フロベニウス多様体のソースを表示

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数学の一分野の[[微分幾何学]]において、'''フロベニウス多様体'''(Frobenius manifold)は、[[接空間]]上のある整合性を持つ乗法構造を持つ平坦[[リーマン多様体]]である。考え方は[[フロベニウス代数]]から接バンドルへ一般化される。フロベニウス多様体はドブロヴィン(Dubrovin)により導入された<ref>B. Dubrovin: ''Geometry of 2D topological ﬁeld theories.'' In: Springer LNM, 1620 (1996), pp.&nbsp;120–348.</ref>。

フロベニウス多様体は、自然に[[シンプレクティック幾何学|シンプレクティックトポロジー]]、さらに詳しくは、[[量子コホモロジー]]の問題の中で自然に発生する。最も広い定義は、リーマン{{仮リンク|超多様体|en|supermanifold}}(supermanifold)の圏で定義される。ここでの議論は、滑らかな（実）多様体に限ることする。複素多様体に限ることも可能である。
<!--In the mathematical field of [[differential geometry]], a '''Frobenius manifold''' is a flat [[Riemannian manifold]] with a certain compatible multiplicative structure on the [[tangent space]].  The concept generalizes the notion of [[Frobenius algebra]] to tangent bundles.  They were introduced by Dubrovin.<ref>B. Dubrovin: ''Geometry of 2D topological ﬁeld theories.'' In: Springer LNM, 1620 (1996), pp.&nbsp;120–348.</ref>

Frobenius manifolds occur naturally in the subject of [[symplectic topology]], more specifically [[quantum cohomology]].  The broadest definition is in the category of Riemannian [[supermanifold]]s.  We will limit the discussion here to smooth (real) manifolds.  A restriction to complex manifolds is also possible.-->

== 定義 ==
M を滑らかな多様体とし、M 上の'''アフィン平坦'''構造とは、切断が 0 となる接バンドルと接ブラケットのペアによりはられるベクトル空間 TM の[[層 (数学)|層]] T<sup>f</sup> であることとする。

局所的な例として M のチャート上の座標ベクトル場を考えると、チャートの被覆族にたいするそのようなベクトル場を貼り合せることが可能であれば、多様体はアフィン平坦構造を持つ。

さらに M 上に[[リーマン計量]]を与えると、すべての X と&nbsp;Y のベクトル場に対して g(X,&nbsp;Y) が局所的に平坦であれば、計量は平坦構造と整合性を持つ。

リーマン多様体がアフィン平坦構造と整合性を持つことと、[[リーマン曲率テンソル|曲率テンソル]]がどこでも 0 であることとは同値である。

TM 上の'''可換積 * '''の族は、

:<math>X*Y = A(X,Y). \, </math>

と通した S<sup>2</sup>(T<sup>*</sup>M)&nbsp;⊗&nbsp;TM の切断 A と同値である。

さらに、性質

:<math>g(X*Y,Z)=g(X,Y*Z). \, </math>

を要求する。このことは合成 g<sup>#</sup>∘ A が対称 3-テンソルであることを意味する。特に、定数の積を持つ線型フロベニウス多様体 (M,&nbsp;g,&nbsp;*) はフロベニウス代数であることを意味する。

(g,&nbsp;T<sup>f</sup>,&nbsp;A) が与えられると、'''局所ポテンシャル Φ''' は局所滑らかな函数で、すべてのベクトル場 X, Y, と&nbsp;Z に対し、

:<math>g(A(X,Y),Z)=X[Y[Z[\Phi]]] </math>

を満たす。

現在は、'''フロベニウス多様体''' (M,&nbsp;g,&nbsp;*) は、いたるところで局所ポテンシャルを持ち、結合的である対称 3-テンソルを持つ平坦リーマン多様体 (M,&nbsp;g) である。
<!--== Definition ==
Let ''M'' be a smooth manifold.  An ''affine flat'' structure on ''M'' is a [[Sheaf (mathematics)|sheaf]] ''T''<sup>''f''</sup> of vector spaces that pointwisely span ''TM'' the tangent bundle and the tangent bracket of pairs of its sections vanishes.

As a local example consider the coordinate vectorfields over a chart of ''M''.  A manifold admits an affine flat structure if one can glue together such vectorfields for a covering family of charts.

Let further be given a [[Riemannian metric]] ''g'' on ''M''.  It is compatible to the flat structure if ''g''(''X'',&nbsp;''Y'') is locally constant for all flat vector fields ''X'' and&nbsp;''Y''.

A Riemannian manifold admits a compatible affine flat structure if and only if its [[Riemann curvature tensor|curvature tensor]] vanishes everywhere.

A family of ''commutative products *'' on ''TM'' is equivalent to a section ''A'' of ''S''<sup>2</sup>(T<sup>*</sup>''M'')&nbsp;⊗&nbsp;''TM'' via

:<math>X*Y = A(X,Y). \, </math>

We require in addition the property

:<math>g(X*Y,Z)=g(X,Y*Z). \, </math>

Therefore the composition ''g''<sup>#</sup>∘''A'' is a symmetric 3-tensor.

This implies in particular that a linear Frobenius manifold (''M'',&nbsp;''g'',&nbsp;*) with constant product is a Frobenius algebra ''M''.

Given (''g'',&nbsp;''T''<sup>''f''</sup>,&nbsp;''A''), a ''local potential Φ'' is a local smooth function such that

:<math>g(A(X,Y),Z)=X[Y[Z[\Phi]]] \, </math>

for all flat vector fields ''X'', ''Y'', and&nbsp;''Z''.

A ''Frobenius manifold'' (''M'',&nbsp;''g'',&nbsp;*) is now a flat Riemannian manifold (''M'',&nbsp;''g'') with symmetric 3-tensor ''A'' that admits everywhere a local potential and is associative.-->

== 基本的性質 ==
積 * の結合性は、局所ポテンシャル &Phi; の次の二階[[偏微分方程式]]と同値である。

:<math> \Phi_{,abe}g^{ef}\Phi_{,cdf} = \Phi_{,ade}g^{ef}\Phi_{,bcf} \, </math>

ここにアインシュタインの記法は、Φ<sub>,a</sub> が函数 Φ の偏微分をすべて平坦であるとする座標ベクトル場 ∂/∂x<sup>a</sup> により表した。g<sup>ef</sup> は計量の逆の係数である。

従って、方程式は結合方程式、あるいは、ウィッテン・ダイグラーフ・ヴァーリンデ・ヴァーリンデ方程式(Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde (WDVV) equation)と呼ばれる。
<!--== Elementary properties ==
The associativity of the product * is equivalent to the following quadratic [[partial differential equation|PDE]] in the local potential ''&Phi;''
:<math> \Phi_{,abe}g^{ef}\Phi_{,cdf} = \Phi_{,ade}g^{ef}\Phi_{,bcf} \, </math>
where Einstein's sum convention is implied, Φ<sub>,a</sub> denotes the partial derivative of the function Φ by the coordinate vectorfield ∂/∂''x''<sup>''a''</sup> which are all assumed to be flat.  ''g''<sup>''ef''</sup> are the coefficients of the inverse of the metric.

The equation is therefore called associativity equation or Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde (WDVV) equation.-->

== 例 ==
量子コホモロジーからフロベニウス代数の例が出てくる。すなわち、半正値の[[シンプレクティック多様体]] (M,&nbsp;ω) が与えられると、偶の[[量子コホモロジー]] QH<sup>even</sup>(M,&nbsp;ω) の中に 0 の開近傍 U が存在し、そこでは U の中のすべての a に対し大きな量子積 *<sub>a</sub> が解析的であるような'''C''' 上のノヴィコフ環を持っている。そこで、U と[[交叉形式 (4次元多様体)|交叉形式]] g&nbsp;=&nbsp;&lt;·,·&gt; は（複素）フロベニウス多様体である。

フロベニウス多様体の第二の大きなクラスは、特異点論から来る。つまり、孤立特異点の最小普遍変形の空間はフロベニウス多様体の構造を持っている。このフロベニウス多様体は、[[齋藤恭司]]の原始形式と密接に関係している。
<!--== Examples ==
Beside Frobenius algebras, examples arise from quantum cohomology.  Namely, given a semipositive [[symplectic manifold]] (''M'',&nbsp;''ω'') then there exists an open neighborhood ''U'' of 0 in its even [[quantum cohomology]] QH<sup>even</sup>(''M'',&nbsp;''ω'') with Novikov ring over '''C''' such that the big quantum product *<sub>''a''</sub> for ''a'' in ''U'' is analytic.  Now ''U'' together with the [[Intersection form (4-manifold)|intersection form]] ''g''&nbsp;=&nbsp;&lt;·,·&gt; is a (complex) Frobenius manifold.

The second large class of examples of Frobenius manifolds come from the singularity theory. Namely, the space of miniversal deformations of an isolated singularity has a Frobenius manifold structure. This Frobenius manifold structure also relates to Saito's primitive forms.-->

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
Yu.I. Manin, S.A. Merkulov: [https://arxiv.org/abs/alg-geom/9702014 ''Semisimple Frobenius (super)manifolds and quantum cohomology of '''P'''<sup>r</sup>''],     Topol. Methods in Nonlinear [[Analysis]] 9 (1997), pp.&nbsp;107–161

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[[Category:シンプレクティック幾何学]]
[[Category:シンプレクティックトポロジー]]
[[Category:リーマン多様体]]
[[Category:可積分系]]
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]