フレシェ分布のソースを表示


{{確率分布
|名前=フレシェ分布
|型=密度
|画像/確率関数=[[ファイル:Frechet pdf.svg|325px|フレシェ分布の確率密度関数]]<br /><span style="font-size:90%;">位置母数が0の場合</span>
|画像/分布関数=[[ファイル:Frechet cdf.svg|325px|フレシェ分布の累積分布関数]]<br /><span style="font-size:90%;">位置母数が0の場合</span>
|母数=<math>\alpha \in (0,\infty) </math> {{ill|形状母数|en|Shape parameter}}. <br> (以下の2つのパラメータを追加できる) <br> <math> s \in (0,\infty) </math> {{ill|尺度母数|en|Scale parameter}} (標準分布で <math> s=1</math>) <br> <math>  m \in (-\infty,\infty) </math> {{ill|位置母数|en|Location parameter}}  (標準分布で <math>m=0</math>)
|台=<math>x>m</math>
|確率関数=<math>\frac{\alpha}{s} \left(\frac{x-m}{s}\right)^{-1-\alpha} \exp \left( - \left( \frac{x-m}{s} \right)^{-\alpha} \right)</math>
|分布関数=<math>\exp\left(-\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-\alpha}\right)</math>  |
|期待値=<math>\begin{cases}
                  \ m+s\Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)  & \text{for } \alpha>1  \\
                  \ \infty              & \text{otherwise}
                \end{cases}</math>
|中央値=<math>m+\frac{s}{\sqrt[\alpha]{\ln 2}}</math> 
|最頻値=<math>m+s\left(\frac{\alpha}{1+\alpha}\right)^{1/\alpha}</math>
|分散=<math>\begin{cases}
                  \ s^2\left(\Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)- \left(\Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)\right)^2\right)  & \text{for } \alpha>2  \\
                  \ \infty              & \text{otherwise}
                \end{cases}</math>
|歪度=<math>\begin{cases}
                  \ \frac{\Gamma\left(1-\frac {3}{\alpha}\right)-3\Gamma\left(1-\frac {2}{\alpha}\right)\Gamma\left(1-\frac {1}{\alpha}\right)+2\Gamma^3\left(1-\frac {1}{\alpha} \right)}{\sqrt{ \left( \Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)-\Gamma^2\left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right)^3 }}  & \text{for } \alpha>3  \\
                  \ \infty              & \text{otherwise}
                \end{cases}</math>
|尖度=<math>\begin{cases}
                  \ -6+ \frac{\Gamma \left(1-\frac{4}{\alpha}\right) -4\Gamma\left(1-\frac{3}{\alpha}\right) \Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)+3 \Gamma^2\left(1-\frac{2}{\alpha} \right)} {\left[\Gamma \left(1-\frac{2}{\alpha}\right) - \Gamma^2 \left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right]^2}  & \text{for } \alpha>4  \\
                  \ \infty              & \text{otherwise}
                \end{cases}</math>
|エントロピー=<math> 1 + \frac{\gamma}{\alpha} + \gamma +\ln \left( \frac{s}{\alpha} \right) </math>, ここで <math>\gamma</math> はオイラー・マスケローニ定数。
|モーメント母関数= モーメント <math>k</math> が <math>\alpha>k</math>　ならば存在する。
|特性関数= 
}}

'''フレシェ分布'''（{{lang-en|Fréchet distribution}}) は逆[[ワイブル分布]]としても知られている。フレシェ分布は、[[ガンベル分布]]（タイプIの極値分布）、[[ワイブル分布]]（タイプIIIの極値分布）とともに、一般化[[極値分布]]（{{lang-en|generalized extreme value distribution}}）の特別なケースである。フレシェ分布はタイプIIの極値分布と呼ばれる。

フレシェ分布の名称は、フレシェ分布を発見した数学者[[モーリス・ルネ・フレシェ]]に由来する{{Sfn|高橋倫也|志村隆彰|2016}}。

== 研究の発展 ==

モーリス・ルネ・フレシェは、1927年に、Fréchet (1927) において、最大値の漸近分布を考察している{{Sfn|Fréchet|1927}}{{Sfn|Kotz|Nadarajah|2000}}。フレシェ分布の研究は、さらに、[[ロナルド・フィッシャー]]とL・H・C・ティペットの1928年の共著論文によってなされている{{Sfn|Fisher|Tippett|1928}}。Fisher and Tippett (1928) は、極値分布が[[ガンベル分布]]（タイプI）、フレシェ分布、[[ワイブル分布]]（タイプIII）の3つのいずれか1つのみであることを示した{{Sfn|Fisher|Tippett|1928}}。[[エミール・ユリウス・ガンベル]]は、フレシェ分布を含む極値分布の研究を詳細に行い、1958年に極値統計学の書籍をまとめた{{Sfn|Gumbel|1958}}。

== 定義と性質 ==

フレシェ分布の累積分布関数は
:<math>F(x)=\Pr(X \le x)=e^{-x^{-\alpha}} \text{ if } x>0. </math>
である (Alves & Neves 2011) 。ここで、''&alpha;''&nbsp;>&nbsp;0は、形状パラメータである。フレシェ分布の確率密度関数は
:<math>  f(x)=\alpha x^{-\alpha-1} \; e^{-x^{-\alpha}} </math>
となる。

フレシェ分布の期待値と分散は以下の通りとなる (Alves & Neves 2011)。
* 期待値は<math>E[X]=\Gamma(1-\tfrac{1}{\alpha}) \text{ if } \alpha>1 </math>となる。
* 分散は<math>\text{Var}(X)=\Gamma(1-\tfrac{2}{\alpha})-\big(\Gamma(1-\tfrac{1}{\alpha})\big)^2 \text{ if } \alpha>2 </math>となる。
ここで、<math>\Gamma\left( \right)</math>は[[ガンマ関数]]であり、
:<math>\Gamma(z) :=\int_{0}^{\infty} x^{z-1} e^{-x} d x </math>
である。

[[ガンベル分布]]（タイプI）、フレシェ分布（タイプII）、[[ワイブル分布]]（タイプIII）は、一般化[[極値分布]]として単一の分布関数で表現できる{{Sfn|Coles|2013|p=47}}。

== 一般化フレシェ分布 ==

位置パラメータ ''m''（最小値）と尺度パラメータ''s''&nbsp;>&nbsp;0を含めることで、フレシェ分布を一般化することができる{{Sfn|Alves|Neves|2011}}。
一般化フレシェ分布の累積分布関数は
: <math>F(x)=\Pr(X \le x)=e^{-\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-\alpha}} \text{ if } x>m.</math>
である。
一般化フレシェ分布の確率密度関数は
: <math>f(x)=\frac{\alpha}{s} \; \left(\frac{x-m}{s}\right)^{-1-\alpha} \; e^{-(\frac{x-m}{s})^{-\alpha}}</math>
となる。

== 応用例 ==

; [[水文学]]
: フレシェ分布は、1日当たり降水量の年間最大値のような極端な現象に適用される。
; [[金融]]
: フレシェ分布は、市場収益をモデル化するために使われてきた{{Sfn|Alves|Neves|2011}}。
; [[国際経済学]]（[[貿易論]]）
: [[リカード・モデル]]を連続財・多数国モデルに拡張した著名な研究 Eaton and Kortum (2002) は、国''i''の各財を生産する効率性 (<math>Z_{i}</math>) の分布が次のフレシェ分布に従うと仮定した{{Sfn|Eaton|Kortum|2002}}。
:: <math>F_{i}(z)=\Pr(Z_{i} \le z)=e^{-T_{i} z^{-\theta}}</math>
: ここで、<math>\theta>1</math> が形状パラメータ（定義式の<math>\alpha</math>）に相当する。<math>\theta</math> が小さいほど、効率性の分散が大きくなり、[[比較優位]]の役割が大きくなる。<math>T_{i}>0</math> は、分布の場所を左右する追加的なパラメータである。<math>T_{i}</math>が大きいほど、効率性が高められ、[[絶対優位]]が強くなる{{Sfn|Eaton|Kortum|2002}}。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 注釈 ===
{{Notelist2}}

=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite journal |last=Alves |first=Isabel Fraga |last2=Neves |first2=Cláudia |editor-last=Lovric |editor-first=Miodrag |year=2011 |title=Extreme Value Distributions |url=https://doi.org/10.1007/978-3-642-04898-2_246 |pages=493–496 |publisher=Springer |location=Berlin, Heidelberg |language=en |ref=harv |DOI=10.1007/978-3-642-04898-2_246 |doi=10.1007/978-3-642-04898-2_246 |isbn=978-3-642-04898-2}}
* {{Cite journal |last=Beirlant |first=Jan |last2=Goegebeur |first2=Yuri |last3=Teugels |first3=Jozef |last4=Segers |first4=Johan |date=2004-08-27 |title=Statistics of Extremes: Theory and Applications |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/0470012382 |publisher=Wiley |language=en |ref=harv |DOI=10.1002/0470012382 |doi=10.1002/0470012382 |isbn=978-0-471-97647-9}}<!-- 未使用 -->
* {{Cite book |ref=harv |last=Coles |first=Stuart |title=An introduction to statistical modeling of extreme values |edition=1 |date=27 November 2013 |publisher=Springer London |language=en |isbn=978-1-4471-3675-0 |location=London |oclc=883391507 |doi=10.1007/978-1-4471-3675-0 |type=eBook}}
* {{Cite journal |last=Eaton |first=Jonathan |last2=Kortum |first2=Samuel |date=2002-09 |title=Technology, Geography, and Trade |url=http://doi.wiley.com/10.1111/1468-0262.00352 |journal=Econometrica |volume=70 |issue=5 |pages=1741–1779 |language=en |ref=harv |DOI=10.1111/1468-0262.00352 |doi=10.1111/1468-0262.00352 |issn=0012-9682}}
* {{Cite journal |last=Eaton |first=Jonathan |last2=Kortum |first2=Samuel |date=2012-05 |title=Putting Ricardo to Work |url=https://www.aeaweb.org/articles?id=10.1257/jep.26.2.65 |journal=Journal of Economic Perspectives |volume=26 |issue=2 |pages=65–90 |language=en |ref=harv |DOI=10.1257/jep.26.2.65 |doi=10.1257/jep.26.2.65 |issn=0895-3309}}
* {{Cite journal |last=Fréchet |first=M |date=1927 |title=Sur la loi de probabilite de l'ecart maximum |journal=Ann. de la Soc. Polonaise de Math. |volume=6 |pages=93–116 |ref=harv}}
* {{Cite journal |last=Fisher |first=R. A. |last2=Tippett |first2=L. H. C. |date=1928-04 |title=Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample |url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-proceedings-of-the-cambridge-philosophical-society/article/abs/limiting-forms-of-the-frequency-distribution-of-the-largest-or-smallest-member-of-a-sample/7BE8DE65FCDFC3ABECFE1054DFB56CB5 |journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |volume=24 |issue=2 |pages=180–190 |language=en |ref=harv |DOI=10.1017/S0305004100015681 |doi=10.1017/S0305004100015681 |issn=1469-8064}}
* {{Cite book |ref=harv |last=Gumbel |first=E. J. |title=Statistics of Extremes |date=1958-03-02 |publisher=Columbia University Press |language=en |isbn=978-0-231-89131-8 |url=https://www.degruyter.com/document/doi/10.7312/gumb92958/html |doi=10.7312/gumb92958}}
* {{Cite journal |last=Kotz |first=Samuel |last2=Nadarajah |first2=Saralees |month=10 |year=2000 |title=Extreme Value Distributions |url=https://doi.org/10.1142/p191 |publisher=PUBLISHED BY IMPERIAL COLLEGE PRESS AND DISTRIBUTED BY WORLD SCIENTIFIC PUBLISHING CO. |language=en |ref=harv |DOI=10.1142/p191 |doi=10.1142/p191 |isbn=978-1-86094-224-2}}
* {{Cite book |和書 |ref=harv |author=高橋倫也 |title=極値統計学 |edition=初版 |date=2016年8月31日 |publisher=近代科学社 |isbn=978-4-7649-7070-0 |author2=志村隆彰 |oclc=961831235}}

== 関連項目 ==
* [[確率分布]]
* [[極値分布]]
* [[ガンベル分布]]（タイプIの極値分布）
* [[ワイブル分布]]（タイプIIIの極値分布）
* [[モーリス・ルネ・フレシェ]]

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{{確率分布の一覧}}
<!-- カテゴリー -->
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[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]