フレドホルムの定理のソースを表示

'''フレドホルムの定理''' (英語 : Fredholm's theorems) とは、[[エリック・イヴァル・フレドホルム]] (Erik Ivar Fredholm) の[[積分方程式]]の理論である[[フレドホルム理論]]から導かれる、有名ないくつかの結果のことをいう。それらの定理は互いに密接に関係し、いくつかの文脈、積分方程式や[[線形代数]]、[[バナッハ空間]]上の[[フレドホルム作用素]]で説明される。

[[フレドホルムの交代定理]] ([[:en:Fredholm_alternative|Fredholm alternative]]) はフレドホルムの定理のひとつである。

== 線形代数 ==
線形代数におけるフレドホルムの定理とは、次のようなものである。
''M'' が[[行列]]ならば、''M'' の[[行空間]]の[[直交補空間]]は ''M'' の[[零空間]] ker ''M'' である。

:<math>(\operatorname{row } M)^\bot = \ker M.</math>

同様に、''M'' の列空間の直交補空間は ''M'' の[[随伴作用素|エルミート共役]] (随伴) ''M'' <sup>*</sup> の零空間  ker ''M'' <sup>*</sup> である。

:<math>(\operatorname{col } M)^\bot = \ker M^*.</math>

== 積分方程式 ==
積分方程式のフレドホルムの定理は次のように表される。
<math>K(x, y)</math> を[[積分変換|積分核]] (kernel) とし、斉次方程式、

:<math>\int_a^b K(x,y) \phi(y) \,dy = \lambda \phi(x)</math>

とその[[複素共役]]、

:<math>\int_a^b \psi(x) \overline{K(x,y)} \, dx = \overline {\lambda}\psi(y).</math>

を考える。ここで、<math>\overline{\lambda}</math> は複素数 <math>\lambda</math> の複素共役を表し、<math>\overline{K(x,y)}</math> は同様に積分核の複素共役を表す。
このとき、フレドホルムの定理は、いかなる <math>\lambda</math> についても、これらの方程式は自明な解 <math>\psi(x)=\phi(x)=0</math> を持つか、同数の[[線形独立]]な解 <math>\phi_1(x), \cdots, \phi_n(x), \psi_1(y), \cdots, \psi_n(y)</math> を持つことをいう。

積分方程式におけるフレドホルムの定理が成り立つための充分条件は、積分核 <math>K(x, y)</math> が矩形 <math>[a,b]\times[a,b]

</math> の上で[[自乗可積分]]なことである。

ここでは、積分を実数軸上の一次元の積分として表しているが、[[フレドホルム理論]]の中では、[[リーマン多様体]]などを含む多次元空間上の[[積分作用素]]へと一般化される。

== 解の存在 ==
フレドホルムの定理はフレドホルムの交代定理と密接な関係がある。非斉次の[[フレドホルム積分方程式]]、

:<math> \lambda \phi(x)-\int_a^b K(x,y) \phi(y) \,dy=f(x)</math>

の解の存在を考えると、この方程式に解が存在するのは、対応する斉次な共役の方程式の解の完全系 <math>\{\psi_n(x)\}</math> に対して関数 <math>f(x)</math> が直交する場合に限られる。

:<math>\int_a^b \overline{\psi_n(x)} f(x) \,dx=0</math>

ここで <math>\overline{\psi_n(x)}</math> は <math>\psi_n(x)</math> の複素共役を表し、積分方程式、

:<math>\lambda\overline{\psi(y)} -\int_a^b \overline{\psi(x)} K(x,y) \,dx=0.</math>

の解の一つである。
この定理が成り立つ充分条件は <math>K(x, y)</math> が矩形 <math>[a,b]\times[a,b]</math> 上で自乗可積分なことである。

== 参考文献 ==
* E.I. Fredholm, [http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02421317 ''Sur une classe d'equations fonctionnelles''] ,　[[Acta Mathematica|Acta Math.]], '''27'''  (1903)  pp.&nbsp;365–390.
* {{mathworld|urlname=FredholmsTheorem|title=Fredholm's Theorem}}
* {{SpringerEOM|title=Fredholm theorems for integral operators|author=B.V. Khvedelidze|urlname=Fredholm_operator}}

{{DEFAULTSORT:ふれとほるむのていり}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]