フレドホルム積分方程式のソースを表示

[[数学]]における'''フレドホルム積分方程式'''（フレドホルムせきぶんほうていしき、{{lang-en|''Fredholm integral equation''}}）は、その解が[[フレドホルム核]]および[[フレドホルム作用素]]の研究である[[フレドホルム理論]]から生じる[[積分方程式]]である。数学者の[[エリック・イヴァル・フレドホルム]]により研究された。

== 定義 ==
フレドホルム方程式は（以下に定義する）核函数を含む積分方程式で積分の限界が定数であるようなものである。これは積分の限界が変数である[[ヴォルテラ積分方程式]]とは形の上で近い関係にある。

=== 第一種 ===
[[線型方程式系|非等質]] (inhomogeneous) な第一種フレドホルム積分方程式は
: <math>g(t)=\int_a^b K(t,s)f(s)\,ds</math>
と書かれ、連続な[[積分核]] {{math|''K''(''t'',''s'')}} および函数 {{math|''g''(''t'')}} を既知として、その解 {{math|''f''(''s'')}} を求める。（{{math|''g'' {{=}} 0}} のときが等質 (homogeneous)）

核 {{math|''K''(''t'',''s'')}} が二つある引数の差のみで決まる函数であるとき（記号の濫用だがそれを {{math|''K''(''t'',''s'') {{=}}: ''K''(''t'' &minus; ''s'')}} と書けば）、積分の上下の限界を {{math|&plusmn;&infin;}} とするとき、この方程式の右辺は一変数の函数 {{mvar|K}} と {{mvar|f}} との[[畳み込み]]として書き直せるから、方程式の解は

:<math>f(t) =  \mathcal{F}_\omega^{-1}\left[
{\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over
\mathcal{F}_t[K(t)](\omega)}
\right]=\int_{-\infty}^\infty {\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over
\mathcal{F}_t[K(t)](\omega)}\,e^{2\pi i \omega t} d\omega </math>

で与えられる。ここで <math>\mathcal{F}_t</math> および <math>\mathcal{F}_\omega^{-1}</math> は、[[フーリエ変換]]および[[フーリエ変換|フーリエ逆変換]]を表す。

=== 第二種 ===
非等質な第二種フレドホルム積分方程式は
: <math>\phi(t)= f(t) + \lambda \int_a^bK(t,s)\phi(s)\,ds</math>
で与えられ、既知の核 {{mvar|K}} および函数 {{mvar|f}} から、函数 {{mvar|φ}} を求める（{{math|''f'' {{=}} 0}} のとき等質）。

これを解く標準的な方法は、[[レゾルベント]]の方法論を用いることであり、級数として得られる解は{{仮リンク|リウヴィル&ndash;ノイマン級数|en|Liouville–Neumann series}}と呼ばれる。

== 一般論 ==
フレドホルム方程式の下敷きとなる一般論は[[フレドホルム理論]]と呼ばれる。主要な結果の一つは、核 {{mvar|K}} が[[コンパクト作用素|コンパクト]]となることであり、そのコンパクト性は[[同程度連続性]]を見ることで示せる。またこれは作用素として、0 に収束する固有値からなる離散スペクトルによって理解することのできる[[スペクトル論]]を持つ。

== 応用 ==
フレドホルム積分方程式は[[信号処理]]の理論において自然に生じ、中でも{{仮リンク|デビッド・スレピアン|en|David Slepian}}により広められた有名な{{仮リンク|分光密度問題|label=スペクトル密度問題|en|Spectral concentration problem}}は最も顕著である。フレドホルム積分方程式はまた、線形前進モデリングや[[逆問題]]においても用いられる。

== 関連項目 ==
* {{ill|リウヴィル・ノイマン級数|en|Liouville–Neumann series}}
* [[ヴォルテラ積分方程式]]

== 参考文献 ==
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ie.htm Integral Equations] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* A.D. Polyanin and A.V. Manzhirov, ''Handbook of Integral Equations'', CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
* {{SpringerEOM|title=Fredholm kernel|last1= Khvedelidze|first1=B.V.|last2=Litvinov |first2= G.L. |urlname=Fredholm_kernel}} 
* F. J. Simons, M. A. Wieczorek and F. A. Dahlen. ''Spatiospectral concentration on a sphere''. SIAM Review, 2006, [https://doi.org/10.1137/S0036144504445765 doi:10.1137/S0036144504445765]
* D. Slepian, "Some comments on Fourier Analysis, uncertainty and modeling", [http://scitation.aip.org/journals/doc/SIAMDL-home/jrnls/top.jsp?key=SIREAD SIAM Review], 1983, Vol. 25, No. 3,  379-393.
*{{Cite book | last1=Salam, Nishan-e-Imtiaz| first1=Abdus | last2=Matthews| first2=Paul T. | last3= | first3=WT | last4= | first4=| year=1966 | title=Selected Papers of Abdus Salam | edition=1st | publisher=World Scientific Publications |  publication-place=Washington D.C. | isbn=981-0-216-629 | chapter=§Integral Equations | chapter-url=https://books.google.co.jp/books?id=Bw4FUKdDbaUC&pg=PA391&lpg=PA391&dq=ABdus+Salam%27s+field+equations+d&source=bl&ots=NnAfG69OOH&sig=K70sVXiSO56P_3sHHrYR9fTrp4w&hl=en&ei=K3NgTr2FFaXXiALI0NWoDg&sa=X&oi=book_result&ct=result&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false}}
*{{Cite book | last1=Press | first1=WH | last2=Teukolsky | first2=SA | last3=Vetterling | first3=WT | last4=Flannery | first4=BP | year=2007 | title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing | edition=3rd | publisher=Cambridge University Press |  publication-place=New York | isbn=978-0-521-88068-8 | chapter=Section 19.1. Fredholm Equations of the Second Kind | chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=989}}

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{{DEFAULTSORT:ふれとほるむせきふんほうていしき}}
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