フレドホルム作用素のソースを表示

[[数学]]の分野における'''フレドホルム作用素'''（フレドホルムさようそ、{{lang-en|''Fredholm operator''}}）とは、[[積分方程式]]に関する[[フレドホルム理論]]において登場するある[[作用素 (関数解析学)|作用素]]のことを言う。数学者の[[エリック・イヴァル・フレドホルム]]の名にちなむ。

フレドホルム作用素は、二つの[[バナッハ空間]]の間の[[有界線形作用素]]であって、その[[核 (代数学) |核]]および[[余核]]が有限次元であり、その[[値域]]が[[閉集合|閉]]であるようなもののことを言う（最後の条件は実際には必要ない<ref>Yuri A. Abramovich and Charalambos D. Aliprantis, "An Invitation to Operator Theory", p.156</ref>）。またそれと同値な定義として、ある作用素 ''T''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;&rarr;&nbsp;''Y'' がフレドホルム作用素であるとは、それが[[コンパクト作用素]]を法として可逆な作用素である（適当なコンパクト作用素の[[up to|違いを除いて]]可逆である）こと、というものがある。すなわち

:<math> \mathrm{Id}_X - ST \quad\text{and}\quad \mathrm{Id}_Y - TS </math>

がそれぞれ空間 ''X'' および ''Y'' 上のコンパクト作用素となるような有界線形作用素 ''S''&nbsp;:&nbsp;''Y''&nbsp;&rarr;&nbsp;''X'' が存在するならば、''T'' はフレドホルム作用素である。

フレドホルム作用素の'''指数'''は

:<math> \mathrm{ind}\,T := \dim \ker T - \mathrm{codim}\,\mathrm{ran}\,T </math>

あるいは、それと同値だが

:<math> \mathrm{ind}\,T := \dim \ker T - \mathrm{dim}\,\mathrm{coker}\,T </math>

で定義される（記号の意味については[[ハメル次元|次元]]、[[零空間]]、{{仮リンク|余次元|en|codimension}} を参照されたい）。

==性質==
空間 ''X'' から空間 ''Y'' への全てのフレドホルム作用素から成る[[集合]]は、全ての有界線型作用素が[[作用素ノルム]]をノルムとして成すバナッハ空間 L(''X'',&nbsp;''Y'') において[[開集合]]となる。より正確に述べれば、作用素 ''T''<sub>0</sub> が ''X'' から ''Y'' へのフレドホルム作用素であるならば、{{nowrap begin}}&#x2016;''T'' &minus; ''T''<sub>0</sub>&#x2016; < ''ε''{{nowrap end}} をみたすすべての L(''X'',&nbsp;''Y'') の元 ''T'' が ''T''<sub>0</sub> と同じ指数を持つフレドホルム作用素となるような正の数 ''ε''&nbsp;> 0 が存在する。

''T'' が ''X'' から ''Y'' へのフレドホルム作用素であり、''U'' が ''Y'' から ''Z'' へのフレドホルム作用素であるとき、その[[写像の合成|合成]] ''U'' ∘ ''T'' は ''X'' から ''Z'' へのフレドホルム作用素となり

:<math>\mathrm{ind} (U \circ T) = \mathrm{ind}(U) + \mathrm{ind}(T)</math>

が成立する。

''T'' が ''X'' から ''Y'' へのフレドホルム作用素であるとき、その[[転置写像|転置]]または[[随伴作用素]] {{nowrap|''T''&thinsp;&prime;}} は {{nowrap|''Y''&thinsp;&prime;}} から {{nowrap|''X''&thinsp;&prime;}} へのフレドホルム作用素となり、{{nowrap|ind(''T''&thinsp;&prime;) {{=}} &minus;ind(''T'')}} が成立する。''X'' と ''Y'' が[[ヒルベルト空間]]であるとき、同じ結論がエルミート共役 ''T''<sup>∗</sup> に対して成立する。

''T'' がフレドホルム作用素で ''K'' がコンパクト作用素なら、''T''&nbsp;+&nbsp;''K'' はフレドホルム作用素となる。''T'' についてのコンパクトな摂動の下でも ''T'' の指数は一定である。このことは {{nowrap|''T'' + ''s''&thinsp;''K''}} の指数 ''i''(''s'') が [0,&nbsp;1] に含まれるすべての ''s'' に対して[[整数]]で、かつ ''i''(''s'') が局所定数函数となることから ''i''(1)&nbsp;=&nbsp;''i''(0) が成立するという事実により従う。

そのような摂動に関する不変性は、コンパクト作用素以外の作用素に対しても成立する。たとえば ''T'' がフレドホルム作用素で ''S'' が厳密特異作用素であるとき、''T''&nbsp;+&nbsp;''S'' は ''T'' と指数の等しいフレドホルム作用素となる<ref>T.&nbsp;Kato, "Perturbation theory for the nullity deficiency and other quantities of linear operators", ''J. d'Analyse Math''. '''6''' (1958), 273–322.</ref>。ここで、''X'' から ''Y'' への有界線形作用素 ''S'' が'''厳密特異'''であるとは、''X'' の任意の無限次元部分空間 ''X''<sub>0</sub> への作用素 ''S'' の制限が[[準同型|同型]]とならないこと、すなわち

:<math>\inf \{ \|S x\| : x \in X_0, \, \|x\| = 1 \} = 0\,</math>

が成立することを意味する。

==例==
空間 ''H'' を、非負の整数により番号付けられる[[正規直交基底]] {''e''<sub>''n''</sub>} を持つヒルベルト空間とする。''H'' 上の（右への）シフト作用素 ''S'' は

:<math>S(e_n) = e_{n+1}, \quad n \ge 0</math>

で定義される。この作用素 ''S'' は[[単射]]（実際には[[等長写像|等長]]）であり、その値域は閉でその余次元は 1 となる。このことから ''S'' は、指数 ind(''S'')&nbsp;=&nbsp;&minus;1 のフレドホルム作用素となる。その[[反復合成冪|冪]] ''S''<sup>''k''</sup> （''k''&nbsp;&ge;&nbsp;0）は、指数が&nbsp;&minus;''k'' のフレドホルム作用素となる。その随伴作用素 ''S''<sup>∗</sup> は左へのシフト作用素

:<math>S^*(e_0) = 0, \quad  S^*(e_n) = e_{n-1}, \quad n \ge 1</math>

で与えられる。''S''<sup>∗</sup> は指数&nbsp;1 のフレドホルム作用素となる。

''H'' が複素平面の単位円周 '''T''' 上の古典的[[ハーディ空間]] ''H''<sup>2</sup>('''T''') であるなら、複素指数函数からなる正規直交基底

:<math>e_n\colon e^{it} \in \mathbb{T} \mapsto
e^{int}, \quad n \ge 0 \, </math>

に関するシフト作用素は、関数 φ&nbsp;=&nbsp;''e''<sub>1</sub> を掛ける乗算作用素 ''M''<sub>φ</sub> である。より一般的に、φ を '''T''' 上定義された、'''T''' 上で消えない（0 にならない）複素連続関数とし ''T''<sub>φ</sub> を記号 φ に関する{{仮リンク|テープリッツ作用素|en|Toeplitz operator}}とすれば、''T''<sub>φ</sub> は ''L''<sup>2</sup>('''T''') から ''H''<sup>2</sup>('''T''') への正射影 ''P'' の導く φ の乗算作用素

:<math> T_\varphi\colon f \in H^2(\mathbb{T}) \mapsto P(f \varphi) \in H^2(\mathbb{T})</math>

に等しい。このとき ''T''<sub>φ</sub> は ''H''<sup>2</sup>('''T''') 上のフレドホルム作用素で、その指数は閉道 {{nowrap|''t'' &isin; [0, 2&thinsp;&pi;] &rarr; &phi;(''e''<sup>&thinsp;i&thinsp;''t''&thinsp;</sup>)}} に関する 0 のまわりでの[[巻き付き数|巻き数]]に -1 をかけたものとなる。

== 応用 ==
[[アティヤ＝シンガーの指数定理]]は多様体上のある種の作用素の指数の、位相的な特徴づけを与える。

[[楕円型作用素|楕円作用素]]はフレドホルム作用素で展開することができる。[[偏微分方程式]]論においてフレドホルム作用素を用いることは、[[パラメトリックス法]]の抽象的な形である。

==B-フレドホルム作用素==
各々の整数 <math>n</math> に対し、<math> T_{n} </math> を <math>T</math> の 
<math> R(T^{n}) </math> 
への制限とする。このとき、写像は <math> R(T^{n}) </math> から <math> R(T^{n}) </math> への写像とみなす（とくに <math> T_{0} = T</math> である）。ある整数 <math>n</math> に対し、空間 <math> R(T^{n}) </math> が閉であり、<math> T_{n} </math> がフレドホルム作用素であれば、<math>T </math> を B-フレドホルム作用素と呼ぶ。B-フレドホルム作用素 <math>T</math> の指数は、フレドホルム作用素 <math> T_n </math> の指数と定義する。このとき、指数は整数 <math> n</math> には依存しない。B-フレドホルム作用素は M. Berkani により、1999年にフレドホルム作用素の一般化として導入された<ref>Berkani  Mohammed: On a class of quasi-Fredholm operators
INTEGRAL EQUATIONS AND OPERATOR THEORY
Volume 34, Number 2 (1999), 244-249 [http://www.springerlink.com/content/xr3637434785m705/]</ref>。

== 注 ==
<references/>

==参考文献==
* D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), ''Spectral theory and differential operators,'' Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
* A. G. Ramm, "[http://www.math.ksu.edu/~ramm/papers/419amm.pdf A Simple Proof of the Fredholm Alternative and a Characterization of the Fredholm Operators]", ''American Mathematical Monthly'', '''108''' (2001) p.&nbsp;855 (NB: In this paper the word "Fredholm operator" refers to "Fredholm operator of index 0").
* {{planetmath_reference|id=3353|title=Fredholm operator}}
* {{mathworld|urlname=FredholmsTheorem|title=Fredholm's Theorem}}
* {{SpringerEOM|title=Fredholm theorems|author=B.V. Khvedelidze|urlname=Fredholm_theorems}}
* Bruce K. Driver, "[http://math.ucsd.edu/~driver/231-02-03/Lecture_Notes/compact.pdf Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem]", ''Analysis Tools with Applications'', Chapter 35, pp.&nbsp;579–600.
* Robert C. McOwen, "[http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.pjm/1102780323 Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds]", ''Pacific J. Math.''  '''87''', no. 1 (1980), 169–185.
* Tomasz Mrowka, [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-965-geometry-of-manifolds-fall-2004/lecture-notes/lecture16_17.pdf A Brief Introduction to Linear Analysis: Fredholm Operators], Geometry of Manifolds, Fall 2004 (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare)
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