート･ホーファー|en|Helmut_Hofer|}}によっている. このシンプレクティック場の理論は、部分複体、有理的シンプレクティック場の理論と接触ホモロジーからなり、微分代数のホモロジーとして定義され、選ばれた接触形式{{仮リンク|レーブベクトル場|en|Reeb_vector_field}}の閉じたレーブ軌道により生成されます。微分（写像）は、接触多様体の上の円筒の中にあのある正則曲線の数を数える。そこでの自明な例は、閉じたレーブ軌道の上の（自明）な円筒の分岐被覆となっている。さらにこれは、円筒形、あるいは線型接触ホモロジーと呼ばれる線型ホモロジーを意味している(時々、記号の混乱ですが、単に接触ホモロジーとも言われる)。このチェーン群は閉じた軌道により生成されたベクトル空間で、微分（写像）は正則な円筒のみを数える。しかし、円筒形接触ホモロジーは、正則ディスクの存在のためにいつも定義されるとは限らない。円筒形接触ホモロジーが意味を持つような状況下では、ループをループ上のアルファ（交叉）を作る自由ループ空間の上の作用汎函数の（少し変形した）｢モースホモロジー」としてみなすことができるかもしれなし。レーブの軌道は、この汎函数の臨界点である。

SFT は、{{仮リンク|相対接触ホモロジー|en|Relative_contact_homology}}として知られる接触多様体の{{仮リンク|ルジャンドル部分多様体|en|Legendrian_submanifold#Legendrian_submanifolds_and_knots}}の相対不変量も導く。SFT の生成子はレーブコードで、レーブコードとはラグランジアン上に始点と終点を持つレーブベクトル場の軌跡のことで、その微分は与えられたレーブコードに近似する終点を持つ接触多様体の{{仮リンク|シンプレクティック化|en|symplectization}}である正則な帯状領域の数を数える。

SFT では、接触多様体はシンプレクティック写像をもつシンプレクティック多様体の{{仮リンク|写像トーラス|en|Mapping_torus}}に置き換えることができます。円筒形接触ホモロジーはうまく定義でき、シンプレクティック写像のべきのシンプレクティックフレアーホモロジーによって与えられるが、（有理）シンプレクティック場の理論と接触ホモロジーは、一般化されたシンプレクティックフレアーホモロジーと考えることができる。しかし、シンプレクティック写像が時間依存のハミルトニアンの時間が一定という重要な場合では、これらの高次の不変量はこれ以上の情報をもってはいないことが示されている。
<!---This is an invariant of [[contact manifold]]s and symplectic [[cobordism]]s between them, originally due to [[Yakov Eliashberg]], [[Alexander Givental]] and [[Helmut Hofer]].  The symplectic field theory as well as its subcomplexes, rational symplectic field theory and contact homology, are defined as homologies of differential algebras, which are generated by closed orbits of the [[Reeb vector field]] of a chosen contact form. The differential counts certain holomorphic curves in the cylinder over the contact manifold, where the trivial examples are the branched coverings of (trivial) cylinders over closed Reeb orbits.  It further includes a linear homology theory, called cylindrical or linearized contact homology (sometimes, by abuse of notation, just contact homology), whose chain groups are vector spaces generated by closed orbits and whose differentials count only holomorphic cylinders. However, cylindrical contact homology is not always defined due to the presence of holomorphic discs and a lack of regularity and transversality results.  In situations where cylindrical contact homology makes sense, it may be seen as the (slightly modified) "Morse homology" of the action functional on the free loop space which sends a loop to the integral of the contact form alpha over the loop.  Reeb orbits are the critical points of this functional.

SFT also associates a relative invariant of a [[Legendrian submanifold]] of a contact manifold known as [[relative contact homology]].  Its generators are Reeb chords, which are trajectories of the Reeb vector field beginning and ending on a Lagrangian, and its differential counts certain holomorphic strips in the [[symplectization]] of the contact manifold whose ends are asymptotic to given Reeb chords.

In SFT the contact manifolds can be replaced by [[mapping torus|mapping tori]] of symplectic manifolds with symplectomorphisms. While the cylindrical contact homology is well-defined and given by the symplectic Floer homologies of powers of the symplectomorphism, (rational) symplectic field theory and contact homology can be considered as generalized symplectic Floer homologies. In the important case when the symplectomorphism is the time-one map of a time-dependent Hamiltonian, it was however shown that these higher invariants do not contain any further information.-->

==フレアーホモトピー==
いくつかの対象のフレアーホモロジーを構成する考えられる方法の一つは、通常のホモロジーが求めるフレアーホモロジーとなっている関連する{{仮リンク|ホモトピー論のスペクトル|en|Spectrum_%28homotopy_theory%29}}を構成することではないでしょうか。他の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー論]]をそのようなスペクトルに適用することは、他の興味深い不変量へ結び付くかもしれない。この戦略は、ラルフ・コーヘン, ジョン・ジョーンズ, と{{仮リンク|グラミエ・セーガル|en|Graeme_Segal}}により提案され、{{harvtxt|Manolescu|2003}} によりサイバーグ-ウィッテンフレアーホモロジーのある場合に実現され、コーヘンにより余接バンドルのフレアーホモロジーに対して実現された。
<!---One conceivable way to construct a Floer homology theory of some object would be to construct a related [[Spectrum (homotopy theory)|spectrum]] whose ordinary homology is the desired Floer homology.  Applying other [[homology theories]] to such a spectrum could yield other interesting invariants.  This strategy was proposed by Ralph Cohen, John Jones, and [[Graeme Segal]], and carried out in certain cases for Seiberg–Witten–Floer homology by {{harvtxt|Manolescu|2003}} and for the symplectic Floer homology of cotangent bundles by Cohen.-->

==解析的基礎==
これらのフレアーホモロジーの多くは完全で厳密に構成されているわけではなく、多くの同値関係が予想はされているものの、証明されてはいない。テクニカルな困難は、擬正則曲線の[[コンパクト化]]<ref>コンパクト化(compactification)の意味は、数学と物理（弦理論）では異なっている。ここでは、数学側の意味へリンクをはっている。物理側（特に弦理論）は[[コンパクト化 (物理学)]]である。</ref>は、解析の中にある。ホーファーは、クリス・ウィスコスキ(Kris Wysocki) とエドゥアルド・ゼンダー(Eduard Zehnder)の協力を得て、「高次元多様体」の理論と「一般化された[[フレドホルム理論]]」を経て、新しい解析的な基礎を開発している。高次元多様体のプロジェクトは未だに完全ではないが、横断性がより簡単な方法を使って示された重要なケースがある。
<!---Many of these Floer homologies have not been completely and rigorously constructed, and many conjectural equivalences have not been proved. Technical difficulties come up in the analysis involved, especially in constructing [[Compactification (mathematics)|compactified]] [[moduli space]]s of pseudoholomorphic curves.  Hofer, in collaboration with Kris Wysocki and Eduard Zehnder, has developed new analytic foundations via their theory of [[polyfold]]s and a "general Fredholm theory". While the polyfold project is not yet fully completed, in some important cases transversality was shown using simpler methods.-->

==計算==
フレアーホモロジーは、明確な計算をすることが一般には困難で、例えば、全つの曲面のシンプレクティック写像のシンプレクティックフレアーホモロジーが完成したのは、2007年であった。ヒーガードフレアーホモロジーには、この考え方から大きな成功への道がある；研究者たちは様々たクラスの3次元多様体のホモロジーを計算するために、代数的な構造を開拓しているし、実際に理論の多くの計算の組み合わせ的なアルゴリズムを見つけた。このことは既存の不変量や構造へ結び付けると同時に、3次元多様体のトポロジーへの多くの見方を生みだしてきた。
<!---Floer homologies are generally difficult to compute explicitly. For instance, the symplectic Floer homology for all surface symplectomorphisms was completed only in 2007. The Heegaard Floer homology has been huge  success story in this regard: researchers have exploited its algebraic structure to compute it for various classes of 3-manifolds and indeed found combinatorial algorithms for computation
of much of the theory.  It is also connected it to existing invariants and structures and many insights into 3-manifold topology have resulted.-->

==日本語化にあたっての脚注==
<references/>

== 参考文献 ==
===書籍とサーベイ===
* {{cite journal
 |author=[[Michael Atiyah]]
 |year=1988
 |title=New invariants of 3- and 4-dimensional manifolds
 |url=https://web.math.princeton.edu/~lewallen/AtiyahFloer.pdf
 |journal=[[Proceedings of Symposia in Pure Mathematics]]
 |volume=48 |pages=285–299
 |ref=harv
 |doi=10.1090/pspum/048/974342
 |series=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics
 |isbn=9780821814826
}}
* {{cite book
 |author1=[[Augustin Banyaga]]
 |author2=David Hurtubise
 |year=2004
 |title=Lectures on Morse Homology
 |publisher=[[Kluwer Academic Publishers]]
 |isbn=1-4020-2695-1
}}
* {{cite book
 |author1=[[Simon Donaldson]]
 |author2=M. Furuta
 |author3=D. Kotschick
 |year=2002
 |title=Floer homology groups in Yang-Mills theory
 |series=Cambridge Tracts in Mathematics
 |volume=147
 |publisher=[[Cambridge University Press]]
 |isbn=0-521-80803-0
}}
* {{cite book
 |author=David A. Ellwood, [[Peter Ozsváth|Peter S. Ozsváth]], András I. Stipsicz, [[ゾルターン・サボー|Zoltán Szabó]], eds
 |year=2006
 |title=Floer Homology, Gauge Theory, And Low-dimensional Topology
 |series=Clay Mathematics Proceedings
 |volume=5
 |publisher=[[Clay Mathematics Institute]]
 |isbn=0-8218-3845-8
}}
*{{Cite book
 |author1=Peter Kronheimer
 |author2=Tomasz Mrowka
 |year= 2007
 |title=Monopoles and Three-Manifolds
 |publisher=[[Cambridge University Press]]
 |isbn= 978-0-521-88022-0
 |authorlink1=Peter Kronheimer
 |authorlink2=Tomasz Mrowka
 |ref=harv
 |postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}
}}
* {{cite book
 |author1=[[Dusa McDuff]]
 |author2=Dietmar Salamon
 |year=1998
 |title=Introduction to Symplectic Topology
 |publisher=[[Oxford University Press]]
 |isbn=0-19-850451-9
}}
*  {{cite journal
 |author1=Dusa McDuff
 |year=2005
 |title=Floer theory and low dimensional topology
 |url=http://www.ams.org/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01080-3/home.html
 |journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]
 |volume=43 |pages=25–42
 |doi=10.1090/S0273-0979-05-01080-3
 |mr=2188174
 |authorlink1=Dusa McDuff
 |ref=harv
}}
*  {{cite book
 |author1=[[Matthias Schwarz]]
 |year=1993
 |title=Morse Homology
 |publisher=[[Birkhäuser]]
 |isbn=
}}
* 深谷賢治　シンプレクティック幾何学　岩波書店　1999.

===研究論文===
*{{cite journal |last=Colin |first=Vincent |last2=Ghiggini |first2=Paolo |last3=Honda |first3=Ko |title=Equivalence of Heegaard Floer homology and embedded contact homology via open book decompositions |journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|PNAS]] |volume=108 |year=2011 |issue=20 |pages=8100–8105 |doi=10.1073/pnas.1018734108 |ref=harv }}
*{{cite journal |authorlink=Andreas Floer |first=Andreas |last=Floer |title=The unregularized gradient flow of the symplectic action |journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics|Comm. Pure Appl. Math.]] |volume=41 |issue= 6|year=1988 |pages=775–813 |doi=10.1002/cpa.3160410603 |ref=harv }}
*{{cite journal |authormask=3 |last=Floer |first=Andreas |title=An instanton-invariant for 3-manifolds |journal=[[Communications in Mathematical Physics|Comm. Math. Phys.]] |volume=118 |year=1988 |issue=2 |pages=215–240 |bibcode = 1988CMaPh.118..215F |doi = 10.1007/BF01218578 |ref=harv }} [http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.cmp/1104161987 Project Euclid]
*{{cite journal |authormask=3 |last=Floer |first=Andreas |title=Morse theory for Lagrangian intersections |journal=[[Journal of Differential Geometry|J. Differential Geom.]] |volume=28 |year=1988 |issue=3 |pages=513–547 |mr=965228 |ref=harv }}
*{{cite journal |authormask=3 |last=Floer |first=Andreas |title=Cuplength estimates on Lagrangian intersections |journal=Comm. Pure Appl. Math. |volume=42 |year=1989 |issue=4 |pages=335–356 |doi=10.1002/cpa.3160420402 |ref=harv }}
*{{cite journal |authormask=3 |last=Floer |first=Andreas |title=Symplectic fixed points and holomorphic spheres |journal=Comm. Math. Phys. |volume=120 |issue=4 |year=1989 |pages=575–611 |bibcode=1988CMaPh.120..575F |doi=10.1007/BF01260388 |ref=harv }}
*{{cite journal |authormask=3 |last=Floer |first=Andreas |title=Witten's complex and infinite dimensional Morse Theory |journal=J. Diff. Geom. |volume=30 |year=1989 |issue= |pages=202–221 |doi= |ref=harv }}
*{{cite journal |last=Frøyshov |first=Kim A. |year=2010 |title=Monopole Floer homology for rational homology 3-spheres |journal=[[Duke Mathematical Journal|Duke Math. J.]] |volume=155 |issue=3 |pages=519–576 |doi=10.1215/00127094-2010-060 |arxiv=0809.4842  |ref=harv }}
*{{cite journal |authorlink=Mikhail Gromov (mathematician) |first=Mikhail |last=Gromov |title=Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds |journal=[[Inventiones Mathematicae]] |year=1985 |volume=82 |issue=2 |pages=307–347 |doi=  10.1007/BF01388806|bibcode = 1985InMat..82..307G |ref=harv }}
*{{cite journal |first=Helmut |last=Hofer |first2=Kris |last2=Wysocki |first3=Eduard |last3=Zehnder |title=A General Fredholm Theory I: A Splicing-Based Differential Geometry |journal=[[Journal of the European Mathematical Society|J. Eur. Math. Soc.]] |volume=9 |issue=4 |pages=841–876 |year=2007 |arxiv=math.FA/0612604 |bibcode=2006math.....12604H |doi=10.4171/JEMS/99 |ref=harv}}
*{{cite journal |last=Juhász |first=András |year=2008 |title=Floer homology and surface decompositions |journal=[[Geometry & Topology]] |volume=12 |issue=1 |pages=299–350 |doi=10.2140/gt.2008.12.299 |ref=harv }}
*{{cite arXiv|last=Kutluhan|first=Cagatay|first2=Yi-Jen|last2=Lee|first3=Clifford Henry|last3=Taubes|title=HF=HM I: Heegaard Floer homology and Seiberg–Witten Floer homology|class=math.GT|eprint=1007.1979|year=2010}}
*{{cite arXiv|last=Lipshitz|first=Robert|authorlink2=Peter Ozsváth|first2=Peter|last2=Ozsváth|first3=Dylan|last3=Thurston|title=Bordered Heegaard Floer homology: Invariance and pairing|year=2008|class=math.GT|eprint=0810.0687}}
*{{Cite journal|authorlink=Ciprian Manolescu |first=Ciprian |last=Manolescu |title=Seiberg–Witten–Floer stable homotopy type of three-manifolds with ''b''<sub>''1''</sub> = 0|journal=[[Geometry & Topology|Geom. Topol.]] |volume=7 |pages=889–932 |year=2003 |arxiv=math/0104024 |ref=harv|doi=10.2140/gt.2003.7.889 }}
*{{Cite journal| last1 = Manolescu | first1 = Ciprian | last2 = Ozsvath | first2 = Peter S. | last3 = Sarkar | first3 = Sucharit | author3-link = Sucharit Sarkar | issue = 2 | journal = [[Annals of Mathematics|Ann. of Math.]] | pages = 633–660 | title = A combinatorial description of knot Floer homology | volume = 169 | year = 2009| arxiv=math/0607691 |ref=harv |bibcode = 2006math......7691M| doi = 10.4007/annals.2009.169.633 }}
*{{cite arXiv|first1=Ciprian|last1=Manolescu|first2=Peter|last2=Ozsváth|first3=Dylan|last3=Thurston|title=Grid diagrams and Heegaard Floer invariants|year=2009|class=math.GT|eprint=0910.0078}}
*{{Cite journal |last=Ozsváth |first=Peter |authorlink2=ゾルターン・サボー |last2=Szabo |first2=Zoltán |title=Holomorphic disks and topological invariants for closed three-manifolds |journal=[[Annals of Mathematics|Ann. of Math.]] |volume=159 |year=2004 |issue=3 |pages=1027–1158 |bibcode=2001math......1206O |arxiv=math/0101206 |doi=10.4007/annals.2004.159.1027 |ref=harv }}
*{{Cite journal |authormask=3 |author=Peter Ozsváth & Zoltán Szabó |title=Holomorphic disks and three-manifold invariants: properties and applications |journal=Ann. Of Math. |volume=159 |year=2004 |issue=3 |pages=1159–1245 |bibcode=2001math......5202O |last2=Szabo |arxiv=math/0105202 |doi=10.4007/annals.2004.159.1159 |ref=harv }}
*{{cite arXiv|last1=Ozsváth|first1=Peter|last2=Szabó|first2=Zoltán|title=Holomorphic disks and knot invariants|year=2003|class=|eprint=math.GT/0209056}}
*{{Cite journal| last1 = Ozsváth | first1 = Peter | last2 = Szabo | first2 = Zoltán |journal=[[Advances in Mathematics|Adv. Math.]] |volume=194 | title = On the Heegaard Floer homology of branched double-covers |issue=1 |pages=1–33 | year = 2005 |arxiv=math.GT/0209056| ref=harv| bibcode = 2003math......9170O| doi = 10.1016/j.aim.2004.05.008 }}
*{{cite arXiv|last=Rasmussen|first=Jacob|title=Floer homology and knot complements|class=|eprint=math/0306378|year=2003}}
*{{cite journal |last=Salamon |first=Dietmar |authorlink2=Katrin Wehrheim |last2=Wehrheim |first2=Katrin |year=2008 |title=Instanton Floer homology with Lagrangian boundary conditions |journal=Geometry & Topology |volume=12 |issue=2 |pages=747–918 |doi=10.2140/gt.2008.12.747 |arxiv=math/0607318 |ref=harv }}
*{{cite journal |last1=Sarkar |first1=Sucharit|last2=Wang |first2=Jiajun|journal=Ann. of Math. | pages = 1213–1236 | title = An algorithm for computing some Heegaard Floer homologies| volume = 171 | year = 2010| issue=2 | arxiv=math/0607777 |ref=harv |doi=10.4007/annals.2010.171.1213 }}
*{{Cite journal|last= Hutchings |journal=CRM Proc. Lecture Notes |volume=49 | pages = 263–297 | title = The embedded contact homology index revisited | year = 2009 | arxiv=0805.1240 |ref=harv|bibcode= 2008arXiv0805.1240H}}
*{{Cite journal|last= Taubes |first=Clifford | title=The Seiberg-Witten equations and the Weistein conjecture |journal=Geom. Topol. |volume=11 | pages = 2117–2202 | year = 2007 | arxiv=math/0611007 |ref=harv|doi= 10.2140/gt.2007.11.2117}}
*{{Cite book | last1 = Piunikhin | first1 = Sergey | last2 = Salamon | first2 = Dietmar| last3 = Schwarz | first3 = Matthias | title=Contact and Symplectic Geometry | pages = 171–200 | chapter=Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology | year = 1996 |publisher=Cambridge University Press |isbn= 0-521-57086-7 | ref=harv }}

{{Normdaten}}

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