フロストマンの補題のソースを表示

[[数学]]の特に[[フラクタル次元]]にかかわる分野における'''フロストマンの補題''' ({{lang-en-short|''Frostman's lemma''}}）は集合の[[ハウスドルフ次元]]を評価する使いやすい道具を提供する。

; 命題 (フロストマンの補題): {{mvar|A}} が {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の[[ボレル集合]]で {{math|''s'' > 0}} とすれば、以下は同値:
:# {{mvar|s}}-次元{{ill2|ハウスドルフ測度|en|Hausdorff measure}} が {{math|''H{{sup|s}}''(''A'') > 0}}.
:# （非負値）[[ボレル測度]] {{mvar|μ}} が存在して、{{math|''&mu;''(''A'') > 0}} かつ <math display="block">\mu(B(x,r))\le r^s\quad(\forall x\in\mathbb{R}^n,\,\forall r>0)</math> が成り立つ。

{{ill2|オットー・フロストマン|en|Otto Frostman}}は、1935年に[[ルンド大学]]における博士論文の一部として、この補題を {{mvar|A}} が閉集合である場合を仮定して証明した。これをボレル集合に対するものに一般化することはより複雑な問題で、{{ill2|ススリン集合|en|Suslin set}}の理論を必要とする。

フロストマンの補題の有用な系として、ボレル集合 {{math|''A'' ⊂ '''R'''{{sup|''n''}}}} の {{mvar|s}}-次元容積（内測度、{{lang-en-short|{{mvar|s}}-capacity}}）<math display="block">C_s(A):=\sup\Big\{\Big(\int_{A\times A} \frac{d\mu(x)\,d\mu(y)}{|x-y|^{s}}\Big)^{-1} : \mu(A)=1\Bigr\}</math>（ここで {{math|1=inf&thinsp;&empty; = &infin;}} および {{math|1={{fraction|1|&infin;}} = 0}} と約束する。また上と同様 {{mvar|μ}} は非負値ボレル測度とする）を用いた以下のようなものがある:
; 系 ({{vanc|ハウスドルフ次元の特徴付け}}): {{math|''A'' &sub; '''R'''{{sup|''n''}}}} に対しその[[ハウスドルフ次元]] {{math|dim{{sub|''H''}}(''A'')}} は <math display="block">\dim_H(A)= \sup\{s\ge 0 : C_s(A)>0\}</math> として求められる。

== 参考文献 ==
* {{Citation
 | last1=Mattila
 | first1=Pertti 
 | author1-link = Pertti Mattila
 | title=Geometry of sets and measures in Euclidean spaces | publisher=[[Cambridge University Press]]
 | isbn=978-0-521-65595-8 | year=1995
 | mr = 1333890 |series= Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume =  44}}

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[[Category:次元論]]
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[[Category:計量幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]

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