フレネ・セレの公式のソースを表示

[[Image:frenet.svg|thumb|300px|right|空間曲線; ベクトル '''''T''''', '''''N''''' , '''''B'''''; そして '''''T''''' と '''''N''''' で張られる [[接触平面]]。 ]]
'''フレネ・セレの公式''' (ふれねせれのこうしき、{{lang-en-short|Frenet–Serret formulas}}) は、[[3次元]][[ユークリッド空間]]内 '''R'''<sup>''3''</sup> 内の連続で[[微分可能関数|微分可能]]な[[曲線]]上を動く粒子の[[運動学]]的性質、あるいは、曲線自身の[[幾何学]]的性質を記述する[[ベクトル解析]]の概念の一つである。
==公式==
この公式は、曲線に対する[[接線]]方向 (tangent)・主[[法線]]方向 (normal)・従法線方向 (binormal)を指す３つの[[単位ベクトル]]の組{'''''T''''', '''''N''''', '''''B''''' }からなる'''フレネ・セレ標構'''とその[[微分]]との間の線形関係について記述したものであり、二人のフランス人数学者{{仮リンク|ジャン・フレデリック・フルネ|en|Jean Frédéric Frenet}} (Jean Frédéric Frenet, 1847) と{{仮リンク|ジョゼフ・アルフレッド・セレ|en|Joseph Alfred Serret}} (Joseph Alfred Serret, 1851) によって独立に発見された。

フレネ・セレ基底を構成する単位接ベクトル '''''T''''' ・単位主法線ベクトル '''''N''''' ・単位従法線ベクトル '''''B''''' は次のように定義される。

* '''''T''''' は曲線に接する[[単位ベクトル]]で、運動の方向を向いている。
* '''''N''''' は '''''T''''' を曲線の[[弧長]]で微分し、その大きさで割ったものである。
* '''''B''''' は '''''T''''' と '''''N''''' の[[ベクトル積]]である。

フレネ・セレの公式は
:<math> 
\begin{matrix}
\displaystyle\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{T}}{\mathrm{d}s} 
&=&                       & \kappa\boldsymbol{N} &                      \\&&&&\\
\displaystyle\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{N}}{\mathrm{d}s} 
&=& -\kappa\boldsymbol{T} &                      & +\, \tau\boldsymbol{B}\\&&&&\\
\displaystyle\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{B}}{\mathrm{d}s} 
&=&                       & -\tau\boldsymbol{N}  &
\end{matrix}
</math>
あるいは
:<math> 
\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}
\begin{pmatrix}\boldsymbol{T}\\\boldsymbol{N}\\\boldsymbol{B}\end{pmatrix}
=  
\begin{pmatrix}
 0       & \kappa & 0    \\
-\kappa  &  0     & \tau \\
 0       & -\tau  & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\boldsymbol{T}\\\boldsymbol{N}\\\boldsymbol{B}\end{pmatrix}
</math>
と表される。

ここで、d/d''s'' は、弧長についての微分を表し、''κ'', ''τ'' はそれぞれ曲線の[[曲率]]、[[捩率]]を表す。

==導出==
===前提===
[[ユークリッド空間]]内を運動する粒子の時刻 ''t'' における[[位置ベクトル]]を {{nowrap|'''''r''''' (''t'')}} とする。関数 {{nowrap|'''''r''''' (''t'')}} のグラフは粒子の[[軌道 (力学)|軌道]]を表す[[曲線]]である。
ただし、 '''''r''''' (''t'') は[[滑らかな関数]]であり、
軌道は曲がっている ({{nowrap|'''''r''''' "(''t'')}}×{{nowrap|'''''r''''' '(''t'')}}≠0)
と仮定する。

===弧長パラメータ===
''s'' (''t'') を[[弧長]]、すなわち、粒子が時刻 ''t'' までに曲線上を動いた距離
:<math>
     s(t) = \int_0^t \| \boldsymbol{r}'(\sigma)\| \mathrm{d}\sigma.
</math>
とする。{{nowrap|'''''r''''' '}}≠0 を仮定しているので、''t'' を ''s'' の関数として表せ、よって、'''''r''''' を''s'' の関数として {{nowrap|'''''r'''''(''s'')}}={{nowrap|'''''r'''''(''t''(''s''))}} と表せる。このように、曲線を弧長で[[媒介変数|パラメータ]]表示できる。なお、微分は
:<math>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{\|\boldsymbol{r}'(t)\|}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} 
</math>
と変換できる。
<!--
'''''r''''' を''s''で微分して得られる[[接線ベクトル]]は
:<math>
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}(s)}{\mathrm{d}s} = \frac{\boldsymbol{r}'(t(s))}{\|\boldsymbol{r}'(t(s))\|}
</math>
[[単位ベクトル]]である。
-->
===互いに直交する単位ベクトルの微分===
曲線上の各点 {{nowrap|'''''r''''' (''s'')}} で定義された[[正規直交基底]] {
{{nowrap|'''''e'''''<sub>1</sub>(''s'')}}, 
{{nowrap|'''''e'''''<sub>2</sub>(''s'')}}, 
{{nowrap|'''''e'''''<sub>3</sub>(''s'')}}
} ({{仮リンク|動標構|en|moving frame}})を考える。それぞれのベクトルは ''s'' について微分可能とする。

微分したベクトル
{
{{nowrap|d'''''e'''''<sub>1</sub>(''s'')/d''s'' }}, 
{{nowrap|d'''''e'''''<sub>2</sub>(''s'')/d''s'' }}, 
{{nowrap|d'''''e'''''<sub>3</sub>(''s'' )/d''s'' }}
}は、
あるスカラー関数 
''ω''<sub>1</sub>(''s''), ''ω''<sub>2</sub>(''s''), ''ω''<sub>3</sub>(''s'') を使って
:<math> 
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{e}_1(s) \\
\boldsymbol{e}_2(s) \\
\boldsymbol{e}_3(s) \\
\end{pmatrix}
=  
\begin{pmatrix}
 0        & \omega_3  & -\omega_2 \\
-\omega_3 &  0        & \omega_1  \\
 \omega_2 & -\omega_1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{e}_1(s) \\
\boldsymbol{e}_2(s) \\
\boldsymbol{e}_3(s) \\
\end{pmatrix}
</math> …(0)
と表せる。

{{Hidden begin|title=行列の反対称性の証明}}
基底の縦表示
:<math> 
Q = \begin{pmatrix}
\boldsymbol{e}_1(s) \\
\boldsymbol{e}_2(s) \\
\boldsymbol{e}_3(s)
\end{pmatrix}
</math>
を考える。これらの要素のベクトルは基底をなすから任意のベクトルを線形和で表示できる。
よって自身の微分に対しても
:<math>
\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}s} = {\it\Omega}\, Q 
</math> …(p1)
となる行列 ''Ω'' が存在する。
よって、証明すべきことはこの行列が反対称性 (''Ω''<sup>T</sup>=-''Ω'') を持つことである。

さて、
{ 
{{nowrap|'''''e'''''<sub>1</sub>(''s'')}}, 
{{nowrap|'''''e'''''<sub>2</sub>(''s'')}}, 
{{nowrap|'''''e'''''<sub>3</sub>(''s'')}}
} は正規直交基底なので
:<math>
\begin{align}
Q \cdot Q^\mathrm{T} 
&= \begin{pmatrix}
\boldsymbol{e}_1(s) \\
\boldsymbol{e}_2(s) \\
\boldsymbol{e}_3(s)
\end{pmatrix}
\cdot 
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{e}_1(s) &
\boldsymbol{e}_2(s) &
\boldsymbol{e}_3(s)
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}\\
\therefore Q \cdot Q^\mathrm{T} &= I 
\end{align}
</math>
となる。

これを式(p1)に適用すると
:<math>
{\it\Omega} = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}s} \cdot Q^\mathrm{T}
</math>
が得られる。

また、{{nowrap|''I'' }}={{nowrap|''Q'' }}・''Q''<sup>T</sup> の両辺を微分すると、
:<math>
\begin{align}
0 
&= \displaystyle
\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}s} \cdot Q^\mathrm{T}
+ Q\cdot\frac{\mathrm{d}Q^\mathrm{T}}{\mathrm{d}s}\\
&= \displaystyle
\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}s} \cdot Q^\mathrm{T}
+ \left( \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}s} \cdot Q^\mathrm{T} \right)^\mathrm{T}
&= {\it\Omega} + {\it\Omega}^\mathrm{T}
\end{align}
</math>
が導かれる。これより、''Ω'' が反対称性
:<math>
{\it\Omega} = \begin{pmatrix}
 0        & \omega_3  & -\omega_2 \\
-\omega_3 &  0        & \omega_1  \\
 \omega_2 & -\omega_1 & 0
\end{pmatrix}
</math>
を持つことが示せた。
{{Hidden end}}
反対称行列は3個のパラメータで表せるが、以下に示すように、正規直交基底を適切に選ぶと反対称行列の成分を2個のパラメータで表すことができる。

===フレネ・セレ標構===
曲線上の各点 {{nowrap|'''''r''''' (''s'')}} において、3組のベクトル {'''''T''''', '''''N''''', '''''B'''''} を以下のように定義する:
::<math> 
\begin{align}
\boldsymbol{T} &\equiv \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}s} \\
               &= \frac{\boldsymbol{r}'(t)}{\left\| \boldsymbol{r}'(t) \right\|} & (1) \\[1.0em]
\boldsymbol{N} &\equiv \frac{{\mathrm{d}\boldsymbol{T}}/{\mathrm{d}s}}{\left\| {\mathrm{d}\boldsymbol{T}}/{\mathrm{d}s} \right\|} \\
               &= \frac{\boldsymbol{r}'(t) \times (\boldsymbol{r}''(t) \times \boldsymbol{r}'(t))}{\left\| \boldsymbol{r}'(t) \times (\boldsymbol{r}''(t) \times \boldsymbol{r}'(t)) \right\|} & (2) \\[1.0em]
\boldsymbol{B} &\equiv \boldsymbol{T} \times \boldsymbol{N} \\
               &= \frac{\boldsymbol{r}'(t) \times \boldsymbol{r}''(t)}{\left\| \boldsymbol{r}'(t) \times \boldsymbol{r}''(t) \right\|} & (3)
\end{align}
</math>
これらは正規直交基底であり、この順に右手系をなすことがわかる。{'''''T''''', '''''N''''', '''''B'''''} をフレネ・セレ標構とよぶ。

===フレネ・セレの公式===
フレネ・セレ標構に対して、動標構の微分の関係式(0)を適用すると、フレネ・セレ標構の定義(2)から''ω''<sub>2</sub>=0となる。
''ω''<sub>3</sub>=''κ'',''ω''<sub>1</sub>=''τ''と置き換えるとフレネ・セレの公式:
:<math> 
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}
\begin{pmatrix}\boldsymbol{T}\\\boldsymbol{N}\\\boldsymbol{B}\end{pmatrix}
=  
\begin{pmatrix}
 0       & \kappa & 0    \\
-\kappa  &  0     & \tau \\
 0       & -\tau  & 0    \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\boldsymbol{T} \\ \boldsymbol{N} \\ \boldsymbol{B}\end{pmatrix}
</math>
が得られる。

''κ'',''τ''はそれぞれ曲線の曲率、捩率を表し、公式より、
:<math>
\begin{align}
\kappa &= {\mathrm{d}\boldsymbol{T} \over \mathrm{d}s}\cdot \boldsymbol{N} \\
       &= {\left\| \boldsymbol{r}'(t) \times \boldsymbol{r}''(t) \right\| 
          \over \left\| \boldsymbol{r}'(t)\right\|^3}\\
\tau   &=-{\mathrm{d}\boldsymbol{B} \over \mathrm{d}s}\cdot \boldsymbol{N} \\
       &= {\boldsymbol{r}'(t) \cdot( \boldsymbol{r}''(t) \times \boldsymbol{r}'''(t))  
          \over \left\| \boldsymbol{r}'(t) \times \boldsymbol{r}''(t) \right\|^2}
\end{align}
</math>
と与えられる。定義により {{nowrap|''κ'' >0}} である。

==具体例==
[[Image:frenetframehelix.gif|thumb|right|400px|[[螺旋]]上を動くフレネ・セレ標構。青い矢印は '''''T'''''、赤い矢印は '''''N'''''、黒い矢印は '''''B''''' をそれぞれ表す。]]
半径 ''r'' (>0)、間隔 2π ''h'' 、角速度''ω''(>0)の[[螺旋]]上の運動
:<math>
\begin{align}
x(t) &= r \cos(\omega t)\\
y(t) &= r \sin(\omega t)\\
z(t) &= h\omega t
\end{align}
</math>
を考える。弧長は
:<math>
s(t) = \sqrt{r^2+h^2 }\, \omega t
</math>
で与えられる。

フレネ・セレ標構は
:<math>
\begin{align}
\boldsymbol{T}(s) &= \frac{1}{\sqrt{r^2+h^2}} \begin{pmatrix}
  -r \sin(\omega t), &  r \cos(\omega t), & h \end{pmatrix}\\
\boldsymbol{N}(s) 
  &= \begin{pmatrix} - \cos(\omega t), & - \sin(\omega t), & 0 
\end{pmatrix}\\
\boldsymbol{B}(s) 
  &= \frac{1}{\sqrt{r^2+h^2}} \begin{pmatrix} h \sin(\omega t), & -h \cos(\omega t), & r
\end{pmatrix}
\end{align}
</math>
であり、曲率・捩率は
:<math>
\begin{align}
  \kappa &= \frac{r}{r^2+h^2} \\
  \tau   &= \frac{h}{r^2+h^2}
\end{align}
</math>
となる。

<!--
[[Image:FrenetTN.svg|thumb|right|350px|ベクトル '''''T''''' および '''''N''''' を平面曲線の異なる2点においてそれぞれ表示している。破線の矢印は2番目の標構を並行移動したものであり、 δ'''''T''''' は '''''T'''''における変化量、δ''s'' は2点間の距離を表す。極限 <math>\tfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{T}}{\mathrm{d}s}</math> の方向は '''''N''''' と同じ向きであり、大きさである曲率は標構の(''s''を時間とみたときの)回転速度を表す。]]
-->
''h'' =0 のとき、軌道は ''xy'' 面内の半径 ''r'' の円周になり、曲率は ''κ''=1/''r'' 、 捩率は ''τ'' =0 となる。|''h''| が大きくなるにつれ、曲率は''κ''→0、捩率は ''τ'' →1/''h''  となる。


== 応用例 ==
ロボットマニピュレータの姿勢とその軌道を記述したり{{Sfn|精密工学会誌|2012|p=605-610}}{{Sfn|Jorge Angeles|2003|p=363-424}}、蛇型ロボットや多関節ロボットを連続曲線で近似して表現{{Sfn|山田浩也|広瀬茂男|2008}}{{Sfn|山田浩也|2008}}する際に用いられる。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
{{refbegin}}
*{{cite book |和書| author=小林昭七 | title=曲線と曲面の微分幾何 | year=1977 | publisher=[[裳華房]] | series=基礎数学選書17 | url=http://www.shokabo.co.jp/series/211_kisosuu.html }}
*{{cite book |和書| author=小林昭七 | title=曲線と曲面の微分幾何(改訂版) | year=1995 | publisher=裳華房 | url=http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1091-2.htm | isbn=978-4-7853-1091-2 }}
*{{cite journal |和書| author=蘭豊礼 | author2=玉井博文 |author3=三浦憲二郎 | author4=[[牧野洋 (工学者)|牧野洋]]
| title=リニアな曲率・捩率を持つセグメントによる軌道生成 | journal=精密工学会誌 | volume=78 | number=7 | year=2012 | pages=605-610 | url=https://doi.org/10.2493/jjspe.78.605 | ref={{Sfnref|精密工学会誌|2012}} }}
*{{Cite book | author=Jorge Angeles | title=Fundamentals of Robotic Mechanical Systems. Theory, Methods, Algorithms, second Edition | publisher=[[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Springer]], New York | series=Mechanical Engineering Series | year=2003 | isbn=0-387-95368-X | url=http://www.robotee.com/Ebooks/Fundamentals_of_Robotic_Mechanical_Systems.pdf | format=PDF | accessdate=2014-07-09 | ref=harv }} (TLFeBOOK)
*{{Cite book | author=Jorge Angeles | title=Fundamentals of Robotic Mechanical Systems. Theory, Methods, Algorithms, Fourth Edition | publisher=Springer, New York | series=Mechanical Engineering Series | year=2014 | url=http://www.springer.com/engineering/mechanical+engineering/book/978-3-319-01850-8 | isbn=978-3-319-01850-8 }}(first edition published in 1997)
*{{Cite journal |和書| author=山田浩也 | author2=[[広瀬茂男]] | title=索状能動体の研究―多関節体幹による連続曲線近似法― | journal=日本ロボット学会誌 | volume=26 | number=1 | year=2008 | pages=110-120 | url=https://doi.org/10.7210/jrsj.26.110 | ref=harv }}
*{{Cite book |和書| author= 山田浩也 | title=索状能動体の3次元運動解析に基づく機構と制御の研究| publisher=[[東京工業大学]] | series=博士論文(甲第7192号) | date=2008-03-26 | url=http://tdl.libra.titech.ac.jp/hkshi/recordID/dissertation.bib/TT00008875?hit=-1&caller=xc-search | ref=harv }}
{{refend}}

== 関連項目 ==
* [[曲率]]
* [[捩率]]
* [[接触平面]]
* [[力学]]
* [[物理学]]
* [[ロボット工学]]

{{Curvature}}
{{デフォルトソート:ふれねせれのこうしき}}
[[Category:微分幾何学]]
[[Category:ベクトル解析]]
[[Category:曲率]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:人名を冠した数式]]